函数函数的定义域值域单调性奇偶性对称性周期性hg.docx

1、函数函数的定义域值域单调性奇偶性对称性周期性hg函数复习二定义域：1“定义域优先”的思想是研究函数的前提，在求值域、奇偶性、换元时易忽略定义域。2求定义域：例1设f(x)=lg例2求下列函数定义域：（1）f(x)=变式练习：f(2-x)=三值域： 2+xx2，则f()+f()的定义域为_ 2-x2x2lg(3x+1) （2）f(x)=sinx+log1(25-x2) 24-x2，求f(x)的定义域。x2-13x1y=2 y= 2x+4x+12 y=xx-1 y= x+1x+1sin2x+7sinx+10x2-5x+4,x(1,5 y=y=sinx+1x2-13 y=-x+2x-1 ；y=x-4

2、x24 y=(sinx+3)(cosx+3) y=2 x-2x-25 y=1； 2x+2x+3已知直角三角形的三边之和为2，求此三角形面积S的最大值。y=cosx-2cosx-1 y= cosx-1sinx-26函数f(x)=123x-x+的定义域和值域都是1,b(b1),求b的值。 22练习：已知二次函数f(x)=ax+bx 满足f(2)=0且方程f(x)=x有等根。（1）求f(x)的解析式；（2）问是否存在实数m,n(mn)使f(x)的定义域为m,n，值域为22m,2n。如存在，求出m,n的值，若不存在说明理由。答案：(1)f(x)=-12（2）m=-2,n=0 x+x，2+)已知 f(x

3、)=2+log3x(71，1x9)，求函数g(x)=f(x)2+f(x2)的最值。 812x2+bx+c8已知函数f(x)=（b0）的值域为1，3，求实数b，c的值。 2x+12x1，x+)，则g(x)的9（07浙江理）设f(x)=g(x)是二次函数，若f(g(x)的值域是0，x1，x值域是（ ）C-1 1，+) B(-，-1 0，+) C0，+) A(-， D小结：函数值域的计算能力要求高、考查频率高，应该分类归纳，各个击破。难度的的变化会随着参数的引入而改变如T6、T7。四单调性：1单调性的证明：（1）定义法：例 判断函数f(x)=-x3(xR)的单调性，并用定义证明。练习：单调性的简单应

4、用：例 （1）函数y=log20.1(6+x-2x)的单调增区间是_（2）已知y=loga(2-ax)在0,1是减函数，则a的取值范围是_练习：若函数f(x)=logk(x2-kx+3)在区间 -,k2上是减函数，则实数k的取值范围是_高考真题：已知f(x)=(3a-1)x+4a,x12已知函数f(x)=1-ax2+25(-5x0)，点(-2,-4)在f(x)的反函数图像上。（1）求f(x)的反函数f-1(x)；（2）证明f-1(x)在定义域内是减函数。答案：（1）f-1(x)=-24+2x-x2,x-4,1）111（D）,1) 7371解：依题意，有0a1且3a10，解得0a，又当x7a1，

5、当x1时，3（A）(0,1) （B）(0,) （C）,) 13logax0时，f(x)在区间2,+)上有反函数；若f(x)在区间2,+)上单调递增，则实数a的取值范围是a-4则其中正确的命题是_（要求：把正确命题的序号都填上）例已知函数y=f(x)的图象与函数y=a（a0且a1）的图象关于直线y=x对称，记x21g(x)=f(x)f(x)+f(2)-1若y=g(x)在区间,2上是增函数，则实数a的取值范围是2（ ）DA2,+) B(0,1) (1,2) C,1) D(0,例 函数f(x)对任意的m,nR，都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1，并且当x0时，f(x)1， 求证：f(x)在R上

6、是增函数；若f(3)=4，解不等式f(a+a-5)2五函数的奇偶性：常用性质：1f(x)=0是既奇又偶函数； 2奇函数若在x=0处有定义，则必有f(0)=0；3偶函数满足f(x)=f(-x)=f(x)； 4奇函数图象关于原点对称，偶函数图象关于y轴对称；5f(x)=0除外的所有函数奇偶性满足：奇函数奇函数=奇函数 奇函数奇函数=偶函数 奇函数偶函数=非奇非偶 21212奇函数偶函数=奇函数 偶函数偶函数=偶函数 偶函数偶函数=偶函数6任何函数f(x)可以写成一个奇函数(x)=的和。例 设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(A)f(x)f(-x)是奇函数 (B)f(x)f(-x)是奇函

