[2m,2n]。
如存在，求出m,n的值，若不存在说明理由。
答案：
（1）f（x）=-
12
（2）m=-2,n=0x+x，2
+∞）已知f（x）=2+log3x（7．[1，
1≤x≤9），求函数g（x）=[f（x）]2+f（x2）的最值。
81
2x2+bx+c8．已知函数f（x）=（b<0）的值域为[1，3]，求实数b，c的值。
2x+1
2⎧x≥1，⎪x+∞），则g（x）的9．（07浙江理）设f（x）=⎨g（x）是二次函数，若f（g（x））的值域是[0，x<1，⎪⎩x值域是（）C
-1][1，∞+）B．（-∞，-1][0，+∞）C．[0，+∞）A．（-∞，D．
小结：
函数值域的计算能力要求高、考查频率高，应该分类归纳，各个击破。
难度的的变化会随着参数的引入而改变如T6、T7。
四．单调性：
1．单调性的证明：
（1）定义法：
例判断函数f（x）=-x3（x∈R）的单调性，并用定义证明。
练习：
单调性的简单应用：
例
（1）函数y=log2
0.1（6+x-2x）的单调增区间是________
（2）已知y=loga（2-ax）在[0,1]是减函数，则a的取值范围是_________
练习：
若函数f（x）=logk（x2-kx+3）在区间⎛-∞,k⎤
⎝2⎥⎦上是减函数，则实数k的取值范围是__
__________________
高考真题：
已知f（x）=⎨⎧（3a-1）x+4a,x<1是（-∞,+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（
⎩logax,x>1
2．已知函数f（x）=1-ax2+25（-5≤x≤0），点（-2,-4）在f（x）的反函数图像上。
（1）求f（x）的反函数f-1（x）；
（2）证明f-1（x）在定义域内是减函数。
答案：
（1）f-1（x）=-24+2x-x2,x∈[-4,1]
）
111（D）[,1）737
1解：
依题意，有07a－1，当x>1时，3（A）（0,1）（B）（0,）（C）[,）13
logax<0，所以7a－1≥0解得x≥
1故选C7
例设函数f（x）=lg（x+ax-a-1），给出下述命题：
①f（x）有最小值；
②当a=0时，f（x）的值域为R；
③当a>0时，f（x）在区间[2,+∞）上有反函数；
④若f（x）在区间[2,+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是a≥-4
则其中正确的命题是_____________（要求：
把正确命题的序号都填上）
例已知函数y=f（x）的图象与函数y=a（a>0且a≠1）的图象关于直线y=x对称，记x2
1g（x）=f（x）[f（x）+f
（2）-1]．若y=g（x）在区间[,2]上是增函数，则实数a的取值范围是2
（）D
A．[2,+∞）B．（0,1）（1,2）C．[,1）D．（0,]
例函数f（x）对任意的m,n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，并且当x>0时，f（x）>1，⑴求证：
f（x）在R上是增函数；
⑵若f（3）=4，解不等式f（a+a-5）<2
五．函数的奇偶性：
常用性质：
1．f（x）=0是既奇又偶函数；2．奇函数若在x=0处有定义，则必有f（0）=0；
3．偶函数满足f（x）=f（-x）=f（x）；4．奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；
5．f（x）=0除外的所有函数奇偶性满足：
奇函数±奇函数=奇函数奇函数×奇函数=偶函数奇函数±偶函数=非奇非偶21212
奇函数×偶函数=奇函数偶函数±偶函数=偶函数偶函数×偶函数=偶函数
6．任何函数f（x）可以写成一个奇函数ϕ（x）=
的和。
例设f（x）是R上的任意函数,则下列叙述正确的是
（A）f（x）f（-x）是奇函数（B）f（x）f（-x）是奇函数
（C）f（x）-f（-x）是偶函数（D）f（x）+f（-x）是偶函数
【解析】A中F（x）=f（x）f（-x）则F（-x）=f（-x）f（x）=F（x），
即函数F（x）=f（x）f（-x）为偶函数，B中F（x）=f（x）f（-x），F（-x）=f（-x）f（x）此时F（x）与F（-x）的关系不能确定，即函数F（x）=f（x）f（-x）的奇偶性不确定，
