18学年高中数学第三章三角恒等变换33三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版必修4.docx
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18学年高中数学第三章三角恒等变换33三角函数的积化和差与和差化积学案新人教B版必修4
3.3
预习课本P149～151，思考并完成以下问题
（1）如何利用两角差（和）的正、余弦公式导出积化和差与和差化积公式？
（2）两组公式有何特点？
1．三角函数的积化和差
cosαcosβ＝
[cos（α＋β）＋cos（α－β）]，
sinαsinβ＝－
[cos（α＋β）－cos（α－β）]，
sinαcosβ＝
[sin（α＋β）＋sin（α－β）]，
cosαsinβ＝
[sin（α＋β）－sin（α－β）]．
[点睛] 积化和差公式的结构特点
（1）同名函数积化为余弦函数的和差；异名函数积化为正弦函数的和差．
（2）角的顺序，“α＋β”在前，“α－β”在后．
2．三角函数的和差化积
sinx＋siny＝2sin
cos
，
sinx－siny＝2cos
sin
，
cosx＋cosy＝2cos
cos
，
cosx－cosy＝－2sin
sin
.
[点睛] 和差化积公式的特点
（1）同名函数的和或差才可化积．
（2）余弦函数的和或差化为同名函数之积．
（3）正弦函数的和或差化为异名函数之积．
（4）等式左边为单角α和β，等式右边为
与
的形式．
（5）只有余弦函数的差化成积式后的符号为负，其余均为正．
1．下列等式错误的是（ ）
A．sin（A＋B）＋sin（A－B）＝2sinAcosB
B．sin（A＋B）－sin（A－B）＝2cosAsinB
C．cos（A＋B）＋cos（A－B）＝2cosAcosB
D．cos（A＋B）－cos（A－B）＝2cosAcosB
答案：
D
2．sin37.5°cos7.5°等于（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：
C
3．cos75°cos15°＝________.
答案：
化简求值
[典例] 化简：
4sin（60°－θ）·sinθ·sin（60°＋θ）．
[解] 原式＝2sinθ[2sin（60°－θ）·sin（60°＋θ）]
＝－2sinθ[cos120°－cos（－2θ）]
＝－2sinθ·
＝sinθ＋2sinθ·cos2θ
＝sinθ＋（sin3θ－sinθ）＝sin3θ.
用和差化积公式化简三角函数式时，若三角函数式中存在三个或三个以上的三角函数可供化积时，应选择两角和或差的一半是特殊角或与其他三角函数有公因式的两个三角函数进行和差化积．
[活学活用]
求sin270°＋cos240°－sin70°cos40°的值．
解：
原式＝
＋
－sin70°cos40°＝1＋
（cos40°＋cos80°）－sin70°cos40°＝1＋cos60°cos20°－
（sin110°＋sin30°）＝1＋
cos20°－
cos20°－
＝
.
三角恒等式证明
[典例] 在△ABC中，求证：
sin2A＋sin2B＋sin2C＝4sinAsinBsinC.
[证明] 左边＝sin2A＋sin2B＋sin2C＝2sin
cos
＋sin2C
＝2sin（A＋B）cos（A－B）－2sin（A＋B）cos（A＋B）
＝2sinC[cos（A－B）－cos（A＋B）]
＝2sinC·（－2）sin
sin
＝4sinAsinBsinC＝右边．
所以原等式成立．
三角恒等式的证明
（1）证明三角恒等式从某种意义上来说，可以看成已知结果的三角函数式的化简与求值．
（2）证明三角恒等式总体要求是：
通过三角公式进行恒等变形，论证等式左右两边相等，论证过程要清晰、完整、推理严密．
（3）证明三角恒等式的基本思想是：
化繁为简、左右归一、变更论证等．
[活学活用]
求证：
cos2x＋cos2（x＋α）－2cosαcosxcos（x＋α）＝sin2α.
证明：
左边＝
＋
－2cosαcosx·cos（x＋α）
＝1＋
[cos2x＋cos（2x＋2α）]－2cosαcosxcos（x＋α）
＝1＋cos
cos
－cosα[cos（2x＋α）＋cosα]
＝1＋cos（2x＋α）cosα－cosαcos（2x＋α）－cos2α
＝1－cos2α＝sin2α＝右边，
∴原等式成立．
层级一 学业水平达标
1．cos15°sin105°＝（ ）
A.
＋
B.
－
C.
＋1D.
－1
解析：
选A cos15°sin105°＝
[sin（15°＋105°）－sin（15°－105°）]＝
[sin120°－sin（－90°）]＝
×
＋
×1＝
＋
.
2．化简
的结果为（ ）
A．tanα B．tan2α
C.
D.
解析：
选B 原式＝
＝tan2α.
3．函数f（x）＝2sin
sin
的最大值等于（ ）
A．2sin2
B．－2sin2
C．2cos2
D．－2cos2
解析：
选A f（x）＝2sin
sin
＝－[cosα－cos（x－α）]
＝cos（x－α）－cosα.
当cos（x－α）＝1时，
f（x）取得最大值1－cosα＝2sin2
.
