角谷猜想的证明.docx

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角谷猜想的证明

角谷猜想

一简介

考拉兹猜想，又称为3n+1猜想、角谷猜想、哈塞猜想、乌拉姆猜想或叙拉古猜想，是由日本数学家角谷静夫发现，是指对於每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能够得到1。

　　取一个数字

　　如n=6，根据上述公式，得出6→3→10→5→16→8→4→2→1。

（步骤中最大的数是16，共有7个步骤）

　　如n=11，根据上述公式，得出11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1。

（步骤中最大的数是52，共有13个步骤）

　　如n=27，根据上述公式，得出:

27→82→41→124→62→31→94→47→142→71→214→107→322→161→484→242→121→364→182→91→274→137→412→206→103→310→155→466→233

　　→700→350→175→526→263→790→395→1186→593→1780→890→445→1336→668→334→167→502→251→754→377→1132→566→283→850→425→1276

　　→638→319→958→479→1438→719→2158→1079→3238→1619→4858→2429→7288→3644→1822→911→2734→1367→4102→2051→6154→3077→9232

　　→4616→2308→1154→577→1732→866→433→1300→650→325→976→488→244→122→61→184→92→46→23→70→35→106→53→160→80→40→20→10

　　→5→16→8→4→2→1。

（步骤中最大的数是9232，共有111个步骤）

　　考拉兹猜想称，任何正整数，经过上述计算步骤後，最终都会得到1。

注意：

与角谷猜想相反的是蝴蝶效应，初始值极小误差，会造成巨大的不同；而3x+1恰恰相反，无论多么大的误差，都是会自行的恢复。

二，逆行思考

（一）角谷猜想是说，任何一个自然数，如果是偶数，就除以2，如果是奇数，就乘以3再加1。

最后，经过若干次迭代得到1。

也就是说，不管怎样迭代，最后都会转移到2^n；不断除以2以后，最后是1。

迭代过程只要出现2的幂，问题就解决了。

也就是说，第一个层次是2^n。

（二）第二个层次是：

所有奇数m乘以3再加上1以后回到的有：

m1=（2^n-1）/3。

也就是只要进入m1，只要一步就可以回到2^n。

例如：

n=4时，m1=5；3×5+1=16。

或者：

1+2^2=5。

n=6时；m1=21；21×3+1=64。

或者：

5+2^4=21。

n=8时；m1=85；85×3+1=256。

或者：

21+2^6=85。

n=10时；m1=341；341×3+1=1024。

或者：

85+2^8=341。

n=12时；m1=1365；1365×3+1=4096。

或者341+2^10=1365。

n=12时；m5461；5461×3+1=16384。

即：

m（x+1）=m（x）+2^n

……；直到无穷，因为已经知道定理：

n是偶数时，3|（2^n-1）；m（x+1）=m（x）+2^n。

　　任何奇数进入了以后m1=2^n-1）/3（有无穷多个m1=（2^n-1）/3）问题就解决了，只要一步，就可以回到2^n。

我们可以轻而易举地找到任意大的m1。

　　（三），第三个层次是：

从一得知，有无穷多个自然数的奇数m1=（2^n-1）/3任何一个奇数，只有进入5；21；85；341；….。

问题就解决了。

　　我们仅以第一个5来说，能够回到5的奇数有（5×2^n-1）/3的有：

　　例如：

　　（5×2^1-1）/3=3；3×3+1=10；10÷2=5。

　　5×2^3-1）/3=13；13×3+1=40；40÷8=5。

　　5×2^5-1）/3=53;53×3+1=160,160÷32=5。

　　5×2^7-1）/3=213;213×3+1=640,640÷128=5。

　　n=奇数时都有解，有无穷多个m1=（2^n-1）/3..即2^n|（3m1+1）。

也就是说，只要进入m1=（2^n-1）/3题就彻底解决了。

我们可以轻而易举找到任意大的m1=（2^n-1）/3。

　　（三），从而得知，能够回到5的奇数有有无穷多个，我们仅以13来说，能够回到13的：

有17；69；173；277；…；m（x+1）=m（x）+2^n×13。

　　例如17=m2，17×3+1=52；52÷4=13。

17+2^2×13=69；69×3+1=208；208÷16=13。

69+2^4×13=277；277×3+1=832；832÷64=13。

277+2^6×13=1109；1109×3+1=3328；3328÷256=13。

1109+2^8×13=4437.；4437×3+1=13312；13312÷1024=13。

　　……..。

　　有无穷多个m（x+1）=m（x）+2^n×13。

它们可以回到13。

只要回到问题就解决了。

我们可以轻而易举找到任意大的m（x+1）=m（x）+2^n×13。

　　参见下面的归纳图：

（每一纵列都有无穷多个数值，横向可以无穷扩展而不重复）。

例如：

右上角第一个数33，

　　33×3+1=100,100÷4=25；

　　25×3+1=76,76÷4=19；

　　19×3+1=58,58÷2=29；

　　29×3+1=88,88÷8=11；

　　11×3+1=34,34÷2=17；

　　17×3+1=52,52÷4=13；

　　13×3+1=40,40÷8=5；

　　5×3+1=16,16÷16=1。

图中每一个数都可以回到终点2^n。

例如：

177。

177×3+1=532,532÷4=133,133→25→19→29→11→17→13→5→2^n.

