抽象代数习题.docx

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抽象代数习题

1.〈{1，2，3，4}，·5〉和〈{0，1，2，3}，+4〉是否同构？

2.代数结构〈I，+〉与〈N，·〉是否同构？

3.设X为集合，证明〈P（X），∩〉与〈P（X），∪〉是同构的。

4.求出〈N6，+6〉的所有自同态。

1.给定代数结构〈I，+，·〉，定义I上的二元关系R为：

iRj当且仅当|i|=|j|,

关于加法运算+，R是否具有代换性质？

对于乘法运算·呢？

2.设R是N3上的等价关系。

若R关于+3具有代换性质，则R关于·3也一定具有代换性质。

求出N3上的一个等价关系S，使其关于·3具有代换性质，但关于+3不具有代换性质。

3.试确定I上的下述关系R是否为〈I，＋〉上的同余关系：

a）xRy当且仅当（x＜0∧y＜0＝∨（x≥0∧y≥0）；

b）xRy当且仅当|x·y|＜10；

c）xRy当且仅当（x=0∧y=0）∨（x≠0∧y≠0）；

d）xRy当且仅当x≥y。

第二章

2.在以下给出的N上的关系R中，哪些是么半群〈N，+〉上的同余关系？

对于同余关系求出相应的商么半群。

a）aRb当且仅当a－b是偶数。

b）aRb当且仅当a＞b。

c）aRb当且仅当存在r∈I使a=2r·b。

d）aRb当且仅当10整除a－b。

3.设〈S，*〉是半群，a∈S，在S上定义二元运算·如下：

x·y=x*a*y，x，y∈S

证明〈S，·〉也是半群。

4.设〈M，*〉是么半群且＃M≥2。

证明M中不存在有左逆元的左零元。

5.设

，·为矩阵的乘法运算。

证明：

1）〈S，·〉为么半群；

2）〈T，·〉为么半群；

3）〈T，·〉是〈S，·〉的子半群，但〈T，·〉不是〈S，·〉的子么半群。

9.试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。

定理2.2.5设〈G，*〉为群。

若k∈I且a∈G的阶为n，则ak=e当且仅当n｜k。

定理2.2.6设〈G，*〉为群且a∈G。

若k∈I且a的阶为n，则ak的阶为n/（k，n）。

推论设〈G，*〉为群。

若a∈G，则a与a－1的阶相同。

定理2.2.7设〈G，*〉为交换群且a，b∈G。

若a的阶为m，b的阶为n且（m，n）=1，则ab的阶为mn。

定理2.2.8有限群〈G，*〉的每个元素的阶为有限的，并且不超过＃G。

习题2.2

2.设〈G，*〉是群，u∈G，定义G上的二元运算·如下：

a·b=a*u－1*b，a，b∈G

证明〈G，·〉也是群。

3.设〈G，*〉为群，如果对任意a∈G均有a2=e，则〈G，*〉为交换群。

4.设〈G，*〉为群，证明〈G，*〉是交换群，当且仅当对任意a，b∈G，均有（ab）2=a2b2。

5.设〈G，*〉为群，且对任意a，b∈G均有（ab）3=a3b3且（ab）5=a5b5。

证明〈G，*〉为交换群。

5.设〈G，*〉是群，a，b∈G，a不是G的么元且a4b=ba5。

证明ab≠ba。

6.证明每个元素都可约的有限半群是群。

7.证明有限多个群的积代数结构仍是群。

10.设〈G，*〉是群，a，b，c∈G。

证明

1）a和b－1ab的阶相同；

2）ab和ba的阶相同；

3）abc，bca和cab的阶相同。

11.有限群中阶大于2的元素个数必为偶数。

12.证明〈Nn－{0}，·n〉是群，当且仅当n为素数。

13.设d，m∈I+。

证明d是m的因子当且仅当d是〈Nm，＋m〉中某元素的阶。

14.求下列群中每个元素的阶：

1）〈N5，＋5〉；

2）〈N12，＋12〉；

3）〈N7－{0}，·7〉；

4）〈N13－{0}，·13〉。

定理2.3.2若H为群G的非空子集，则H≤G，当且仅当对任意a,b∈H皆有a*b－1∈H。

定理2.3.3若群G的非空有穷子集H关于G的二元运算封闭，则H≤G。