7、数(C) f(x)-f(-x)是偶函数 (D) f(x)+f(-x)是偶函数【解析】A中F(x)=f(x)f(-x)则F(-x)=f(-x)f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)f(-x)为偶函数，B中F(x)=f(x)f(-x)，F(-x)=f(-x)f(x)此时F(x)与F(-x)的关系不能确定，即函数F(x)=f(x)f(-x)的奇偶性不确定，C中F(x)=f(x)-f(-x)，F(-x)=f(-x)-f(x)=-F(x)，即函数F(x)=f(x)-f(-x)为奇函数，D中F(x)=f(x)+f(-x)，F(-x)=f(-x)+f(x)=F(x)，即函数F(x)=f(x)+f(-x

8、)为偶函数，故选择答案D。例 已知函数f(x)是定义在(-,+)上的偶函数. 当x(-,0)时，f(x)=x-x4，则 当f(x)-f(-x)f(x)+f(-x)和一个偶函数(x)=22x(0,+)时，f(x)=解：当x(0,+) 时，有-x(-,0)，注意到函数f(x) 是定义在 (-,+)上的偶函数，于是，有f(x)=f(-x)=-x-(-x)4=-x-x4 从而应填-x-x4-2x+b例 已知定义域为R的函数f(x)=x+1是奇函数。 2+a（）求a,b的值；（）若对任意的tR，不等式f(t-2t)+f(2t-k)0恒成立，求k的取值范围； 22b-11-2x=0b=1f(x)=解析：（

9、）因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，即 a+2a+2x+111-2 又由f（1）= -f（-1）知=-a=2. a+4a+11-1-2x11 （）解法一：由（）知f(x)=，易知f(x)在(-,+)上 =-+2+2x+122x+1为减函数。又因f(x)是奇函数，从而不等式： f(t-2t)+f(2t-k)0等价于f(t-2t)k-2t2即对一切tR有：3t2-2t-k0， 从而判别式=4+12k0k0 求f()；f()证明：f(x)是周期函数；例3 f(x)是定义在R上的奇函数，且对一切xR，恒有f(+x)=-f(-x)求证：f(x)是周期函数；若f(1)=2，求f(2)+f(3)的值。

10、例4 已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=f(x),则,f(6)的值为(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)2解：因为f（x）是定义在R上的奇函数，所以f（0）0，又f（x4）f（x2）f（x），故函数，f（x）的周期为4，所以f（6）f（2）f（0）0，选B例5 若存在常数p0，使得函数f(x)满足f(px)=f(px-为_ 12143232p)(xR)，则f(x)的一个正周期2)=0，则在区间例6 已知定义在R上，最小正周期为5的函数f(x)满足f(-x)=-f(x)，且f(3(0,10)内，方程f(x)=0的解的个数至少为_个例7 定义在R上的偶函数f(x)，满足f(2+x

11、)=f(2-x)，在区间-2,0上单调递减，设，则a,b,c的大小顺序为_ a=f(-1.5),b=f),c=f(5)例8 定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)当x0,2时f(x)=x-2x，则当2x-4,-2时,f(x)的最小值是_例9 已知函数y=f(x)是一个以4为最小正周期的奇函数，则f(2)=（ ）A0 B4 C4 D不能确定例10 已知f (x)是定义在实数集上的函数，且f(x+2)=f.1+f(x),若f(1)=2+,则 1-f(x)例 已知f(x)是(-，+)上的奇函数，f(2+x)=-f(x)，当0x1时，f(x)=x，则f(7.5)=_例11 设f(x)是定