C中F（x）=f（x）-f（-x），F（-x）=f（-x）-f（x）=-F（x），即函数F（x）=f（x）-f（-x）为奇函数，D中F（x）=f（x）+f（-x），F（-x）=f（-x）+f（x）=F（x），即函数F（x）=f（x）+f（-x）为偶函数，故选择答案D。
例已知函数f（x）是定义在（-∞,+∞）上的偶函数.当x∈（-∞,0）时，f（x）=x-x4，则当f（x）-f（-x）f（x）+f（-x）和一个偶函数ψ（x）=22x∈（0,+∞）时，f（x）=解：
当x∈（0,+∞）时，有-x∈（-∞,0），注意到函数f（x）是定义在（-∞,+∞）上的偶函数，于是，有f（x）=f（-x）=-x-（-x）4=-x-x4．从而应填-x-x4．
-2x+b例已知定义域为R的函数f（x）=x+1是奇函数。
2+a
（Ⅰ）求a,b的值；
（Ⅱ）若对任意的t∈R，不等式f（t-2t）+f（2t-k）<0恒成立，求k的取值范围；22
b-11-2x
=0⇒b=1∴f（x）=解析：
（Ⅰ）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即a+2a+2x+1
1
1-2又由f
（1）=-f（-1）知=-⇒a=2.a+4a+11-
1-2x11（Ⅱ）解法一：
由（Ⅰ）知f（x）=，易知f（x）在（-∞,+∞）上=-+2+2x+122x+1
为减函数。
又因f（x）是奇函数，从而不等式：
f（t-2t）+f（2t-k）<0
等价于f（t-2t）<-f（2t-k）=f（k-2t），因f（x）为减函数，由上式推得：
22222
t2-2t>k-2t2．即对一切t∈R有：
3t2-2t-k>0，从而判别式∆=4+12k<0⇒k<-.
13
1.，若f（x）为奇函数，则a=________。
2x+1
111解析：
函数f（x）=a-x.若f（x）为奇函数，则f（0）=0，即a-0=0，a=.22+12+1练习：
已知函数f（x）=a-
例已知f（x）在（－1，1）上有定义，且满足x,y∈（-1,1）有f（x）-f（y）=f（
证明：
f（x）在（－1，1）上为奇函数；
例若奇函数f（x）（x∈R）满足f
（2）=1，f（x+2）=f（x）+f
（2），则f（5）=_______
六．函数的周期性：
（一）要点：
1．（定义）若f（x+T）=f（x）（T≠0）⇔f（x）是周期函数，T是它的一个周期。
说明：
nT也是f（x）的周期
（推广）若f（x+a）=f（x+b），则f（x）是周期函数，b-a是它的一个周期
2．若定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x=a和x=b（a≠b）对称，则f（x）是周期函数，x-y）,1-xy2（b-a）是它的一个周期
（推论）若定义在R上的偶函数f（x）的图象关于直线x=a（a≠0）对称，则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期
3．若定义在R上的函数f（x）的图象关于点（a,0）和点（b,0）（a≠b）对称，则f（x）是周期函数，2（b-a）是它的一个周期
（推论）若定义在R上的奇函数f（x）的图象关于点（a,0）（a≠0）对称，则f（x）是周期函数，2a是它的一个周期
4．若定义在R上的函数f（x）的图象关于直线x=a和点（b,0）（a≠b）对称，则f（x）是周期函数，4（b-a）是它的一个周期
（推论）若定义在R上的奇函数f（x）的图象关于直线x=a（a≠0）对称，则f（x）是周期函数，4a是它的一个周期
5．若f（x+a）=-f（x）；f（x+a）=
的一个周期
（二）例题讲解：
例1函数f（x）对于任意实数x满足条件f（x+2）=
_______________。
解：
由f（x+2）=11；f（x+a）=-；则f（x）是周期函数，2a是它f（x）f（x）1，若f
（1）=-5,则f（f（5））=fx11=f（x），所以f（5）=f
（1）=-5，则得f（x+4）=fxfx+2f（f（5））=f（-5）=f（-1）=
11=-。
f（-1+2）5
