抽象函数的对称性奇偶性周期性总结习题docx.docx
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抽象函数的对称性奇偶性周期性总结习题docx
抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题
一.概念:
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想
象力以及函数知识灵活运用的能力
1、周期函数的定义：
对于
f（x）
定义域内的每一个
x，都存在非零常数
T，使得
f（x
T）
f（x）恒成立，
则称函数
f（x）
具有周期性，
T叫做
f（x）
的一个周期，则kT（k
Z,k
0）也是
f（x）
的周期，所有周期中的最小正数叫
f（x）
的最小正周期。
分段函数的周期：
设y
f（x）是周期函数，在任意一个周期内的图像为
C:
y
f（x）,
xa,b,T
ba。
把y
f（x）沿x轴平移
KT
K（b
a）
个单位即按向量
a（kT,0）平移，即得yf（x）在其他周期的图像：
yf（x
kT）,x
kTa,kT
b。
f（x）
f（x）
x
a,b
f（x
kT）
x
kT
a,kT
b
2、奇偶函数：
设yf（x）,x
a,b或x
b,a
a,b
①若f（
x）
f（x）,则称y
f（x）为奇函数；
②若f（
x）
f（x）则称y
f（x）为偶函数。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性：
（1）中心对称即点对称：
①点A（x,y）与B（2ax,2b
②点A（ax,by）与B（a
③函数yf（x）与2by
④函数byf（ax）与b
⑤函数F（x,y）0与F（2a
y）关于点（a,b）对称；
x,by）关于（a,b）对称；
f（2ax）关于点（a,b）成中心对称；
yf（ax）关于点（a,b）成中心对称；
x,2by）0关于点（a,b）成中心对称。
（2）轴对称：
对称轴方程为：
AxByC0。
①点A（x,y）与B（x/,y/）B（x
2A（AxByC）
y
2B（AxByC））关于直
A2
B2
A2
B2
线AxByC0成轴对称；
②函数y
f（x）与y
2B（Ax
By
C）
f（x
2A（Ax
ByC））
关于直线
A2
B2
A2
B2
Ax
By
C
0成轴对称。
③
2A（Ax
By
C）
2B（Ax
By
C）
）0
F（x,y）
0
与
F（x
A2
B2
y
A2
B2
关于直线
Ax
By
C
0成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数yf（x）图象本身的对称性（自身对称）
若f（xa）f（xb），则f（x）具有周期性；若f（ax）f（bx），则f（x）
具有对称性：
“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f（a
x）
f（b
x）
y
f（x）图象关于直线x
（a
x）
（bx）
ab对称
2
2
推论1：
f（a
x）
f（a
x）
y
f（x）的图象关于直线
x
a对称
推论2、f（x）
f（2a
x）
y
f（x）的图象关于直线
x
a对称
推论3、f（
x）
f（2a
x）
y
f（x）的图象关于直线
x
a对称
2、f（a
x）
f（b
x）
2c
y
a
b
f（x）的图象关于点（
2
c）对称
推论1、f（a
x）
f（a
x）
2b
yf（x）的图象关于点（a,b）对称
推论2、f（x）
f（2a
x）
2b
y
f（x）的图象关于点（a,b）对称
推论3、f（
x）
f（2ax）2b
y
f（x）的图象关于点（a,b）对称
（二）两个函数的图象对称性
（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）
1、偶函数y
f（x）与y
f（
x）图象关于Y轴对称
2、奇函数y
f（x）与y
f（x）图象关于原点对称函数
3、函数y
f（x）与y
f（x）图象关于X轴对称
4、互为反函数
y
f（x）与函数y
f
1（x）图象关于直线y
x对称
5.函数y
f（a
x）与y
f（b
b
a
对称
x）图象关于直线x
2
推论1:
函数y
f（a
x）与yf（a
x）图象关于直线
x=a对称
推论2:
函数y
f（x）与y
f（2a
x）图象关于直线
x
a对称
推论3:
函数y
f（
x）与y
f（2a
x）图象关于直线
x
a对称
（三）抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
性质1若函数y＝f（x）关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f（a＋x）＝f（a－x）
（2）f（2a－x）＝f（x）（3）f（2a＋x）＝f（－x）
性质2若函数y＝f（x）关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f（a＋x）＝－f（a－x）
（2）f（2a－x）＝－f（x）（3）f（2a＋x）＝－f（－x）
易知，y＝f（x）为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g（－x）]＝f[g（x）]，则复数函
数y＝f[g（x）]为偶函数。
