高考数学全国卷1答案与解析课件doc.docx
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高考数学全国卷1答案与解析课件doc
2013年理科数学全国卷Ⅰ答案与解析
一、选择题共12小题。
每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的一项。
1.已知集合
2
Ax|x2x0,Bx|5x5，则（）
A.A∩B=B.A∪B=RC.B?
AD.A?
B
考点：
集合的运算
解析：
A=（-,0）∪（2,+）,∴A∪B=R.
答案：
B
2.若复数z满足（34i）z|43i|，则z的虚部为（）
A.4B.
4
5
C.4D.
4
5
考点：
复数的运算
解析：
由题知===，故z的虚部为.
答案：
D
3.为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了
解到该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面
的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）
A.简单随机抽样B.按性别分层抽样C.按学段分层抽样D.系统抽样
考点：
抽样的方法
解析：
因该地区小学.初中.高中三个学段学生的视力情况有较大差异，故最合理的抽样方法是按学段
分层抽样.
答案：
C
4.已知双曲线：
（）的离心率为，则的渐近线方程为
A.B.C.
1
yxD.
2
考点：
双曲线的性质
1
解析：
由题知，，即==，∴=，∴=，∴的渐近线方程为.
答案：
C
5.运行如下程序框图，如果输入的，则输出s属于
A.[3,4]B.[5,2]C.[4,3]D.[2,5]
考点：
程序框图
解析：
有题意知，当时，，当时，，
∴输出s属于[-3,4].
答案：
A
6.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内
注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为（）
A.
500
3
3
cmB.
866
3
1372
3
cmC.
3
2048
3
cmD.
3
3
cm
考点：
球的体积的求法
解析：
设球的半径为R，则由题知球被正方体上面截得圆的半径为4，球心到截面圆的距离为R-2，则
，解得R=5，∴球的体积为
500
3
3
cm.
答案：
A
7.设等差数列an的前n项和为Sn,Sm12,Sm0,Sm13，则m（）
A.3B.4C.5D.6
考点：
等差数列
2
解析：
有题意知==0，∴=－=－（-）=－2，
=-=3，∴公差=-=1，∴3==－，∴=5.
答案：
C
8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．168B．88C．1616D．816
考点：
三视图
解析：
由三视图知，该几何体为放到的半个圆柱底面半径为2高为4，上边放一个长为4宽为2高为
2长方体，故其体积为=.
答案：
A
9.设m为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最
大值为，若13a7b，则m（）
A.5B.6C.7D.8
考点：
二项式的展开式
解析：
由题知=，=，∴13=7，即=，解得=6.
答案：
B
10.已知椭圆
22
xy
E:
1（ab0）
22
ab
的右焦点为F（3,0），过点F的直线交椭圆于A,B两点。
若AB
的中点坐标为（1,1），则E的方程为（）
A.
22
xy
4536
1
B.
22
xy
3627
1
C.
22
xy
2718
1
D.
22
xy
189
1
3
考点：
椭圆的概念与性质
解析：
设，则=2，=－2，
①②
①－②得，
∴===，又==，∴=，又9==，解得=9，
=18，∴椭圆方程为.
答案：
D
11.已知函数f（x），若||≥，则的取值范围是
A．B．C．[2,1]D．[2,0]
考点：
解不等式组，对数函数
解析：
∵||=，∴由||≥得，且，
由可得，则≥-2，排除Ａ，Ｂ，
当=1时，易证对恒成立，故=1不适合，排除C.
答案：
D
12.设AnBnCn的三边长分别为an,bn,cn，AnBnCn的面积为Sn，n1,2,3,，若
caba
nnnn
b1c1,b1c12a1，1,1,1
aabc，则（）
nnnn
22
A.{Sn}为递减数列B.{Sn}为递增数列
C.{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列D.{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列
考点：
S的求法
n
解析：
略
答案：
B
4
二．填空题：
本大题共四小题，每小题5分。
13.已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋（1－t）b，若b·c=0，则t=_____.
考点：
向量的数量积
解析：
=====0，解得=.
