函数对称性周期性和奇偶性的规律总结大全.docx

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函数对称性周期性和奇偶性的规律总结大全

函数对称性、周期性和奇偶性规律

一、同一函数的周期性、对称性问题（即函数自身）

1、周期性：

对于函数y=/（x），如果存在一个不为零的常数t,使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期

2、对称性定义（略），请用图形来理解。

3、对称性：

我们知道：

偶函数关于y（即宁0）轴对称，偶函数有关系式/（-X）=f（X）奇函数关于（0.0）对称，奇函数有关系式f（X）+f（-X）=0上述关系式是否可以进行拓展？

答案是肯定的

探讨：

（1）函数y=/（x）关于x=a对称<=>f（a+x）=f（a-x）

f（a+x）=f{a-a）也可以写成/（a）=f（2a-x）或/（-x）=f（2a+x）

简证:

设点（％,）、）在），=/（x）上,通过/（X）=/（2〃一x）可知,=/•（%）=，'（2"—工]）,即点（2a一xx,力）也在y=f（x）上，而点（西,—）与点（2。

一x{,关于x=a对称。

得证。

若写成：

f（a+x）=f（b-x）,函数>-=f（x）关于直线x=U/~A）+（Z—°=-对称

22

（2）函数y=f（x）关于点（0b）对称Of（a+x）+f（a-x）=2b

上述关系也可以写成/（2«+x）+/（-a）=2/?

或f（2a-x）+f（x）=2b

简证：

设点（Aj,y,）在y=/（x）上，即Vi=y（X]），通过/（2tz-x）4-f（x）=2/?

可知，f（2a-Xj）+f（x{）=2b,所以/（2«-x1）=2Z?

-/（x1）=2Z?

->'1,所以点（2a-Xj,2b-）也在y=/（x）±,而点（2ci-,2b-y,）与（天，口）关于（。

，）对称。

得证。

若写成：

f（a+x）+f（b-x）=c,函数y=f（x）关于点对称

22

（3）函数y=/（工）关于点、=人对称:

假设函数关于y=h对称•即关于任一个x值，都有两个y值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于y=b对称。

但在曲线c（x,y）=O，则有可能会出现关于y=b对称，比如圆c（A\y）=『+y2一4=0它会关于y=o对称。

4、周期性：

（1）函数y=/⑴满足如下关系系，则/⑴的周期为27c、/（.+〔）="/⑴或/（.+三）=]_」（•'）（等式右边加负号亦成立）

fW

2l-/（x）2l+/（x）

D、其他情形

（2）函数y=/（x）满足f（a+x）=f（a-x）且f（b+x）=f（b一x）,则可推出f（x）=f（2a—x）=f[b+（2a—x—b）]=f[b—（2a—x—b）]=f[x+2（b—d）]即可以得到y=/（X）的周期为2（b-a）,即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x轴两条直线对称.则函数一定是周期函数”

（3）如果奇函数满足/（X+T）=-/（X）则可以推出其周期是2T,且可以推出对称轴为

x=—+2kT（kez）,根据/（x）=f（x+2T）可以找出其对称中心为（kT,O）（kez）（以2

上膈。

）

如果偶函数满足f（X+T）=-f（X）则亦可以推出周期是2T,且可以推出对称中心为T

（.+2kT,O）（kez）,根据/（x）=J（x+2T）可以推出对称轴为x=T+2kT（kez）（以2

上JO）

（4）如果奇函数）'=/3满足/（T+xN/St）（7。

°）,则函数y=/3）是以4T为周期的周期性函数。

如果偶函数）'=/⑴满足r（T+x）=/0-x）（言0）,则函数）'=/3）是以2T为周期的周期性函数。

定理3：

若函数/（x）在R上满足f（a+x）^f（a-x）,且f（b+x）=f（b-x）（其中u#b）,则函数j，=/（x）以2（“一方）为周期.

定理4：

若函数/（x）在R上满足f（a+x）=-f（a-x）,^f（b+x）=-f（b-x）（其中。

。

b）,则函数y=f（x）以2（。

一方）为周期.