4．将cos2x－sin2y化为积的形式，结果是（ ）
A．－sin（x＋y）sin（x－y）B．cos（x＋y）cos（x－y）
C．sin（x＋y）cos（x－y）D．－cos（x＋y）sin（x－y）
解析：
选B cos2x－sin2y＝
－
＝
（cos2x＋cos2y）
＝cos（x＋y）cos（x－y）．
5．已知cos2α－cos2β＝m，那么sin（α＋β）·sin（α－β）等于（ ）
A．－mB．m
C．－
D.
解析：
选A ∵cos2α－cos2β＝m，
∴sin（α＋β）·sin（α－β）＝－
（cos2α－cos2β）
＝－
（2cos2α－1－2cos2β＋1）
＝cos2β－cos2α＝－m.
6．cos2α－cos3α化为积的形式为________．
解析：
cos2α－cos3α＝－2sin
sin
＝－2sin
sin
＝2sin
sin
.
答案：
2sin
sin
7．sin
·cos
化为和差的结果是________．
解析：
原式＝
＝
cos（α＋β）＋
sin（α－β）．
答案：
cos（α＋β）＋
sin（α－β）
8.
＝________.
解析：
原式＝
＝
＝
.
答案：
9．求下列各式的值：
（1）sin54°－sin18°；
（2）cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°.
解：
（1）sin54°－sin18°＝2cos36°sin18°
＝2·
＝
＝
＝
＝
.
（2）cos146°＋cos94°＋2cos47°cos73°
＝2cos120°cos26°＋2×
（cos120°＋cos26°）
＝2×
×cos26°＋
＋cos26°
＝－cos26°＋
＋cos26°＝－
.
10．求证：
＝2cosα.
证明：
因为左边＝
＝
＝
＝2cosα＝右边，
所以原等式成立．
层级二 应试能力达标
1．sin20°cos70°＋sin10°sin50°的值是（ ）
A.
B.
C.
D.
解析：
选A 原式＝
[sin90°＋sin（－50°）]－
[cos60°－cos（－40°）]＝
－
sin50°－
＋
cos40°＝
.
2．函数y＝cos2
＋sin2
－1是（ ）
A．最小正周期为2π的奇函数
B．最小正周期为2π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数
D．最小正周期为π的偶函数
解析：
选C ∵y＝
＋
－1
＝
＝－sin2xsin
＝
sin2x，
∴此函数是最小正周期为π的奇函数．
3．已知cos（α＋β）cos（α－β）＝
，则cos2α－sin2β的值为（ ）
A．－
B．－
C.
D.
解析：
选D cos（α＋β）cos（α－β）＝
（cos2α＋cos2β）＝
[（2cos2α－1）＋（1－2sin2β）]＝cos2α－sin2β＝
.
4．若A＋B＝
，则cos2A＋cos2B的取值范围是（ ）
A.
B.
C.
D．[0,1]
解析：
选C ∵A＋B＝
，∴B＝
－A，
∴cos2A＋cos2B＝
＋
＝1＋
（cos2A＋cos2B）
＝1＋cos
cos（A－B）
＝－
cos
＋1，
∵－1≤cos
≤1，
∴
≤－
cos
＋1≤
.
5．函数y＝sin
sin
的最小正周期T＝________.
解析：
f（x）＝sin
cosx
＝
＝
sin
＋
，
∴T＝
＝π.
答案：
π
6．cos40°＋cos60°＋cos80°＋cos160°＝________.
解析：
cos60°＋cos80°＋cos40°＋cos160°＝
＋cos80°＋2cos100°cos60°＝
＋cos80°－cos80°＝
.
答案：
7．已知f（x）＝cos2（x＋θ）－2cosθcosxcos（x＋θ）＋cos2θ，求f（x）的最大值、最小值和最小正周期．
解：
∵f（x）＝cos2（x＋θ）－2×
[cos（x＋θ）＋cos（x－θ）]cos（x＋θ）＋cos2θ
＝cos2（x＋θ）－cos2（x＋θ）－cos（x－θ）·cos（x＋θ）＋cos2θ
＝cos2θ－
（cos2θ＋cos2x）
＝
－
cos2θ－
cos2x
＝－
cos2x＋
，
∴f（x）的最大值为1，最小值为0，最小正周期为π.
8．已知△ABC的三个内角A，B，C满足：
（1）A＋C＝2B；
（2）
＋
＝－
.求cos
的值．
解：
∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，
∴B＝60°，A＋C＝120°.
∵－
＝－2
，
∴
＋
＝－2
，
∴cosA＋cosC＝－2
cosAcosC.
由和差化积与积化和差公式，得
2cos
cos
＝－
[cos（A＋C）＋cos（A－C）]，
∴cos
＝－
.
化简，得4
cos2
＋2cos
－3
＝0，
∴
＝0.
∵2
cos
＋3≠0，
∴2cos
－
＝0，
∴cos
＝
.
（时间120分钟 满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．函数y＝2cos2
＋1的最小正周期是（ ）
A．4π B．2π
C．πD.
解析：
选B ∵y＝2cos2
＋1＝
＋2
＝cosx＋2，
∴函数的最小正周期T＝2π.
2．若tanα＝3，则
的值等于（ ）
A．2B．3
C．4D．6
解析：
选D
＝
＝2
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