12、义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(2+x)=-f(x)，当x0,2时f(x)=2x-x2求证：f(x)是周期函数；当x2,4时，求f(x)的解析式；计算：f(0)+f(1)+f(2)+ +f(2005)例12 设f(x)是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线x=2对称，已知x-2，2时，函数f(x)=-x2+1，则x-6，-2时，f(x)=_例13 定义在R上的函数y=f(x)为周期函数，最小正周期为T，若函数y=f(x)，x(0,T)时有反函数y=fAy=fCy=f-1(x),xD，则函数y=f(x)，x(2T,3T)的反函数为（ ）By=fDy=f-1-1(x),xD (x+2T)

13、,xD(x-2T),xD (x)+2T,xD653252-1-1例14已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)=lgx.设a=f(),b=f(),c=f(),则（A）abc （B）bac （C）cba （D）cab解：已知f(x)是周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)=lgx.设a=f()=f(-)=-f()，65454531151b=f()=f(-)=-f()，c=f()=f()0，ca0)2xCf(2x)=2e(xR) Df(2x)=lnx+ln2(x0)xx解：函数y=e的图象与函数y=f(x)的图象关于直线y=x对称，所以f(x)是y=ex的反函数，即f(x)=lnx，

14、f(2x)=ln2x=lnx+ln2(x0)，选D.-1例 设函数y=f(x)的反函数为y=f图像必过1(x)，且y=f(2x-1)的图像过点(,1)，则y=f-1(x)的2（A）(,1) （B）(1,) （C）(1,0) （D）(0,1) 解：当x故选C。 例 函数y=12121-1时，2x10，即yf（x）的图象过点（0，1），所以y=f(x)的图像必过（1，0）22x,x0的反函数是 2-x,x0x2x,x0,x0Ay=By= Cy=-x,x0-x,x0x,x0Dy=-x,x02x,x0-x,x0解：有关分段函数的反函数的求法，选C。也可用特殊点排除法，原函数上有（1，2）和（-1，-1

15、）两点，反函数上有（2，1）和（-1，-1），检验知C。x例 函数y=1+a(0a1)的反函数的图象大致是（A） （B） （C） （D）解：函数y=1+ax(0a0且a1)有解，则m的取值范围是_2例4 设二次函数f(x)=ax+bx+c(a0)，方程f(x)=x的两根x1,x2，满足0x1x2（1）当x(0,x1)时，求证：xf(x)x1；（2）设函数f(x)的图象关于直线x=x0对称，证明：x02时，求证：在区间-1,5上，y=kx+3k的图像位于函数f(x)图像的上方. 解：（1）1， ax1。 2B=(-,-2 0,4 6,+). 试判断集合A和B之间的关（2）方程f(x)=5的解分别

16、是2-,0,4和2+，由于f(x)在(-,-1和2,5上单调递减，在-1,2和5,+)上单调递增，因此A=(-,2- 0,4 2+,+).由于2+-2,BA.（3）解法一 当x-1,5时，f(x)=-x2+4x+5.g(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)=x2+(k-4)x+(3k-5)2= 4-kk2-20k+36x-2-4，k2,4-k21. 又-1x5， 当-14-k4-k21，即2k6时，取x=2，g(x)k2-20k+3612min=-4=-4(k-10)-64.16(k-10)264,(k-10)2-640. 当4-k26时，取x=-1， g(x)min2k0.由 、可知，当

17、k2时，g(x)0，x-1,5.因此，在区间-1,5上，y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方.解法二 当x-1,5时，f(x)=-x2+4x+5.由y=k(x+3),y=-x2+4x+5, 得x2+(k-4)x+(3k-5)=0，令 =(k-4)2-4(3k-5)=0，解得 k=2或k=18，在区间-1,5上，当k=2时，y=2(x+3)的图像与函数f(x)的图像只交于一点(1,8)； 当k=18时，y=18(x+3)的图像与函数f(x)的图像没有交点.如图可知，由于直线y=k(x+3)过点(-3,0)，当k2时，直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方