例2f（x）是定义在R上的偶函数，图象关于x=1对称，对任意x1,x2∈[0,]，有f（x1+x2）1
2
=f（x1）f（x2），且f
（1）=a>0⑴求f（）；f（）
⑵证明：
f（x）是周期函数；
例3f（x）是定义在R上的奇函数，且对一切x∈R，恒有f（+x）=-f（-x）
⑴求证：
f（x）是周期函数；
⑵若f
（1）=2，求f
（2）+f（3）的值。
例4已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x+2）=－f（x）,则,f（6）的值为
（A）－1（B）0（C）1（D）2
解：
因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）＝0，又f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故函数，f（x）的周期为4，所以f（6）＝f
（2）＝－f（0）＝0，选B
例5若存在常数p>0，使得函数f（x）满足f（px）=f（px-
为________12143232p）（x∈R），则f（x）的一个正周期2
）=0，则在区间例6已知定义在R上，最小正周期为5的函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且f（3
（0,10）内，方程f（x）=0的解的个数至少为_________个
例7定义在R上的偶函数f（x），满足f（2+x）=f（2-x），在区间［-2,0
］上单调递减，设
，则a,b,c的大小顺序为_____________a=f（-1.5）,b=f）,c=f（5）
例8定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=3f（x）当x∈[0,2]时f（x）=x-2x，则当2
x∈[-4,-2]时,f（x）的最小值是_____________
例9已知函数y=f（x）是一个以4为最小正周期的奇函数，则f
（2）=（）
A．0B．－4C．4D．不能确定
例10已知f（x）是定义在实数集上的函数，且f（x+2）=
f.
1+f（x）,若f
（1）=2+,则1-f（x）
例已知f（x）是（-∞，+∞）上的奇函数，f（2+x）=-f（x），当0≤x≤1时，f（x）=x，则f（7.5）=________
例11设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f（2+x）=-f（x），当x∈[0,2]时f（x）=2x-x2
⑴求证：
f（x）是周期函数；
⑵当x∈[2,4]时，求f（x）的解析式；
⑶计算：
f（0）+f
（1）+f
（2）++f（2005）
例12设f（x）是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线x=2对称，已知x∈[-2，2]时，函数f（x）=-x2+1，则x∈[-6，-2]时，f（x）=________
例13定义在R上的函数y=f（x）为周期函数，最小正周期为T，若函数y=f（x），x∈（0,T）时
有反函数y=f
A．y=fC．y=f
-1
（x）,x∈D，则函数y=f（x），x∈（2T,3T）的反函数为（）
B．y=fD．y=f
-1
-1
（x）,x∈D（x+2T）,x∈D
（x-2T）,x∈D（x）+2T,x∈D
65
32
52
-1-1
例14已知f（x）是周期为2的奇函数，当0（A）a解：
已知f（x）是周期为2的奇函数，当0654545
31151
b=f（）=f（-）=-f（），c=f（）=f（）<0，∴c22222
七．反函数：
x
例已知函数y=e的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，则
A．f（2x）=e（x∈R）B．f（2x）=ln2⋅lnx（x>0）
2x
C．f（2x）=2e（x∈R）D．f（2x）=lnx+ln2（x>0）
x
x
解：
函数y=e的图象与函数y=f（x）的图象关于直线y=x对称，所以
f（x）是y=ex的反函数，
即
f（x）=lnx，∴f（2x）=ln2x=lnx+ln2（x>0），选D.