定义2、若对于定义域内的任一变量x，均有f[g（－x）]＝－f[g（x）]，则复合
函数y＝f[g（x）]为奇函数。
说明：
（1）复数函数f[g（x）]为偶函数，则f[g（－x）]＝f[g（x）]而不是f[－g（x）]＝f[g（x）]，
复合函数y＝f[g（x）]为奇函数，则f[g（－x）]＝－f[g（x）]而不是f[－g（x）]＝－f[g（x）]。
（2）两个特例：
y＝f（x＋a）为偶函数，则f（x＋a）＝f（－x＋a）；y＝f（x＋a）为
奇函数，则f（－x＋a）＝－f（a＋x）
（3）y＝f（x＋a）为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f（x）关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y＝f（a＋x）与y＝f（b－x）关于直线x＝（b－a）/2轴对称
性质4、复合函数y＝f（a＋x）与y＝－f（b－x）关于点（（b－a）/2，0）中心对
称
推论1、复合函数y＝f（a＋x）与y＝f（a－x）关于y轴轴对称
推论2、复合函数y＝f（a＋x）与y＝－f（a－x）关于原点中心对称
4、函数的周期性
若a是非零常数，若对于函数y＝f（x）定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f（x）是周期函数，且2|a|是它的一个周期。
①f（x＋a）＝f（x－a）②f（x＋a）＝－f（x）
③f（x＋a）＝1/f（x）④f（x＋a）＝－1/f（x）
5、函数的对称性与周期性
性质5若函数y＝f（x）同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f（x）必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质6、若函数y＝f（x）同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f（x）必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质7、若函数y＝f（x）既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f（x）必为周期函数，且T＝4|a－b|
6、函数对称性的应用
（1）若y
f（x）关于点（h,k）对称，则xx/
2h,yy/
2k,即
f（x）
f（x/）
f（x）f（2hx）2k
f（x1）
f（x2）
f（xn）f（2h
xn）
f（2h
xn1）
f（2hx1）2nk
（2）例题
1、f（x）
ax
关于点（
1
1
f（1
x）
1;
ax
a
2
，）对称：
f（x）
2
f（x）
4x
1
关于（，）对称：
f（x）
f（x）2
2x
1
2x1
01
f（x）
1
（
R,x
0）关于（
1
1
f（
1
1
x
1
2
，）对称：
f（x）
）
2
x
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：
f（x）
f（
x）
0。
3、若f（x）
f（2a
x）或f（a
x）
f（a
x）,则y
f
（x）的图像关于直线
xa对称。
设f（x）0有n个不同的实数根，则
x1
x2
xnx1（2a
x1）
x2
（2a
x2）
xn
（2axn）na.
2
2
（当n
2k
1时，必有x1
2a
x1,
x1
a）
（四）常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、f（xT）f（x）（T0）yf（x）的周期为T，kT（kZ）也是函数的周期
2、f（xa）f（xb）yf（x）的周期为Tba
3、f（xa）f（x）yf（x）的周期为T2a
4、f（x
a）
1
y
f（x）的周期为T
2a
f（x）
5、f（x
a）
1
y
f（x）的周期为T
2a
f（x）
6、f（x
a）
1
f（x）
y
f（x）的周期为T
3a
1
f（x）
7、f（x
a）
1
y
f（x）的周期为T2a
f（x）
1
8、f（x
a）
1
f（x）
y
f（x）的周期为T
4a
1
f（x）
9、f（x
2a）
f（xa）
f（x）
y
f（x）的周期为T
6a
10、若p
0,f（px）
f（px
p）,
则T
p.
2
2
11、y
f（x）有两条对称轴
x
a
和x
b（ba）
y
f（x）周期T
2（b
a）
推论：
偶函数
y
f（x）满足
f（a
x）
f（a
x）
y
f（x）
周期T
2a
12、y
f（x）有两个对称中心
（a,0）和（b,0）
（ba）
yf（x）周期
T2（b
a）
推论：
奇函数
y
f（x）满足f（a
x）
f（a
x）
y
f（x）周期T
4a
13、y
f（x）有一条对称轴x
a和一个对称中心（b,0）
（ba）
f（x）的
T4（b
a）
四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分
析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。
1.求函数值
例1（.1996年高考题）设f（x）是（,
）上的奇函数，f（2x）
f（x）,当0x1
时，f（x）
x，则f（7.5）
等于（）
（A）;
（B）;
（C）;
（D）.