18、向旋转得到. 因此，在区间-1,5上，y=k(x+3)的图像位于函数f(x)图像的上方.例7 设f(x)=3ax+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)0，f(1)0，求证： 2()a0且-2a-1； b()方程f(x)=0在（0，1）内有两个实根.解析：本题主要考查二次函数的基本性质与不等式的应用等基础知识。满分14分。 证明：（错误！未找到引用源。）因为f(0)0,f(1)0，所以c0,3a+2b+c0. 由条件a+b+c=0，消去b，得ac0；由条件a+b+c=0，消去c，得a+b0. 故-2b-1. a2b3ac-b2,)， （错误！未找到引用源。）抛物线f(x)=3ax+2bx+c的

19、顶点坐标为(-3a3a在-2b11b2-1的两边乘以-，得-. 3a33a3ba2+c2-ac0,f(1)0,而f(-)=-3a3a所以方程f(x)=0在区间(0,-bb)与(-,1)内分别有一实根。 3a3a故方程f(x)=0在(0,1)内有两个实根.例8 若0,练习：方程4cosx+(a-5)cosx+1=0(x(0,22，cos2+2msin-2m-23时,关于x的方程f(x)= f(a) 有三个实数解.【解】(1)由已知,设f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, f1(x)= x2.设f2(x)=k(k0),它的图象与直线y=x的交点分别为 xA(k,k)B(k,k)88.故

20、f(x)=x2+. xx88 (2) 【证法一】f(x)=f(a),得x2+=a2+, xa88 即=x2+a2+. xa8 在同一坐标系内作出f2(x)=和 x8f3(x)= x2+a2+的大致图象,其中f2(x)的图象是以坐标轴为渐近线,且位于第一、三象限的双曲a8线, f3(x)的图象是以(0, a2+)为顶点,开口向下的抛物线. a 由AB=8,得k=8,. f2(x)=因此, f2(x)与f3(x)的图象在第三象限有一个交点,即f(x)=f(a)有一个负数解. 又f2(2)=4, f3(2)= 4+a2+当a3时,. f3(2)f2(2)= a2+8 a880, a当a3时,在第一象

21、限f3(x)的图象上存在一点(2,f3(2)在f2(x)图象的上方.f2(x)与f3(x)的图象在第一象限有两个交点,即f(x)=f(a)有两个正数解.因此,方程f(x)=f(a)有三个实数解.【证法二】由f(x)=f(a),得x2+即(xa)(x+a方程x+a828=a+, xa8)=0,得方程的一个解x1=a. ax8=0化为ax2+a2x8=0, 由a3,=a4+32a0,得 ax-a2-a4+32a-a2+a4+32a x2=, x3=, 2a2ax20, x1 x2,且x2 x3.-a2+a4+32a4 若x1= x3,即a=,则3a2=a+32a, a4=4a, 2a得a=0或a=

22、4,这与a3矛盾, x1 x3.故原方程有三个实数解.例10 设二次函数f(x)=ax+bx+c(a,b,cR,a0)满足条件：xR时2f(x-4)=f(2-x)，且f(x)x；当x(0,2)时，f(x)(值是0。求f(x)的解析式 答案：f(x)=x+12)；f(x)在R上的最小21211x+x+ 4242例11 已知a0，函数f(x)=ax-bx。（1）当b0时，若对任意xR都有f(x)1，证明：a2；（2）当b1时，证明：对任意的x0,1，|f(x)|1的充要条件是b-1a2b；（3）当0b1时，讨论：对任意的x0,1，|f(x)|1的充要条件。2函数方程例 已知定义域为R的函数f(x)

23、满足f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.（I）若f(2)=3，求f(1);又若f(0)=a，求f(a);（II）设有且仅有一个实数x0，使得f(x0)=x0，求函数f(x)的解析表达式解：(I)因为对任意xR,有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x所以f(f(2)-22+2)=f(2)-22+2又由f(2)=3,得f(3-2+2）=3-2+2,即f(1)=1若f(0)=a,则f(a-02+0)=a-02+0,即f(a)=a22(II)因为对任意xR，有f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.又因为有且只有一个实数x0，使得f(x0)=x0所以对任意xR,有f(x)-x2+x=x02 在上式中令x=x0，有f(x0)-x0+x0=x02 又因为f(x0)=x0，所以x0-x0=0，故x0=0或x0=1若x0=0，则f(x)-x2+x=0，即f(x)=x2-x但方程