-1
例设函数y=f（x）的反函数为y=f图像必过
1
（x），且y=f（2x-1）的图像过点（,1），则y=f-1（x）的
2
（A）（,1）（B）（1,）（C）（1,0）（D）（0,1）解：
当x＝故选C。
例函数y=⎨
1212
1-1时，2x－1＝0，即y＝f（x）的图象过点（0，1），所以y=f（x）的图像必过（1，0）2
⎧2x,x≥0
的反函数是2
⎩-x,x<0
⎧x
⎧2x,x≥0⎪,x≥0
A．y=⎨B．y=⎨C．y=
-x,x<0⎩⎪⎩-x,x<0⎧x
x≥0⎪
D．y=⎨⎪⎩--x,x<0
⎧2x,x≥0
⎨
--x,x<0⎩
解：
有关分段函数的反函数的求法，选C。
也可用特殊点排除法，原函数上有（1，2）和（-1，-1）
两点，反函数上有（2，1）和（-1，-1），检验知C。
x
例函数y=1+a（0（A）（B）（C）（D）
解：
函数y=1+ax（0八．函数的综合应用：
1．二次函数：
例1已知函数f（x）=2x-2ax+3在区间[-1,1]上有最小值记为g（a），求g（a）的函数表达式。
2
1〕成立，则a的取值范围是（）2
5A．0B.–2C.-D.-32
5有－≤a故选C2例2若不等式x＋ax＋1≥0对于一切x∈（0，2
例3若关于x的方程a2x+（1+lgm）ax+1=0（a>0且a≠1）有解，则m的取值范围是____
2例4设二次函数f（x）=ax+bx+c（a>0），方程f（x）=x的两根x1,x2，满足0（1）当x∈（0,x1）时，求证：
x（2）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：
x0<
分析：
作差，韦达定理
例6设函数f（x）=x2-4x-5.
（1）在区间[-2,6]上画出函数f（x）的图像；
（2）设集合A={xf（x）≥5},
系，并给出证明；
（3）当k>2时，求证：
在区间[-1,5]上，y=kx+3k的图像位于函数f（x）图像的上方.解：
（1）
1，ax1。
2B=（-∞,-2][0,4][6,+∞）.试判断集合A和B之间的关
（2）方程f（x）=5的解分别是2-,0,4和2+，由于f（x）在（-∞,-1]和[2,5]上单调递减，在[-1,2]和[5,+∞）上单调递增，因此
A=（-∞,2-][0,4][2+,+∞）.
由于2+<6,2->-2,∴B⊂A.
（3）[解法一]当x∈[-1,5]时，f（x）=-x2+4x+5.
g（x）=k（x+3）-（-x2+4x+5）
=x2+（k-4）x+（3k-5）
2
=⎛4-k⎫k2-20k+36
⎝x-2⎪⎭-4，
k>2,∴4-k
2<1.又-1≤x≤5，
①当-1≤4-k4-k
2<1，即2g（x）k2-20k+361[2
min=-4=-4（k-10）-64].
16≤（k-10）2<64,∴（k-10）2-64<0，
则g（x）min>0.
②当4-k
2<-1，即k>6时，取x=-1，g（x）min＝2k>0.
由①、②可知，当k>2时，g（x）>0，x∈[-1,5].
因此，在区间[-1,5]上，y=k（x+3）的图像位于函数f（x）图像的上方.
[解法二]当x∈[-1,5]时，f（x）=-x2+4x+5.
由⎧⎨y=k（x+3）,
⎩y=-x2+4x+5,得x2+（k-4）x+（3k-5）=0，
令∆=（k-4）2-4（3k-5）=0，解得k=2或k=18，
在区间[-1,5]上，当k=2时，y=2（x+3）的图像与函数f（x）的图像只交于一点（1,8）；当
k=18时，y=18（x+3）的图像与函数f（x）的图像没有交点.
如图可知，由于直线y=k（x+3）过点（-3,0），当k>2时，直线y=k（x+3）是由直线y=2（x+3）绕点（-3,0）逆时针方向旋转得到.因此，在区间[-1,5]上，y=k（x+3）的图像位于函数f（x）图像的上方.
例7设f（x）=3ax+2bx+c.若a+b+c=0,f（0）＞0，f
（1）＞0，求证：
2
（Ⅰ）a＞0且-2＜a＜-1；b
（Ⅱ）方程f（x）=0在（0，1）内有两个实根.
解析：
本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。
满分14分。
证明：
（错误！
未找到引用源。
）因为f（0）>0,f
（1）>0，所以c>0,3a+2b+c>0.由条件a+b+c=0，消去b，得a>c>0；
由条件a+b+c=0，消去c，得a+b<0，2a+b>0.故-22b3ac-b2
），（错误！
未找到引用源。
）抛物线f（x）=3ax+2bx+c的顶点坐标为（-3a3a
在-2ba2+c2-ac<0,又因为f（0）>0,f
（1）>0,而f（-）=-3a3a
所以方程f（x）=0在区间（0,-bb）与（-,1）内分别有一实根。
3a3a
故方程f（x）=0在（0,1）内有两个实根.