定理2.3.5设f是群G1到G2的群同态，ei为Gi的幺元（i=1,2）。

i）f（e1）=e2。

ii）若a∈G1，则f（a－1）=（f（a））－1。

iii）若H≤G1，则f[H]≤G2。

iv）若f为群单同态且a∈G1，则a的阶与f（a）的阶相同。

习题2.3

1.找出下列各群的所有子群。

a）〈N12，+12〉；

b）〈N5，+5〉；

c）〈N7－{0}，·7〉；

d）〈N11－{0}，·11〉。

2.求下列各群上的自同态。

1）〈N8，+8〉；

2）〈N6，+6〉；

3）〈N5－{0}，·5〉；

4）〈N7－{0}，·7〉。

3.设f是群〈G1，*〉到〈G2，·〉的群同态，a∈G1。

a与f（a）的阶一定相同吗？

证明你的断言。

4.设H1和H2是群G的子群，证明H1∩H2也是G的子群。

H1∪H2是G的子群吗？

证明你的断言。

5.设H是群G的非空子集，并且H中每个元素的阶都有限，则H为G的子群的充分必要条件是H关于G的乘法封闭。

6.设f和g均为群G1到G2的群同态，令

H={a∈G1|f（a）=g（a）}

证明H是G1的子群。

7.设G是群，H和K是G的子群。

a）HK和KH必为G的子群吗？

试证明或给出反例；

b）HK是G的子群，当且仅当HK＝KH。

8.设〈G，*〉是群，令

C（G）={x∈G|若y∈G，则x*y=y*x}

证明C（G）是G的子群。

C（G）称为群G的中心。

9.设H为群G的子群，a∈G，令

aHa－1={aha－1|h∈H}

证明aHa－1是G的子群。

aHa－1称为H的共轭子群。

10.设H为群G的子群，令

N（H）={a∈G|aHa－1=H}

证明N（H）是G的子群。

N（H）称为H的正规化子。

11.群G的自同构是从G到G的同构。

证明G的所有自同构的集合关于函数的合成运算构成群。

12.设G是有限群，H是G的子群，a∈G。

证明存在最小正整数m使am∈H，且m是a的阶n的因子。

13.设a是群G的阶为n的元素，H是G的子群。

证明：

如果am∈H且（m，n）=1，则a∈H。

2.求下列置换：

a）

b）

c）（12345）

（234）

d）（362）

（15）

（42）

e）

f）（124657）－2

3.将下列置换表示为无公共元素的循环的乘积：

a）

b）

c）

4.除么元外，每个元素的阶都是2的四阶群称为克莱因（Klein）四元群。

a）列出克莱因四元群的运算表；

b）找出克莱因四元群的所有子群；

c）找出与克莱因四元群同构的置换群。

5.指出下列群是否为循环群？

若是循环群，则给出其一个生成元：

1）有理数加群〈Q，+〉；

2）正有理数乘法群〈Q+，·〉；

3）〈Gn，·〉，其中Gn={x|x∈C且xn=1}，n为正整数，·为复数的乘法。

4）〈I，*〉，其中a*b=a+b－2，a，b∈I。

6.设G为群，a，b∈G，a的阶为素数p且a

（b）。

证明（a）∩（b）={e}。

8.设H=（am），K=（an）是循环群G=（a）的两个子群，且d=[m，n]。

证明H∩K＝（ad）。

9.任一无限群必有无穷多个子群。

10.证明循环群的子群必为循环群。

11.证明无限循环群恰有两个生成元。

12.无限循环群的子群除{e}外均为无限循环群。

13.设存在代数结构〈G，·〉到〈G′，*〉的满同态，如果〈G，·〉是循环群，则〈G′，*〉也是循环群。

14.设G是无限循环群，G′是任意循环群。

证明存在G到G′的满同态。



定理2.5.4（拉格朗日定理）如果H是有限群G的子群，则＃H整除＃G，并且＃G=＃H·［G∶H］。



推论1有限群G的每个元素的阶整除G的阶。



推论2素数阶群必为循环群。



例4若将同构的群视为一个群，则只存在两个4阶群，并且都是交换群。

例5若H和K是群G的子群且K△G，则H∩K△H。



定理2.5.6设H△G，则G关于H的陪集关系R是G上的同余关系。



