牛顿插值法在测量数据处理中的应用_精品文档.pdf

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电侧与仪表1义洲.8牛顿插值法在测量数据处理中的应用哈尔滨投资高等专科学校顾宇华摘要本文介绍了用牛顿擂值法由浏量数据构即可用Pn（）x来代替f（）x而且Pn（）x曲线通过造浏量曲线的公式和相应的计算程序框图.通f认）各点（即各测量点）.式中f闻、f再x,）、过实例说明了这种方法在测量数据处理中的应f（耘xl,动为插值多项式各阶系数也称各阶用,最后对擂值误差进行了讨论。

差商.根据测量值可求得各阶差商,即可获得叙词插值法浏量曲线计算程序浏量数么x（）。

据处理牛顿多项式的截断误差公式为一、月11舀在测量数据的处理中,插值法是函数逼近的重要方法。

它的基本思想是,实践中碰到的函数fx（J的表达式很复杂,有的甚至给不出表达式,而只是给出了函数fx（）在a,b1（即测量范围）上互异的n+1个点不及对应的函数值了以）（即测量值,=10,l,川。

我们要寻求某个函数nPx（）,去近似地代替fx（）。

如果要求p。

x（）与被近似的函数fx（）在某些点上具有相同的函数值（即p。

x（）曲线通过这些点）、甚至到某阶导数值,而在其它点处以p。

（x）近似代替fx（）,称这样的函数逼近问题为插值问题。

近似函数nPx（）称为插值函数,选择p:

x（）为代数多项式的这种插值称为代数插值或称多项式插值,这里所指的就是多项式插值。

牛顿多项式插值法,也称差商形式的插值法,其多项式pn（x）的系数是函数fx（）的各阶差商。

二、构造测且曲线的公式设在测量过程中得到n十1对数据ix、戈（即f以）=夕i,i=0,l,2,。

）,构造测量曲线的n次多项式pnx（）,使它满足条件P。

（养）=y、（i=0,l,2,川（l）求得（过程略）满足公式（l）条件的牛顿插值多项式公式为:

P:

（x）二f闯+f（凡,xl）x（一劝+f（x0,xl,司x（一动x（一xx）+十f帆,xl,戈）x（一石Xx一x,）x（一戈一!

）

（2）凡（x）=了（x）一P:

x（）二f帆,xl,戈,x）x（一凡）x（一xl）x（一戈）（3）三、差商的计算及计算程序框图各阶差商的计算公式为二一阶差商f（凡,xl）=f（x!

习=f（xl）一f（劝XI一凡f（习一f（x1）凡一xl二阶差商f帆,x1,动二f（x.,习一f（凡,xl）fx（,花,x3）二凡一凡f（凡,xs）一f（x1,习x3一Xln阶差商f（凡,xl,有二动_f（x,凡,动一f帆,xl,戈一,）气一凡为明显表示各阶差商的关系以及为计算机设计计算程序方便,列差商计算表如表1。

表1中对角线上划横线的各阶差商值正是公式

（2）中的各项系数。

由表1和差商计算公式可知,由测量值求各阶差商计算是很繁琐的。

为此可用计算机进行计算,其计算程序框图如图1。

程序框说明:

框2,输人数据,共中养是给出值,f（助是测量值（i=o,l,2,。

）:

f（i）（i=0,l,n）是差21图I差商计算表侧侧t值值一阶差商商二阶差商商三阶差商商四阶差商商商差商数组组气气气f冈冈冈冈冈冈冈冈凡凡凡了阁阁阁阁阁阁阁f）（0气气气f怀）f锡幻幻幻幻幻幻f

（1）气气气f闪闪了认,动动f（凡,气,司司司司司f

（2）气气气f闪闪f帆司司f（气,凡习习f（凡,从,今劝劝劝劝f（3）凡凡凡f阁阁f帆,习习了（花,气,司司f（不,耘花,司司f（凡.气,凡气,劝劝劝f（4）,人城从f（x）,幼fmi二.01刀陀一而弄于乒是一勺_厂;、一L月、.少J、二少J、啊.,一通一J、.户N/了、卜Y匕翌型耳西踢牺习口-一刘框4（虚线框）,是求插值多项式的值几x（）,用一层循环,把公式

（2）中右端各项累加求和,并把求和结果存于p中。

四、牛顿插值法测且数据处理实例已知测量点入和f以）（即测量值）如表2i（=O,l,5）,欲求插值多项式p。

x（）及x二0.5%所对应的测量的近似值及其误差。

首先把测量数据代人差商计算公式求得各阶差商。

如一阶差商f帆x,）=fx（,）一闯xl一凡0.57815一0.410750.55一0.40=1.116X（）fx（,劝二=1.1860图1商数组（见表1最右列）,开始存放测量值的f以i）（=0,1,n）值,最后存放差商表（表l）中对角线上的划横线的各阶差商值,即f闻f（0）,f帆内）f（l）,。

框3（虚线框）是各阶差商值的计算过程。

由两层循环完成:

外层循环,循环变量是j,表示计算第j阶差商,循环变量初值为1,终值为;n内层循环,循环变量是i,表示同阶差商计算几次,循环变量的初值是n,终值为ojfx（4,劝=f（司一f（xl）凡一Xl0.69675一0.578150.65一0.55f（xs）一f（劝凡一x41.25382一1.026521.05一0.90=1.51533二阶差商f（凡,xl,动=fxx（,习一f（称x,）花一凡1.1860一1.116X（）0.65一0.40=.028000fx（l,耘动=f帆,凡）一fx（:

动凡一XI1.27573一1.186000.80一0.55=0.35893商差阶三f锡xl,耘习=f帆,从,xl）一f帆,xt,司气一凡0.35893一0.280.80一0.40=0.19733各阶差商计算值（可以用计算机计算）列于表2中,则4次牛顿插值多项式,可由各阶差商代人公式

（2）得到:

p式x）=041075+1.116x（一0.4）+0.28x（一0.4）x（一0.55）+0.19733x（一0.4）（x一0.55）x（一0.65）+0.03134x（一0.4）x（一0.55）x（一O.65Xx一0.80）并可由p4x（）求得在测量范围内测量点的测量值.例如求x=.05%时的测量值,则可把x二0.596代人上式,求得:

P（0.596）=0.63192表2差商表iiiii气气f闪闪一阶差商商二阶差商商三阶差商商四阶差商商五阶差商商000000.4000041075555555555555lllll0.55550.57815551.116）222220.65550.困675551.18以叉）.028（洲洲）333330.80000.88811111.27573330.35893330.1973333333344444.0叨叨1.泥652221.38410000.43348880213】）0.031344444以以以596660.63195551.29为333a4224000020,一0.1697888一1.0乃1222五、误差分析由公式（3）可求得测量点的截断误差。

对于x=.05%,把它代人式（3）,先计算出系数了认,x:

、凡,戈,0.596）=一1.02612（见表2最后一行）得!

R4（0.596）卜3.2492x10一在测量范围内称）近似值的最大截断误差可用下法求得:

如当fx（）在测量范围内a,b有n+1阶导数存在时,利用差商与导数的关系（推导略）:

因为七不易确定,但若某些函数能估计出arnxlf,十）（亡）簇MamxlnRx（）簇巨万bM（n+l）!

maxl叫x）砰）f嘛xl,xn,x）=可得:

Rnx（）=f伍）（）（n+l）!

f帆,xl,戈,xxx一劝x（一xl）x（一戈）_f切十）（匀（n+l）!

叫习,a亡b其中之裂磷。

x（l）一奥划x（一凡）一x（一劫（4）式就是测量范围a,b区间内最大截断误差。

六、结束语用牛顿插值方法处理测量数值,具有使插值多项式通过选定测量值的特点,所以在数据处理中有其一定的应用场合。

当测量值较多、较密时,为了减轻计算工作量及提高准确性,应选取合适的测量值作为差商计算的依据求得P。

x（）。

参考文献,李庆扬等编.数值分析.华中工学院出版社,1男6年12月其中。

（x）=（x一凡）（x一x.l）二（x一戈）2储钟武等编译.数值分析.黑龙江科学技术出版社,（刘家新1987年编发）