例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知
f（x）是定义在实数集上的函数，且
f（x2）1f（x）
1
f（x），f
（1）2
3,求f
（1989）
的值.f（1989）32。
2、比较函数值大小
1
例3.若f（x）（x
R）是以
2为周期的偶函数，当x
0,1
时，f（x）
x1998,试比较
f
（98）、f（101）、f（104）的大小.
191715
1
解：
f（x）（xR）是以2为周期的偶函数，又f（x）x1998在0,1上是增函数，且
0
1
16
14
1，
f
（1）
f（16）
f（14）,即f（101
f（98）
f（104）.
17
19
15
17
19
15
17
19
15
3、求函数解析式
例
4.（1989年高考题）设
f（x）是定义在区间
（
）上且以
2为周期的函数，对
k
Z，用Ik表示区间（2k
1,2k
1）,已知当x
I
0时，f（x）
x2.求f（x）在Ik上的
解析式.
解：
设x
（2k
1,2k
1）,
2k
1
x
2k
1
1
x2k
1
xI0时，有f（x）
x2,
由
1
x
2k
1得f（x
2k）
（x
2k）2
f（x）是以2为周期的函数，
f（x2k）
f（x）,f（x）
（x
2k）2.
例5．设f（x）是定义在（
）
上以2
为周期的周期函数，且
f（x）是偶函数，在区
间
2,3上，f（x）
2（x
3）2
4.求x
1,2
时，f（x）的解析式.
解：
当x
3,2
，即
x
2,3
，
f（x）
f（x）
2（
x
3）2
4
2（x3）2
4
又f（x）是以2为周期的周期函数，于是当
x
1,2
，即
3
x
4
2时，
有f（x）
f（x
4）
f（x）
2（x
4）
32
4
2（x
1）2
4（1
x
2）.
f（x）
2（x
1）2
4（1
x
2）.
4、判断函数奇偶性
例6.已知f（x）的周期为
4，且等式f（2
x）
f（2
x）对任意x
R均成立，
判断函数
f（x）的奇偶性.
解：
由f
（x）的周期为
4，得f（x）
f（4
x），由f（2
x）
f（2x）得
f（
x）
f（4
x），
f（
x）
f（x）,故f（x）为偶函数.
5、确定函数图象与x轴交点的个数
例7.设函数f（x）对任意实数x满足f（2x）f（2x），f（7x）
f（7x）且f（0）0,判断函数f（x）图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.
解：
由知函数f（x）象关于直x2和x7称，又由函数的性得
f（x）是以10周期的函数
.在一个周期区0,10
上，
f（0）
0,f（4）f（22）
f（22）
f（0）0且f（x）不能恒为零,
故f（x）象与x至少有
2个交点.
而区
30,30有6个周期，故在区
30,30
上f（x）象与x至少有
13个交
点.
6、在数列中的应用
例8.在数列an中，a13,an1an1（n2），求数列的通公式，并算
1an1
a1a5
a9
a1997.
分析：
此的思路与例
2思路似.
解：
令a1
tg
a2
1
a1
1
tg
）
1
a1
1
tg（
tg
4
1
a2
1
tg（
4
）
tg（2
）
a3
a2
1
1
tg（
）
4
4
an1
tg
（n1）
于是an
1
an
1
tg（n1）
1
an
4
1
4
不用法明数列的通：
an
tg（
n
），且以
4周期.
4
4
于是有
1，5，9⋯1997是以4公差的等差数列，
a1
a5
a9
a1997，由1997
1
（n
1）4得数
500，
a1
a5
a9
a1997500
a1
5003.
7、在二项式中的应用
例9.今天是星期三，求今天后的第
9292天是星期几
分析：
化二式的展开式后，利用一周七天个循数来行算即可.
解：
9292（911）92C9209192C9219191C9290912C9291911
9292
（713
1）92
C920
（713）92
C921（713）91
C9290（713）2
C9291（713）1
因展开式中前
92中均有
7个因子，最后一
1，即余数，
故9292天星期四.
8、复数中的应用
例10.（上海市
1994年高考题）设z
1
3i（i是虚数单位），则满足等式zn
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