例8若θ∈[0,
练习：
方程4cosx+（a-5）cosx+1=0（x∈（0,2π2]，cos2θ+2msinθ-2m-2<0恒成立，求m的取值范围。
π
2））有两个不等实数解，求实数a的取值范围。
例9（04上海理）已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1,1）,反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x的两个交点间距离为8,f（x）=f1（x）+f2（x）.
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明:
当a>3时,关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解.
【解】
（1）由已知,设f1（x）=ax2,由f1
（1）=1,得a=1,∴f1（x）=x2.
设f2（x）=k（k>0）,它的图象与直线y=x的交点分别为x
A（k,k）B（－k,－k）
88.故f（x）=x2+.xx
88
（2）【证法一】f（x）=f（a）,得x2+=a2+,xa
88即=－x2+a2+.xa
8在同一坐标系内作出f2（x）=和x
8f3（x）=－x2+a2+的大致图象,其中f2（x）的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲a
8线,f3（x）的图象是以（0,a2+）为顶点,开口向下的抛物线.a由AB=8,得k=8,.∴f2（x）=
因此,f2（x）与f3（x）的图象在第三象限有一个交点,
即f（x）=f（a）有一个负数解.又∵f2
（2）=4,f3
（2）=－4+a2+
当a>3时,.f3
（2）－f2
（2）=a2+8a8－8>0,a
∴当a>3时,在第一象限f3（x）的图象上存在一点（2,f3
（2））在f2（x）图象的上方.
∴f2（x）与f3（x）的图象在第一象限有两个交点,即f（x）=f（a）有两个正数解.
因此,方程f（x）=f（a）有三个实数解.
【证法二】由f（x）=f（a）,得x2+
即（x－a）（x+a－
方程x+a－828=a+,xa8）=0,得方程的一个解x1=a.ax8=0化为ax2+a2x－8=0,由a>3,△=a4+32a>0,得ax
-a2-a4+32a-a2+a4+32ax2=,x3=,2a2a
∵x2<0,x3>0,∴x1≠x2,且x2≠x3.
-a2+a4+32a4若x1=x3,即a=,则3a2=a+32a,a4=4a,2a
得a=0或a=4,这与a>3矛盾,∴x1≠x3.
故原方程有三个实数解.
例10设二次函数f（x）=ax+bx+c（a,b,c∈R,a≠0）满足条件：
①x∈R时2
f（x-4）=f（2-x），且f（x）≥x；②当x∈（0,2）时，f（x）≤（
值是0。
求f（x）的解析式答案：
f（x）=
x+12）；③f（x）在R上的最小21211x+x+424
2例11已知a>0，函数f（x）=ax-bx。
（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f（x）≤1，证明：
a≤2；
（2）当b>1时，证明：
对任意的x∈[0,1]，|f（x）|≤1的充要条件是b-1≤a≤2b；
（3）当0对任意的x∈[0,1]，|f（x）|≤1的充要条件。
2．函数方程
例已知定义域为R的函数f（x）满足f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x.
（I）若f
（2）=3，求f
（1）;又若f（0）=a，求f（a）;
（II）设有且仅有一个实数x0，使得f（x0）=x0，求函数f（x）的解析表达式
解：
（I）因为对任意x∈R,有f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x
所以f（f
（2）-22+2）=f
（2）-22+2
又由f
（2）=3,得f（3-2+2）=3-2+2,即f
（1）=1
若f（0）=a,则f（a-02+0）=a-02+0,即f（a）=a22
（II）因为对任意x∈R，有f（f（x）-x2+x）=f（x）-x2+x.
又因为有且只有一个实数x0，使得f（x0）=x0
所以对任意x∈R,有f（x）-x2+x=x0
2在上式中令x=x0，有f（x0）-x0+x0=x0
2又因为f（x0）=x0，所以x0-x0=0，故x0=0或x0=1
若x0=0，则f（x）-x2+x=0，即f（x）=x2-x
但方程
升级会员 