g(x)k2-20k+361[2
min=-4=-4(k-10)-64].
16≤(k-10)2<64,∴(k-10)2-64<0,
则g(x)min>0.
②当4-k
2<-1,即k>6时,取x=-1,g(x)min=2k>0.
由①、②可知,当k>2时,g(x)>0,x∈[-1,5].
因此,在区间[-1,5]上,y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方.
[解法二]当x∈[-1,5]时,f(x)=-x2+4x+5.
由⎧⎨y=k(x+3),
⎩y=-x2+4x+5,得x2+(k-4)x+(3k-5)=0,
令∆=(k-4)2-4(3k-5)=0,解得k=2或k=18,
在区间[-1,5]上,当k=2时,y=2(x+3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8);当
k=18时,y=18(x+3)的图像与函数f(x)的图像没有交点.
如图可知,由于直线y=k(x+3)过点(-3,0),当k>2时,直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到.因此,在区间[-1,5]上,y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方.
例7设f(x)=3ax+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f
(1)>0,求证:
2
(Ⅰ)a>0且-2<a<-1;b
(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
解析:
本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。
满分14分。
证明:
(错误!
未找到引用源。
)因为f(0)>0,f
(1)>0,所以c>0,3a+2b+c>0.由条件a+b+c=0,消去b,得a>c>0;
由条件a+b+c=0,消去c,得a+b<0,2a+b>0.故-2
2b3ac-b2
),(错误!
未找到引用源。
)抛物线f(x)=3ax+2bx+c的顶点坐标为(-3a3a
在-2ba2+c2-ac<0,又因为f(0)>0,f
(1)>0,而f(-)=-3a3a
所以方程f(x)=0在区间(0,-bb)与(-,1)内分别有一实根。
3a3a
故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.
例8若θ∈[0,
练习:
方程4cosx+(a-5)cosx+1=0(x∈(0,2π2],cos2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立,求m的取值范围。
π
2))有两个不等实数解,求实数a的取值范围。
例9(04上海理)已知二次函数y=f1(x)的图象以原点为顶点且过点(1,1),反比例函数y=f2(x)的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f(x)=f1(x)+f2(x).
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)证明:
当a>3时,关于x的方程f(x)=f(a)有三个实数解.
【解】
(1)由已知,设f1(x)=ax2,由f1
(1)=1,得a=1,∴f1(x)=x2.
设f2(x)=k(k>0),它的图象与直线y=x的交点分别为x
A(k,k)B(-k,-k)
88.故f(x)=x2+.xx
88
(2)【证法一】f(x)=f(a),得x2+=a2+,xa
88即=-x2+a2+.xa
8在同一坐标系内作出f2(x)=和x
8f3(x)=-x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲a
8线,f3(x)的图象是以(0,a2+)为顶点,开口向下的抛物线.a由AB=8,得k=8,.∴f2(x)=
因此,f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,
即f(x)=f(a)有一个负数解.又∵f2
(2)=4,f3
(2)=-4+a2+
当a>3时,.f3
(2)-f2
(2)=a2+8a8-8>0,a
∴当a>3时,在第一象限f3(x)的图象上存在一点(2,f3
(2))在f2(x)图象的上方.
∴f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.
因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.
【证法二】由f(x)=f(a),得x2+
即(x-a)(x+a-
方程x+a-828=a+,xa8)=0,得方程的一个解x1=a.ax8=0化为ax2+a2x-8=0,由a>3,△=a4+32a>0,得ax
-a2-a4+32a-a2+a4+32ax2=,x3=,2a2a
∵x2<0,x3>0,∴x1≠x2,且x2≠x3.
-a2+a4+32a4若x1=x3,即a=,则3a2=a+32a,a4=4a,2a
得a=0或a=4,这与a>3矛盾,∴x1≠x3.
故原方程有三个实数解.
例10设二次函数f(x)=ax+bx+c(a,b,c∈R,a≠0)满足条件:
①x∈R时2
f(x-4)=f(2-x),且f(x)≥x;②当x∈(0,2)时,f(x)≤(
值是0。
求f(x)的解析式答案:
f(x)=
x+12);③f(x)在R上的最小21211x+x+424
2例11已知a>0,函数f(x)=ax-bx。
(1)当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明:
a≤2;
(2)当b>1时,证明:
对任意的x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b;
(3)当0
对任意的x∈[0,1],|f(x)|≤1的充要条件。
2.函数方程
例已知定义域为R的函数f(x)满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
(I)若f
(2)=3,求f
(1);又若f(0)=a,求f(a);
(II)设有且仅有一个实数x0,使得f(x0)=x0,求函数f(x)的解析表达式
解:
(I)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x
所以f(f
(2)-22+2)=f
(2)-22+2
又由f
(2)=3,得f(3-2+2)=3-2+2,即f
(1)=1
若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a22
(II)因为对任意x∈R,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.
又因为有且只有一个实数x0,使得f(x0)=x0
所以对任意x∈R,有f(x)-x2+x=x0
2在上式中令x=x0,有f(x0)-x0+x0=x0
2又因为f(x0)=x0,所以x0-x0=0,故x0=0或x0=1
若x0=0,则f(x)-x2+x=0,即f(x)=x2-x
但方程