定理2.5.7设H为群〈G，·〉的不变子群，则〈G，·〉关于H的陪集关系的商代数结构〈G/H，⊙〉是群，并称为G关于H的商群。

其中对任意a·H，b·H∈G/H，（a·H）⊙（b·H）=（a·b）·H。

定理2.5.8设R是群〈G，·〉上的同余关系，则［e］R△G，并且R是G关于［e］R的陪集关系。



定义2.5.3设f是群G1到G2的群同态，集合{g∈G1｜f（g）=

}称为f的同态核，记为Kerf，其中

为G2的幺元。

定理2.5.9设f：

G1→G2为群同态，则

i）Kerf△G１；

ii）f是内射当且仅当Kerf={

}。



定理2.5.10（群第一同构定理）设f是群〈G1，·〉到〈G2，*〉的群同态，则商群〈G1/Kerf，⊙〉同构于〈f［G１］，*〉。



这只是定理1.5.2的特例。



定理2.5.12若H，K是群G的有限子群，则｜HK｜=｜H｜·｜K｜/｜H∩K｜。

定理2.5.13设G为群。

若K≤G且H△G，则

i）H∩K△K；

ii）H△〈H∪K〉；

iii）HK=〈H∪K〉；

iv）如果K△G且H∩K={e}，则对任意h∈H，k∈K，均有hk=kh。

定理2.5.14（群第二同构定理）设G为群且K≤G。

若H△G，则K/H∩KHK/H。

定理2.5.15（群第三同构定理）设G为群，H△G且K△G。

若K≤H，则H/K△G/K且（G/K）/（H/K）G/H。

习题2.5

1.设n∈I+，p为素数，证明pn阶群必有p阶子群。

2.证明6阶群恰有一个3阶子群。

3.设G为群，C（G）为G的中心，证明C（G）△G。

4.H△G且K△G，证明

1）H∩K△G；

2）HK△G。

5.证明指数为2的子群必为不变子群。

6.求〈N24，+24〉的6阶子群H及N24关于H的商群。

7.设K△H，H△G，问K是否必为G的不变子群？

证明或举出反例。

7.设p，q是两个不同的素数，G为pq阶交换群。

证明G是循环群。

9.证明存在从m阶循环群G1到n阶循环群G2的满同态，当且仅当n|m。

10.设H是循环群G的子群，证明G/H也是循环群。

11.设H为群G的不变子群，且＃H=2。

证明H

C（G）。

12.设H是群G的阶为n的子群，且G只有一个阶为n的子群。

证明H是G的不变子群。

13.设H是群G的子群，如果H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则H是G的不变子群。

14.设H，K是群G的有限子群，且＃H与＃K互素。

证明H∩K＝{e}。

15.设p和q为素数，p

证明G的q阶子群必为不变子群。

16.设H是群G的子群且H

C（G），则H是G的不变子群。

并且若G/H是循环群，则G是交换群。

17.设H是群G的子群，N（H）为H的正规化子。

证明：

H△G当且仅当G=N（H）。

20.证明阶数为p2的群必为交换群，其中p为素数。

21.设G是交换群，H={x∈G|x的阶是有限的}。

证明

1）H是G的子群；

2）在商群G/H中，除幺元H外不含阶为有限的元素。

22.设H，K是群G的不变子群，且G/H和G/K均是交换群，则G/（H∩K）必为交换群。

23.设H△G，证明G/H是交换群的充分必要条件为：

对任意g1，g2∈G有

。

24.设G是n阶交换群且p是素数。

若p|n，则G中存在阶为p的元素。

25.设G是群，对于任意a∈G，定义

a（x）=axa－1，x∈G

则a是G的自同构映射，称之为G的内自同构。

G的内自同构的全体构成G的自同构群的不变子群。

26.设f是群G到G′的群同态映射，K=Kerf。

证明：

对任意a∈G，f－1（f（a））=aK。

27.证明除零同态之外，不存在〈Q，+〉到〈I，+〉的群同态映射。

28.设f是群G到G′的满同态映射，A是G的子群。

试证：

如果A的阶与G′的阶互素，则A包含在Kerf中。

29.设群G只含有限多个子群，f是G到其自身的满同态。

证明f是G的自同构。

30.设H是群G的不变子群，且[G:

H]=m，则对任意x∈G，必有xm∈H。

31.证明在同构的意义下只有两个6阶群，一个是循环群，一个是S3。

32.证明：

在同构的意义下只有两个不同的10阶群。

定理3.1.2若〈R，+，·〉是环，则下列条件等价：

定理3.1.3有限整环都是域。

定理3.1.5体仅有零理想和单位理想。

定理3.1.9设D是环〈R，+，·〉的理想。

若在R/D上定义二元运算与⊙如下：

（D+r1）（D+r2）=D+（r1+r2）r1，r2∈R

（D+r1）⊙（D+r2）=D+（r1·r2）r1，r2∈R

则〈R/D，，⊙〉为环，称为〈R，+，·〉关于D的商环。

定理3.1.10若f是环〈R，+，·〉到环〈S，⊙，*〉的环同态，则Kerf是〈R，+，·〉的理想。

定理3.1.11若f是环〈R，+，·〉到〈S，

〉的环同态，则〈R/Kerf，，⊙〉〈f[R]，

〉。



例9设D1和D2都是环〈R，+，·〉的理想。

若D2D1，则D1/D2是R/D2的理想，并且R/D2/D1/D2R/D1

例13若p为素数，则（p）为〈I，+，·〉的极大理想。

定理3.1.12若D是含幺元交换环〈R，+，·〉的理想，则〈R，+，·〉关于D的商环〈R/D，，⊙〉是域，当且仅当D是〈R，+，·〉的极大理想。

例14模m的剩余类环〈Zm，，⊙〉是域，当且仅当m为素数。

习题3.1

2.对于乘法来说，每个元素都是幂等元的环称为布尔环。

证明以下结论。

a）设X为集合，则〈P（X），，∩〉是布尔环。

b）Z2和Z2×Z2都是布尔环。

c）布尔环的每个元素都以自己为负元。

d）布尔环必为交换环。

e）阶大于2的布尔环不可能是整环。

3.若A和B为环〈R，+，·〉的子环，则A∩B也是〈R，+，·〉的子环。

若A和B为环〈R，+，·〉的理想，则A∩B也是〈R，+，·〉的理想。

4.若〈R，+，·〉是环，并且〈R，+〉是循环群，则〈R，+，·〉是交换环。

5.设〈R，+，·〉是具有么元1的环，在R上定义运算和⊙如下：

rs=r+s+1

r⊙s=r·s+r+sr，s∈R

a）证明〈R，，⊙〉是环；

b）求出〈R，，⊙〉的零元和么元；

c）证明〈R，，⊙〉与〈R，+，·〉同构。

6.求出〈N6，+6，·6〉，〈N8，+8，·8〉，〈N12，+12·12〉的所有子环和理想。

7.设D1和D2是环〈R，+，·〉的理想，证明D1+D2也是〈R，+，·〉的理想，其中D1+D2={d1+d2|d1∈D1且d2∈D2}。

8.证明两个域的积代数结构不可能是域。

10.设〈R，+，·〉是I上二阶方阵的环，A是元素为偶数的所有二阶方阵组成的集合。

证明A是〈R，+，·〉的理想，并求R/A的阶。

11.设m，r∈I+且r|m，找出Zm到Zr的一个满同态f，求Kerf和Zm/Kerf。

12.找出环〈I，+，·〉的所有自同态，并求每个自同态的核。

13.设环〈R，+，·〉有且只有一个右么元，试证R有么元。

14.设〈R，+，·〉为具有么元1的环，u∈R且u有右逆元。

证明关于u的下述条件是等价的：

1）u有多于一个的右逆元；

2）u不是可逆的；

3）u是左零因子。

15.设环〈R，+，·〉的每一个左理想都有左么元，试证〈R，+，·〉的每一个左理想都有么元。

16.设〈R，+，·〉是具有么元1的环。

若{0}和R是〈R，+，·〉仅有的两个左理想，证明〈R，+，·〉是体。

17.设〈R，+，·〉是具有么元1的环，D为R之理想。

证明：

（a）设U={x|x∈R且x关于·可逆}，则〈U，·〉为群。

（b）设G={a|a∈U且a－1∈D}，则G是U的不变子群。

18.设f是环〈R，+，·〉到〈S，，*〉的环同态，且A

R。

证明:

f－1（f（A））=A+Kerf。

19.设f是环〈R，+，·〉到〈S，，*〉的环同态，H1和H2均为R之子环，且包含Kerf。

证明：

若f（H1）=f（H2），则H1=H2。

20.含么环不可能与任何不含么元的环同构。

习题3.2

1.若pn阶域有pm阶子域，则m|n。

2.求出4阶域和5阶域上的所有不可约的首1二次多项式。

3.证明x2+1是GF（7）上的不可约多项式。

4.设p（x）和q（x）是GF（p）上互素的多项式，则它们在GF（p）的扩域上仍为互素的。

5.证明域的加法群和乘法群不能同构。

6.试证明：

a）有理数域〈Q，＋，·〉的自同构映射只有一个。

b）域〈{a+bi|a，b∈Q}，＋，·〉的自同构映射只有两个。

7.设m＞2，〈{a1，a2，…，am}，＋，·〉是m阶有限域，0是其零元。

证明

。

定理3.3.2pn阶域的元素都是多项式

的根。

定理3.3.3有限域的乘法群必为循环群。

定理3.3.4设域〈F，＋，·〉的特征为p。

如果，∈F，则

（+）p=p+p

推论设域〈F，＋，·〉的特征为p。

若，∈F，则

（－）p=p－p

第四章格与布尔代数

定理4.1.3设〈L，≤〉是格，若a，b，c∈L，则

i）a≤b当且仅当a*b=a当且仅当ab=b；

ii）若b≤c，则a*b≤a*c且ab≤ac；

iii）a（b*c）≤（ab）*（ac），a*（bc）≥（a*b）（a*c）；

iv）a≤c当且仅当a（b*c）≤（ab）*c。



习题4.1

4.设〈L，≤〉是格，a，b，c∈L。

如果a≤b≤c，则ab=b*c且（a*b）（b*c）=（ab）*（ac）=b。

5.设〈L，≤〉是格，a，b，c，d∈L。

如果a≤b且c≤d，则a*c≤b*d。

6.设〈L，≤〉是格，a，b，c，d∈L，则

（a*b）（c*d）≤（ac）*（bd）

（a*b）（b*c）（c*a）≤（ab）*（bc）*（ca）

7.设〈L，≤〉是格，a，b，c∈L，则

（a*b）（a*c）≤a*（b（a*c））

（ab）*（ac）≥a（b*（ac））

8.设〈L，≤〉是格，a，b，c∈L，如果a*b*c=abc，则a=b=c。

9.设〈L，≤〉是格，a，b∈L。

令S={x∈L|a≤x≤b}，证明〈S，≤〉也是格。

定义4.2.1如果集合L上的两个二元运算*和满足交换律、结合律、吸收律，则称代数系统〈L，*，〉为格。



定理4.2.1定义4.1.1和定义4.2.1是等价的。



定义4.2.2设〈P，≤〉和〈Q，≤′〉是两个半序结构且f:

P→Q。



i）如果对任意a，b∈P，当a≤b时必有f（a）≤′f（b），则称f为保序的。



ii）如果f是双射，并且f和f－１都是保序的，则称P和Q是次序同构的。



由上述定义可知，若P和Q是次序同构的，则对任意a，b∈L,均有

a≤b当且仅当f（a）≤′f（b）。

定理4.2.2设格〈L，*，〉和〈S，∧，∨〉中的半序关系分别是≤和≤′。



i）若g是从〈L，*，〉到〈S，∧，∨〉的同态，则g是保序的。



ii）若g是从〈L，*，〉到〈S，∧，∨〉的同构，则L和S是次序同构的。



定理4.2.3设〈L，*，〉和〈S，∧，∨〉是两个格，其中的半序关系分别为≤和≤′，则L和S同构当且仅当它们是次序同构的。



习题4.2

5.证明群〈G，

〉的不变子群集合是G的子群格的子格，并证明两个不变子群N和N2的最小上界是N1

N2。

6.画出24阶循环群的子群格的图，并证明它同构于〈S24，D〉。

7.画出C6和C8的子群格的图。

当n为素数时，

的子群格的图是什么？

当n=p1p2（其中p1，p2是素数）时，

的子群格的图是什么？

8.设A和B是集合，f：

A→B。

证明S={f[x]|x

A}是〈P（B），

〉的子格。

9.设〈S，*，〉是格，J是S的非空子集。

如果对于任意a，b∈J和c∈S，ab∈J且a*c∈J，则称J为S的理想。

证明：

a）S的理想必为S的子格，但S的子格不一定是S的理想。

b）设f是格S到S′的同态映射，A是S的子格，J是S的理想，则f[A]是f[S]的子格，f[J]是f[S]的理想。

f[A]是不是S′的子格？

f[J]是不是S′的理想？

定义4.3.3设〈L，*，〉是格。

如果对于任意a，b，c∈L，当a≤b时必有a（b*c）=b*（ac），则称〈L，*，〉为模格。

定理4.3.2格〈L，*，〉是模格的充要条件是不含如下形式的子格：

定理4.3.4每个链都是分配格。



定理4.3.6格〈L，*，〉是分配格的充要条件是：

对于任意的a，b，c∈L，均有

（a*b）（b*c）（c*a）=（ab）*（bc）*（ca）

定理4.3.7模格〈L，*，〉是分配格的充要条件是不含如下形式的子格

1.求出格〈S75，D〉中每个元素的补元。

2.试证明：

在有一个以上元素的格中，不会有元素是它本身的补元。

3.画出格〈S30，D〉和〈S45，D〉的图。

其中哪个格是有补格？

5.格〈S30，D〉和〈S45，D〉是否是分配格？

6.证明〈I，min，max〉是分配格。

8.试证明：

在有界分配格中，有补元的各元素构成一个子格。

9.试证明每个分配格都是模式格。

10.设〈L，*，〉是格。

证明L是分配格当且仅当，对于任意a，b，c∈L，（ab）*c≤a（b*c）。

11.设〈L，*，〉是分配格，a∈L。

定义：

L→L为：

对于任意x∈L，（x）=x*a。

定义：

L→L为：

对于任意x∈L，（x）=xa。

证明和是L的两个自同态，并求出[L]和[L]。

12.设E是格L的所有自同态的集合，证明E关于函数合成运算构成独异点。

13.设〈L，*，〉是分配格，a，b∈L，且a＜b，b/a={x|x∈L∧a≤x≤b}。

定义：

L→b/a为（x）=（xa）*b。

证明是同态映射。

14.设〈L，*，〉是格。

证明：

L是模格当且仅当，对于任意a，b，c