定理5：

若函数/（x）在r上满足f（a+x）=f（a-x）9且f（b+x）=-f（b一x）（其中a^b）9则函数y=/'（*）以4Q一方）为周期.

二、两个函数的图象对称性

1、）'=/（x）与y=-fW关于x轴对称。

换种说法：

y==g（x）若满足/（A-）=—g（x），即它们关于y=。

对称。

2、>'=7M与y=f（~x）关于丫轴对称。

换种说法：

y=f（x）与y=g（x）若满足/（x）=g（-x）,即它们关于x=0对称。

3、）'=/"）与）'=/（2"_工）关于直线x=o对称。

换种说法：

y=fM与y=g（x）若满足/Cx・）=g（2o—x）,即它们关于x=a对称。

4、y=f（x）与y=2a-f（x）关于直线y=a对称°

换种说法：

y=fM与y=g（x）若满足/（a）+g（x）=2ci,即它们关于y=a对称。

5、y=/（x）与y=2b-f（2a-x）关于点（a,b）对称。

换种说法：

y=fW与），=g（x）若满足f（x）+g（2a-x）=2b.即它们关于点（a,b）对称。

6、y=f（a-x）与y=（x-Z?

）关于直线x=对称。

2

7、函数的轴对称：

定理1：

如果函数y=f（x）满足f（（i+x）=f（b-x）.则函数j=/（x）d

推论1：

如果函数y=f（x）满足f（a+x）=f（a-x）.则函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称.

推论2：

如果函数y=f（x）满足/（*）=/'（_x）,则函数y=/（X）的图象关于直线x=0（y轴）对称.

特别地，推论2就是偶函数的定义和性质.它是上述定理1的简化.

8、函数的点对称：

定理2：

如果函数y=f（x）满足f（（i+x）+f（a-x）=2bf则函数y=f（x）的图象关于点（“0）对

推论3：

如果函数y=f（x）满足f（a+x）+f（a-x）=O.则函数y=f（x）的图象关于点（。

0）对称.

推论4：

如果函数y=f（x）满足/（x）+/（-x）=O,则函数y=/（x）的图象关于原点（0,0）对称.特别地，推论4就是奇函数的定义和性质.它是上述定理2的简化.

三、总规律：

定义在R上的函数J=/（X）.在对称性、周期性和奇偶性这三条性质中，只要有两条存在，则第三条一定存在。

四、试题

1.已知定义为R的函数f（x）满足/（-x）=-/（x+4）,且函数/（x）在区间（2,+8）上单调递增.如果

Xj<2

分析：

/（-x）=-/（x+4）形似周期函数/（x）=/（x+4）.但事实上不是，不过我们可以取特殊值代入，通

过适当描点作出它的图象来r解其性质.或者，先用X-2代替x,使y（-x）=-/（x+4）变形为

/（2-x）=-/（x+2）,它的特征就是推论3.因此图象关于点（2,0）对•称./（X）在区间（2,+8）上W调递增，在区间（一8,2）上也单调递增.我们可以把该函数想象成是奇函数向右平移r两个单位.

v2

）V/（4_X］）,又由y（-x）=-/（x+4）,

有/（4-x,）=/［-（x,-4）］=f（Xl-4+4）=-f（X1）,

二/'（勺）+/（》2）

当然，如果已经作出大致图象后，用特殊值代人也可猜想出答案为A.

2：

在R上定义的函数/⑴是偶函数，且f（x）=f（2-x）.^f（x）在区间［1,2］上是减函数，则f（x）（B）

A.在区间上是增函数，在区间［3,4］上是减函数

B.