答案：
=
14.若数列{}的前n项和为Sn＝，则数列{}的通项公式是=______.
考点：
等比数列
解析：
当=1时，==，解得=1，
当≥2时，==－（）=，即=，
∴{}是首项为1，公比为－2的等比数列，∴=.
答案：
=
15.设当x时，函数f（x）sinx2cosx取得最大值，则cos______
考点：
求三角函数的最值
解析：
∵==
令=，，则==，
当=，即=时，取最大值，此时=，
∴===.
答案：
===
16.若函数=的图像关于直线x2对称，则的最大值是______.
考点：
图像的性质
5
解析：
由图像关于直线=－2对称，则
0==，
0==，解得=8，=15，
∴=，
∴==
=
当∈（－∞,）∪（－2,）时，＞0，
当∈（,－2）∪（,+∞）时，＜0，
∴在（－∞，）单调递增，在（，－2）单调递减，在（－2，）单
调递增，在（，+∞）单调递减，故当=和=时取极大值，=
=16.
答案：
16
三.解答题：
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB=3，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°
1
，求PA；
（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA
（1）若PB=
2
考点：
余弦定理，正弦定理
解析：
（Ⅰ）由已知得，∠PBC=，∴∠PBA=30
o，在△PBA中，由余弦定理得=
=，∴PA=；，
（Ⅱ）设∠PBA=，由已知得，PB=，在△PBA中，由正弦定理得，，
6
化简得，，
∴=，∴=.
18.（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°.
（Ⅰ）证明AB⊥A1C;
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值。
考点：
线与线垂直证明，线与面所成角的求法
解析：
（Ⅰ）取AB中点E，连结CE，，，
∵AB=，=，∴是正三角形，
∴⊥AB，∵CA=CB，∴CE⊥AB，∵=E，∴AB
⊥面，
∴AB⊥；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知EC⊥AB，⊥AB，
又∵面ABC⊥面，面ABC∩面=AB，∴EC⊥面，
∴EC⊥，
∴EA，EC，两两相互垂直，以E为坐标原点，的方向为轴正方向，||为单位长度，建
立如图所示空间直角坐标系，
有题设知A（1,0,0）,（0,,0）,C（0,0,）,B（－1,0,0）,则=（1,0，）,==（－1,0,
）,=（0,－,）,⋯⋯9分
设=是平面的法向量，
则，即，可取=（，1，-1），
7
∴=，
∴直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.
19.（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：
先从这批产品中任取4件作检验，
这4件产品中优质品的件数记为n。
如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批
产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情
况下，这批产品都不能通过检验。
假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品
相互独立
（1）求这批产品通过检验的概率；
（2）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所
需的费用记为X（单位：
元），求X的分布列及数学期望。
考点：
求事件发生的概率、期望
解析：
设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A，第一次取出的4件产品中全为优质品为
事件B,第二次取出的4件产品都是优质品为事件C，第二次取出的1件产品是优质品为事件D，这批产品
通过检验为事件E，根据题意有E=（AB）∪（CD）,且AB与CD互斥，
∴P（E）=P（AB）+P（CD）=P（A）P（B|A）+P（C）P（D|C）=+=.
（Ⅱ）X的可能取值为400,500,800，并且
P（X=400）=1-=，P（X=500）=，P（X=800）==，
∴X的分布列为
X4058
00000
P
EX=400×+500×+800×=506.25
20.（本小题满分12分）已知圆:
圆:
动圆与外切并且与
圆内切，圆心的轨迹为曲线C.
8
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）是与圆,圆都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.
考点：
椭圆的概念，直线与椭圆位置关系
解析：
由已知得圆的圆心为（-1，0）,半径=1，圆的圆心为（1,0）,半径=3.
设动圆的圆心为（，），半径为R.
（Ⅰ）∵圆与圆外切且与圆内切，∴|PM|+|PN|===4，
由椭圆的定义可知，曲线C是以M，N为左右焦点，场半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），
其方程为.
（Ⅱ）对于曲线C上任意一点（，），由于|PM|-|PN|=≤2，∴R≤2
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