七年级数学上册第三章一元一次方程3.docx

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七年级数学上册第三章一元一次方程3

七年级数学上册第三章一元一次方程3

第4课时　分段计费与一元一次方程

情景导入　　置疑导入　　归纳导入　　复习导入　　类比导入　　悬念激趣

图3－4－15

情景导入　某市为了鼓励市民节约用水，制定了以下水费收费标准：

每月用水量分为标准内和标准外两部分．每月用水量在标准内按每吨1.96元收费；在标准外按每吨2.94元收费.6月份张三家用水12吨．交水费27.44元．该市月标准用水量是多少吨？

[说明与建议]说明：

通过身边的节约用水分段收费，让学生体会身边的数学，提高兴趣，逐渐培养学生学好数学的积极性．建议：

先让学生多读几篇情境导入，理清已知、未知，以及它们之间的关系，可以采取小组合作探究的模式开展．

复习导入　

（1）用一元一次方程解应用题的一般步骤是什么？

（2）你了解现在电费、水费的收缴方法吗？

已知用电量求电费容易，反过来，如何已知电费求用电量呢？

[说明与建议]说明：

通过复习列一元一次方程解应用题的一般步骤，引出电费、水费的分段收费问题，激起学生的兴趣，为切入新课做好准备．建议：

可事先布置预习作业，让学生到各个电费收缴中心，了解阶梯电费的收费规则，课堂上大家交流对规则的理解，为新课做铺垫．

教材母题——教材P104探究3

电话计费问题

下表中有两种移动电话计费方式．

图3－4－16

月使用

费/元

主叫限定

时间/min

主叫超时

费/（元/min）

被叫

方式一

58

150

0.25

免费

方式二

88

350

0.19

免费

　　考虑下列问题：

（1）设一个月内用移动电话主叫为tmin（t是正整数）．根据上表，列表说明：

当t在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费．

（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？

通过计算验证你的看法．

【模型建立】

分段收费问题一般的解题步骤是：

（1）理解题意，找出已知和未知；

（2）验算收费是在哪一个段内；（3）根据这一段的收费规则列出方程；（4）解方程并检验解的合理性；（5）作答．

【变式变形】

1．某地居民生活用电基本价格为0.50元/度．规定每月基本用电量为a度，超过部分每度电价比基本用电量的每度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共交电费56元，则a＝__40__度．

2．[大庆中考]某市出租车起步价是5元（3公里及3公里以内为起步价），以后每公里收费是1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元，则此出租车行驶的路程可能为（B）

A．5.5公里　　　　B．6.9公里　　　　C．7.5公里　　　　D．8.1公里

3．某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按如下标准收费：

若每月每户用水不超过12吨，按每吨a元收费；若超过12吨，则超过部分按每吨2a元收费，如果某户居民五月份缴纳水费20a元，则该居民这个月实际用水（D）

A．4吨B．8吨C．12吨D．16吨

4．某市为更有效地利用水资源，制定了居民用水收费标准：

如果一户每月用水量不超过15立方米，每立方米按1.8元收费；如果超过15立方米，超过部分按每立方米2.3元收费，其余仍按每立方米1.8元收费．另外，每立方米加收污水处理费1元．若某户一月份共支付水费58.5元，求该户一月份的用水量．

解：

∵若某户每月用水量为15立方米，则需支付水费15×（1.8＋1）＝42（元），

而42＜58.5，

∴该户一月份用水量超过15立方米．

设该户一月份用水量为x立方米，

根据题意得：

15×1.8＋2.3（x－15）＋x＝58.5，解得x＝20.

答：

该户一月份的用水量为20立方米．

[命题角度1]分段收费问题

此类问题通常与现行阶梯电费、水费挂钩，逆向设置条件：

在阶梯电价（水价）的规则上，已知电（水）费，求用电（水）量．解决此类问题的一般步骤为：

（1）理解题意，找出已知和未知；

（2）验算收费是在哪一个段内；（3）根据这一段的收费规则列出方程；（4）解方程并检验解的合理性；（5）作答．

例　[淄博中考]为鼓励居民节约用电，某省试行阶梯电价收费制度，具体执行方案如下：

档次

每户每月用电量（度）

执行电价（元/度）

第一档

小于或等于200

0.55

第二档

大于200且小于400

0.6

第三档

大于或等于400

0.85

　　例如：

一户居民七月份用电420度，则需缴电费420×0.85＝357（元）．某户居民五、六月份共用电500度，缴电费290.5元．已知该用户六月份用电量大于五月份，且五、六月份的用电量均小于400度．问该户居民五、六月份分别用电多少度？

解：

因为两个月的总用电量为500度，所以每个月用电量不可能都在第一档，假设该用户五、六月每月用电均超过200度，此时的电费共计：

500×0.6＝300（元），而300>290.5，不符合题意，又因为六月份用电量大于五月份，所以五月份用电量在第一档，六月份用电量在第二档．

设五月份用电x度，则六月份用电（500－x）度，根据题意，得0.55x＋0.6×（500－x）＝290.5，解得x＝190，500－x＝310.

答：

该户居民五、六月份分别用电190度、310度．

[命题角度2]增长（降低）率问题

利用一元一次方程解决增长（降低）率问题：

（1）增长率＝；

（2）增长后的量＝原来的量×（1＋增长率）；（3）降低率＝；（4）降低后的量＝原来的量×（1－降低率）．

例　某开发区去年出口额达到25亿美元，今年1～6月份，出口额达11.8亿美元，比去年同期增长18%，预计今年7～12月份的出口额可比去年同期增长25%，则这个开发区今年全年出口额预计是多少亿美元？

解：

由题意可得，去年1～6月份的出口额为11.8÷（1＋18%）＝10（亿美元）．

设这个开发区今年全年出口额预计是x亿美元．

由题意，得10＋＝25，

解得x＝30.55.