C.在区间[-2,-1]

在区间［一2,—1］上是增函数，在区间［3,4］上是减函数

上是减函数，在区间

上是减函数，在区间

[3,4]

上是增函数

分析：

由/（尤）=/（2—工）可知/（x）图象关于x=l对称，即推论1

的应用.又因为/（X）为偶函数图象关于*=0对称.可得到/（*）为周期函数且最小正周期为2,结合/（X）在区间[1,2]上是减函数，可得如右/（X）草图.故选B

3.定义在R上的函数/（X）既是奇函数，又是周期函数，丁是它的一个正周期.若将方程/（X）=0在闭区间

匕的根的个数记为〃，则〃可能为（D）

A.0B.1C.3D.5

分析：

f（T）=f（-T）=0,/（-L=-/（I）=/（-y+T）=/（L,

TT

A/（一一）=f（-）=0,则〃可能为5,选D.

22

4.已知函数/（X）的图象关于直线x=2和x=4都对称，且时，/（x）=x.求/（19.5）的值.

分析：

由推论1可知，/'（X）的图象关于直线x=2对称，即f（2+x）=f（2-x）,

同样，7（x）满足/（4+x）=/（4-x）.现由上述的定理3知f（x）是以4为周期的函数.

.・./（19.5）=/（4x4+3.5）=/（3.5）=/[4+（-0.5）]=/（-0.5）,同时还知/'（x）是偶函数，所以/（-0.5）=/（0.5）=0.5,

5./（x）=/（398-x）=/（2158-x）=/（3214-x）,则/（0）,/（I）./

（2）.…,f（999）中最多有（B）个不同的值.

A.165B.177C.183D.199

分析:

由已知/（x）=/（398-x）=/（2158-x）=/（3214-x）=/（x+1056）

=/（x+1760）=/（x+704）=/（x+352）.

又有/（x）=/（398-x）=/（2158-x）=/（3214-x）=/（a-+1056）

=/[2158-（1056+a）]=/（1102-x）=/（1102-x-1056）=/（46-x）,

于是/（x）有周期352,于是｛/（0）,/（!

）,...,/（999）｝能在（/（0）,/（I）,...J（351）｝中找到.

又/⑴的图像关于直线x=23对称，故这些值可以在（/（23）,/（24）,...,/（351）｝中找到.又/⑴的图像关于直线x=199对称，故这些值可以在｛f（23）,f（24）,・・・J（199）｝中找到.共有177个.选b.

6：

己知/（刀）=尸三,£（x）=/La（x）]，…，Z>+iW=/[AW]»则1—DX

扃M（-2）=（A）.

113

A.B.—C.D.3

775

分析：

由/（工）=舄，知/（X）=-^―1-,f2（X）=f

/（X）为迭代周期函数，故f3n（x）=f（x）,扃04（工）=/（工），£曲（-2）=/（-2）=-；.

选A.

7：

函数/（】）在R上有定义，且满足/（x）是偶函数，且/（0）=2005.^（x）=/（x-l）是奇函数，则/（2OO5）的值为

解:

g（-x）=f（-x-l）=_g（x）=_f（x—l），/（-x-l）=-/（x-l）.令y=x+\9则

/（_）,）=_/（）,_2）,即有/（a）+/（x-2）=0,令％=f（x）,则an+an_2=0,其中小=2005,

_2005「・〃（*cnn<\2005「•倾s/.X20051

%-0，Cin=———I+（-/），f（2005）=a2QO5=———I+（T）

Z」•21-

=0.或有f（x）=_f（x-2）,得f（2005）=-/（2003）=/（2001）=-/（1999）=

"⑴=0.

8.设函数f（x）（xeR）为奇函数，/（I）=^-,/（a+2）=/（%）+/

（2）,则/（5）=（c）

5

A.0B.1C.-D.5

2

分析：

答案为B°先令f

（1）=f（-1+2）=f（-1）+f

（2）=1/2,根据奇函数的定义可求得f（-1）—1/2,所以，

f

（2）=1.f（5）=f（3）+f

（2）=f

（1）+f

（2）+f

（2）=5/2,所以，答案为c°

9.设/（a）是定义在A上以6为周期的函数，/Cr）在（0,3）内氓调递减，且yV<.v）的图象关于直线x=3对称，则

下面正确的结论是（B）

（A）f（1.5）

（B）/（3.5）v/（1.5）v/（6.5）:

（C）/（6.5）

分析：

答案为B。

做这种带周期性、单调性的试题，通常的做法是将f（x）设成正弦或余弦函数，具体到本题，可将f

案为

10.设函数J'⑴与g（x）的定义域是（xe/?

|x^±l）,函数J'⑴是一个偶函数，g（x）是一个奇函数，且f（x）-g（x）=—,则/（X）等于（C）

工一1

分析：

答案为C.本题是考察函数奇偶性的判定，并不难，根据奇偶性的定义，即可得出答案为C

11：

已知函数冏在（一1，1）上有定义，K土）=—1，当且仅的0<1<1时/U）vO,且对任意X、yE（-M）都有必）侦），）项1+jq，），试证明：

（iyw为奇函数：

（2yw在（一1,1）上单调递减.

证明：

（1）由/UM.V）项W■河令A=.v=O,得八0）=0・

令.v=—x.得亦）+六—.（）=/（—）=，0）=0..•..心）=一/I一.（）.・项.1）为奇函数.

x7

⑵先证加在（。

，D上单调递减.令。

5E.则gf）

O0・1-A|X2>0,/.5vv>0.

后一XX2-X1

又（A：

2—X1）—（1—X2A|）=（X2—1）（由+1）<0，AX!

"^|

1一中21一巧刀2

即川2质心）..・./U）在（0,1）上为减函数，又处）为奇函数且K0）=0，•项局在（T，1）上为减函数.

12.已知函数y=/（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5,函数y=/（x）（-l

又知y=f（x）在〔0,1］

上是一次函数，在［1,4］上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值一5.

1证明：

/•⑴+/•⑷=0：

②求y=f（x\xe［lA］的解析式：

③求y=）在",9］上的解析式.

解：

"（.U是以5为周期的周期函数，.••/（4）=/（4一5）=八一1），

又），=

2q1.ve|1.4］时，由题意可设/（］）=。

（】一2）2-5（。

>0），

由/

（1）+/（4）=。

得。

（1一2）2—5+。

（4一2尸一5=0,.•.。

=2,

Af（x）=2（x-2）2-5（l

③y=/（x）（-l

又知y=fW在[0,1]上是一次函数，..•可^/（x）=Ax（O

（1）=2（1-2尸一5=-3,•••A=-3,.••当0K<1时./（x）=・3x,

从而Mzi-1

当6vxO9时，lvx-5W4,..•/（x）=/（〃一5）=2[（x-5）-2]2-5=2（」一7]-5

.../w=

-3x+15,4

2（—7尸-5,6

戚设r（X）是定义在1上的偶函数，其图象关于直线x=1对称对任意”，*zW[oL],都有f（x.+x2

2）=f（x|）•f（>v?

）.且/（!

）=a>0・

（II）证明f（X）是周期函数:

（HI）记=f（2/?

+—）,求・/Jcn

2n

（I）解：

因为对Xi，[0,—].都有f（Xi+X2）=f（Xi）•f（足），

2

所以

YxXX

fM=/（-+-）=/（-）./（-）>0,xe[0,1]

匕匕匕£

⑴=心!

）=/（方（!

）=[/（!

）]2/（!

）=/（!

+!

）=/（!

）./（!

）=〔八!

）]2

f（\）=a>0,

（II）证明：

依题设y=fFx）关于直线x=l对称，

故r（x〉=尸（1+1—x）,

即广（*）=，（2—*）,xGR

又由广（X）是偶函数知r（一x）=r（x）,XGR,

Af（—x）=f（2—X）,zVGR.

将上式中一x以x代换，得,（x）=广（x+2）,R

这表明r（x）是R上的周期函数，且2是它的一个周期.