709×3+1=2128,2128÷16=133→25→19→29→11→17→13→5→2^n

。

　　有无穷多个数值回到任何一列，有无穷多个数值回到任何一行。

　　显然，这样的程序可以无限制进行下去。

　　于任何一个自然数A,

（1）a.如果A为偶数，就除以2

　　b.如果A为奇数，就乘以3加上1

　　得数记为B

（2）将B代入A重新进行

（1）的运算

　　若干步后，得数为1.

　　这个猜想就叫做角谷猜想，

　　在2006年这个问题被证明是recursivelyundecidable的了。

　　Kurtz,StuartA.;Simon,Janos,"TheUndecidabilityofthe.GeneralizedCollatzProblem",DepartmentofComputerScience.TheUniversityofChicago,December26,2006.

编辑本段错误证明

最简单的证明角谷（3n+1）猜想的方法

因为任何偶数都能变成2^a或一个奇数乘2^b。

前者在不停的除以2之后必定为1，因为它们只有质因数2。

而后者则只能剩下一个奇数，我们可以把偶数放在一边不谈。

现在只剩下奇数了。

我们假设一个奇数m，当他进行运算时，变成3m+1。

如果这个猜想是错误的话，那么就有（3m+1）/2^c=m，且m不等于1。

我们尝试一下：

当c=1时，3m+1=2m，，，m=-1，不符合，舍去；？

当c=2时，3m+1=4m，，，m=1，不符合，舍去；？

当c=3时，3m+1=8m，，，m=，不符合，舍去；？

当c=4时，3m+1=16m，，，m=1/13，不符合，舍去；？

……………………？

可见，能推翻角谷猜想的数只在1或以下的范围，所以没有数能推翻这个猜想，所以这个猜想是正确的。

编辑本段一个推广

角谷猜想又叫叙古拉猜想。

它的一个推广是克拉茨问题，下面简要说说这个问题：

50年代开始，在国际数学界广泛流行着这样一个奇怪有趣的数学问题：

任意给定一个自然数x，如果是偶数，则变换成x/2，如果是奇数，则变换成3x+1.此后，再对得数继续进行上述变换.例如x=52，可以陆续得出26,13,40,20,10,5,16,8,4,2,1.如果再做下去就得到循环：

（4,2,1）.再试其他的自然数也会得出相同的结果.这个叫做叙古拉猜想.

上述变换，实际上是进行下列函数的迭代

{x/2（x是偶数）？

C（x）=？

3x+1（x是奇数）？

问题是，从任意一个自然数开始，经过有限次函数C迭代，能否最终得到循环（4,2,1），或者等价地说，最终得到1据说克拉茨（）在1950年召开的一次国际数学家大会上谈起过，因而许多人称之为克拉茨问题.但是后来也有许多人独立地发现过同一个问题，所以，从此以后也许为了避免引起问题的归属争议，许多文献称之为3x+1问题.

克拉茨问题吸引人之处在于C迭代过程中一旦出现2的幂，问题就解决了，而2的幂有无穷多个，人们认为只要迭代过程持续足够长，必定会碰到一个2的幂使问题以肯定形式得到解决.正是这种信念使得问题每到一处，便在那里掀起一股"3x+1问题"狂热，不论是大学还是研究机构都不同程度地卷入这一问题.许多数学家开始悬赏征解，有的500美元，有的1000英镑.

日本东京大学的米田信夫已经对240大约是11000亿以下的自然数做了检验.1992年李文斯（）和弗穆兰）已经对*1013的自然数进行了验证，均未发现反例.题意如此清晰，明了，简单，连小学生都能看懂的问题，却难到了20世纪许多大数学家.着名学者盖伊）在介绍这一世界难题的时候，竟然冠以"不要试图去解决这些问题"为标题.经过几十年的探索与研究，人们似乎接受了大数学家厄特希（）的说法：

"数学还没有成熟到足以解决这样的问题!

"有人提议将3x+1问题作为下一个费尔马问题.

下面是我对克拉茨问题的初步研究结果，只是发现了一点点规律，距离解决还很遥远.

克拉茨命题：

设n∈N，并且？

f（n）=n/2（如果n是偶数）或者3n+1（如果n是奇数）？

现用f1（n）表示f（n）,f2（n）=f（f（n））,...fk（n）=f（f（...f（n）...））.

则存在有限正整数m∈N，使得fm（n）=1.（以下称n/2为偶变换，3n+1为奇变换，并且称先奇变换再偶变换为全变换）

克拉茨命题的证明

引理一：

若n=2m，则fm（n）=1（m∈N）

证明：

当m=1时，f（n）=f

（2）=2/2=1，命题成立，设当m=k时成立，则当m=k+1时，fk+1（n）=f（fk（2k+1））=

=f

（2）=2/2=1.证毕.

引理二：

若n=1+4+42+43+...+4k=（4k+1-1）/（4-1）（k∈N），则有f（n）=3n+1=4k+1=22k+2，从而f2k+3（n）=1.

证明：

证明是显然的，省略.

引理三：

若n=2m（4k+1-1）/（4-1）（m∈N），则有fm+2k+3（n）=1.

证明：

省略.

定理一：

集合O={X|X=2k-1,k∈N}对于变换f（X）是封闭的.

证明：

对于任意自然数n，若n=2m，则fm（n）=1，对于n=2k，经过若干次偶变换，必然要变成奇数，所以我们以下之考虑奇数的情形，即集合O的情形.对于奇数，首先要进行奇变换，伴随而来的必然是偶变换，所以对于奇数，肯定要进行一次全变换.为了直观起见，我们将奇数列及其全变换排列如下：

k123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051？

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