答：

这个开发区今年全年出口额预计是30.55亿美元．

[命题角度3]方案选择问题

解决方案选择问题的一般方法：

（1）运用一元一次方程求两种方案值相等的情况；

（2）用特殊值试探法、选择法、取小于（或大于）一元一次方程的解的值，比较两种方案的优劣性后，再下结论．

解这类题常用到分类讨论思想，基本步骤如下：

（1）确定讨论对象和研究的区域；

（2）对所讨论的问题进行合理分类（分类时要做到不重复、不遗漏、标准统一、分层不越级）；（3）逐类讨论，即对各类问题详细讨论，逐步解决；（4）归纳总结，整合得出结论．

例　天骄超市和金帝超市以同样的价格出售同样的商品，为了吸引顾客，两家超市都实行会员卡制度，在天骄超市购买500元的商品后，即可获得天骄会员卡，再购买的商品按原价的85%收费；在金帝超市购买300元的商品后，即可获得金帝会员卡，再购买的商品按原价的90%收费．顾客怎样选择商店购物能获得更大优惠？

解：

设顾客购物金额为x元．

①当0≤x≤300时，顾客在两家超市购物花费都一样．

②当300

③当x>500时，顾客在金帝超市花费300＋0.9（x－300）＝（0.9x＋30）元；在天骄超市花费500＋0.85（x－500）＝（0.85x＋75）元，（0.9x＋30）－（0.85x＋75）＝0.05x－45，利用特殊值法可得当500900时，0.05x－45>0.

所以当500

当x＝900时，顾客在两家超市购物花费都一样；

当x>900时，顾客在天骄超市购物能获得更大优惠．

P106练习

1．某商店有两种书包，每个小书包比大书包的进价少10元，而它们的售后利润额相同．其中，每个小书包的盈利率为30%，每个大书包的盈利率为20%，试求两种书包的进价．

[答案]小书包的进价为20元，大书包的进价为30元．

2．用A4纸在某誊印社复印文件，复印页数不超过20时，每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费降为0.09元．在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元．复印张数为多少时，两处的收费相同？

[答案]60张．

3．下表是某校七～九年级某月课外兴趣小组活动时间统计表，其中各年级同一兴趣小组每次活动时间相同．

课外小组活

动总时间/h

文艺小组

活动次数

科技小组

活动次数

七年级

12.5

4

3

八年级

10.5

3

3

九年级

7

请将九年级课外兴趣小组活动次数填入上表．

[答案]

课外小组活

动总时间/h

文艺小组

活动次数

科技小组

活动次数

七年级

12.5

4

3

八年级

10.5

3

3

九年级

7

2

2

P106习题3.4

复习巩固

1．结合本节内容体会例2后归纳的框图．

[答案]略．

2．制作一张桌子要用一个桌面和4条桌腿，1m3木材可制作20个桌面，或者制作400条桌腿，现有12m3木材，应怎样计划用料才能制作尽可能多的桌子？

[答案]用10m3木材制作桌面，用2m3木材制作桌腿．

3．某车间每天能制作甲种零件500只，或者制作乙种零件250只，甲、乙两种零件各一只配成一套产品，现要在30天内制作最多的成套产品，则甲、乙两种零件各应制作多少天？

[答案]甲种零件制作10天，乙种零件制作20天．

4．某中学的学生自己动手整修操场，如果让七年级学生单独工作，需要7.5h完成；如果让八年级学生单独工作，需要5h完成．如果让七、八年级学生一起工作1h，再由八年级学生单独完成剩余部分，共需多少时间完成？

[答案]共需4小时20分钟完成．

5．整理一批数据，由一人做需80h完成．现在计划先由一些人做2h，再增加5人做8h，完成这项工作的.怎样安排参与整理数据的具体人数？

解：

设先由x人做2小时，则×2＋×8＝，

解得x＝2，x＋5＝7（人）．

答：

先安排2人做2小时，再由7人做8小时，就可以完成这项工作的.

方法规律：

此题也属工程问题．

综合运用

6．（古代问题）某人工作一年的报酬是年终给他一件衣服和10枚银币，但他干满7个月就决定不再继续干了，结账时，给了他一件衣服和2枚银币．这件衣服值多少枚银币？

解：

设这件衣服值x枚银币，则＝，解得x＝9.2.

答：

这件衣服值9.2枚银币．

7．用A型和B型机器生产同样的产品，已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品，求每箱装多少个产品．

[答案]每箱有12个产品．

8．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．

时间/min

0

5

10

15

20

25

温度/℃

10

25

40

55

70

85

（1）如果温度的变化是均匀的，21min时的温度是多少？

（2）什么时间的温度是34℃？

[答案]

（1）由图表知时间增加5分，温度升高15℃，所以每增加1min，温度升高3℃，则21min的温度为10＋21×3＝73（℃）．

（2）设时间为x分，列方程3x＋10＝34，解得x＝8.

9．某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼．制作1块大月饼要用0.05kg面粉，1块小月饼要用0.02kg面粉．现共有面粉4500kg，制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？

[答案]制作大月饼用2500kg面粉，制作小月饼用2000kg面粉