（III）解：

由（I）知尸（x）30.[0,1]

•••/4）=/（〃•4=/[=+（〃T）」]

22n2n2n

==

2n2n

=疽）•疽）••…/

（二）=[/（=）]"

2n2n2n2n

/（|）=，户

In

f（x）的一个周期是2

11土

f（2/7）=r（—），因此&户。

2n2n

函数对称性与周期性几个重要结论赏析

湖南周友良黄爱民

【本史尘】【关闭】

对称性和周期性是函数的两个重要性质，下面总结这两个性质的几个重要结论及运用它们解决抽象型函数的有关习题。

一、几个重要的结论

（-）函数图象本身的对称性（自身对称）

1、函数y=7（对满足/（7+对=/（了一对（T为常数）的充要条件是y=f^）的图象关于直

线x=T对称。

2、函数）满足=（T为常数）的充要条件是）的图象关于直

线x=T对称。

3、函数满足的充要条件是=图象关于直线

（口十泠十（方一I）a^h

”—22对称。

4、如果函数满足/S+Q=且弓-力，（寄和写是不相等的常数），则y=f^）是以为2（乌-C）为周期的周期函数。

5、如果奇函数V=）满足/（T+x）=/（Z-^）（TmO）,则函数y=J^）是以4T为周

期的周期性函数。

6、如果偶函数y=J^x）满足,（7+对二/（了一"（了蒲。

），则函数y=J^x）是以2T为周期的周期性函数。

（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、曲线y=J^）与^=-/W关于x轴对称。

2、曲线y=J^）与〃二/（一Q关于丫轴对称。

3、曲线y=J^）与y=关于直线x=a对称。

4、曲线，（时）=0关于直线A=b对称曲线为必一力=0。

5、曲线了（孟力=0关于直线x+】+c=0对称曲线为-况—c,—/_《）=0。

6、曲线外乃=0关于直线工一7+c=0对称曲线为/勃次+仁）二°。

7、曲线六时）=°关于点尹（"）对称曲线为六2「瑟1）=0°

二、试试看，练练笔

f（了）—2^4-A

1、定义在实数集上的奇函数73）恒满足=，且xe（T,0）时，一5,

则/（1。

822。

）=o

2、已知函数y=f^）满足/W+/（2-a）=o,则j=/（a）图象关于对称。

3、函数〃二/（X一1）与函数〃二/（I一Q的图象关于关于对称。

4、设函数y=fM的定义域为r.且满足,8一1）=7（1一寸，则y=fM的图象关于对称。

5、设函数y=fM的定义域为r,且满足了3+1）=顶（1一同，则^=/（^+1）的图象关于

对称。

y=J^图象关于对称。

6、设=的定义域为r,且对任意xwR,有,（1一2对二/（2Q,则y=f（2^）图象关

于对称，〃=关于对称。

7、已知函数y=f（x）对一切实数X满足=+,且方程/W=0有5个实根，

则这5个实根之和为（）

A、5B、10C、15D、18

8、设函数y=J^的定义域为r,则下列命题中，①若E6是偶函数，则图象关于y轴对称：

②若〃二/（x+2）是偶函数，则y=图象关于直线X=2对称：

③若/（x-2）=/（2-x）,则函数^=/W图象关于直线x=2对称：

④〃二/5一2）与

—对图象关于直线a=2对称，其中正确命题序号为°

9、函数）定义域为R,且恒满足/（^+2）=/（2-^）和J（6+x）=J（6一对，当

/（x）=2-—x日、

2<3t<6时，'2,求/（X）解析式。

io、已知偶函数）定义域为R,且恒满足了次+2）=J（2—升），若方程/W=0在

【°可上只有三个实根，且一个根是4,求方程在区间（-湄°〕中的根.

附参考答案：

3：

-1E：

（1，°）务：

X=1舄：

y轴即A=0^5.®y轴②A=1

_1_1

7X——X——77

6：

①4②2fc如：

②④

—（x-8^:

）（82

一_（x—歇）+2（3^+2

A:

gZ）_2

乃。

:

方程的根为一6,-4,-2,0,2,4,6,8,1Q共9个根

抽象函数的对称性与周期性

一、抽象函数的对称性。

性质1、若函数y=f（x）关于直线x=a轴对称，则以下三式成立且等价:

（1）f（a+x）=f（a—x）。

（2）f（2a—x）=f（x）«

（3）f（2a+x）=f（—x）。

性质2、若函数y=f（x）关于点（a,0）中心对称，则以下三式成立且等价: