抽象代数习题.docx

1、抽象代数习题1. 1，2，3，4，5和0，1，2，3，+4是否同构？2. 代数结构I，+与N，是否同构？3. 设X为集合，证明P（X），与P（X），是同构的。4. 求出N6，+6的所有自同态。1. 给定代数结构I，+，定义I上的二元关系R为：i R j 当且仅当 | i | = | j| ,关于加法运算 +，R是否具有代换性质？对于乘法运算呢？2. 设R是N3上的等价关系。若R关于 +3具有代换性质，则R关于3也一定具有代换性质。求出N3上的一个等价关系S，使其关于3具有代换性质，但关于 +3不具有代换性质。3. 试确定I上的下述关系R是否为I，上的同余关系：a) x R y 当且仅当 (x0

2、y0(x0y0)；b) x R y当且仅当 | xy |10；c) x R y当且仅当 (x = 0y= 0)(x0y0)；d) x R y当且仅当 x y。第二章 2. 在以下给出的N上的关系R中，哪些是么半群N，+上的同余关系？对于同余关系求出相应的商么半群。a) aR b 当且仅当 ab是偶数。b) aR b 当且仅当 ab。c) aR b 当且仅当 存在rI 使a= 2 rb。d) aR b 当且仅当 10整除ab。3. 设S，*是半群，aS，在S上定义二元运算如下：xy = x * a* y， x，yS证明S，也是半群。4. 设M，*是么半群且M2。证明M中不存在有左逆元的左零元。5

3、. 设，为矩阵的乘法运算。证明：1)S，为么半群；2)T，为么半群；3)T，是S，的子半群，但T，不是S，的子么半群。9. 试证明每个有限半群至少有一个幂等元素。定理2.2.5 设G，*为群。若kI且aG的阶为n，则a k = e 当且仅当 nk 。定理2.2.6 设G，*为群且aG。若kI且a的阶为n，则a k 的阶为 n /（k，n）。推论 设G，*为群。若aG，则a与a1的阶相同。定理2.2.7 设G，*为交换群且a，bG。若a的阶为m，b的阶为n且（m，n）=1，则ab的阶为mn。定理2.2.8 有限群G，*的每个元素的阶为有限的，并且不超过 G 。习题2.22. 设G，*是群，uG，

4、定义G上的二元运算如下：ab = a* u1 * b， a，bG证明G，也是群。3. 设G，*为群，如果对任意aG均有a2 = e，则G，*为交换群。4. 设G，*为群，证明G，*是交换群，当且仅当对任意a，bG，均有 (ab)2 = a2 b2。5. 设G，*为群，且对任意a，bG均有 (ab)3 = a3b3且 (ab)5 = a5b5。证明G，*为交换群。5. 设G，*是群，a，bG，a不是G的么元且a4b = ba5。证明abba。6. 证明每个元素都可约的有限半群是群。7. 证明有限多个群的积代数结构仍是群。10. 设G，*是群，a，b，cG。证明1) a和b1ab的阶相同；2) a

5、b和ba的阶相同；3) abc，bca和cab的阶相同。11. 有限群中阶大于2的元素个数必为偶数。12. 证明Nn0，n是群，当且仅当 n为素数。13. 设d，mI+ 。证明 d是m的因子 当且仅当 d是Nm，m中某元素的阶。14. 求下列群中每个元素的阶：1) N5，5；2) N12，12；3) N70，7；4) N130，13。定理2.3.2 若H为群G的非空子集，则HG，当且仅当对任意a, bH皆有a * b1H。定理2.3.3 若群G的非空有穷子集H关于G的二元运算封闭，则HG。定理2.3.5 设f是群G1到G2的群同态，ei 为Gi的幺元（i = 1, 2）。i） f (e1) =

6、 e2 。ii） 若aG1，则f (a1 ) = ( f (a ) )1 。iii） 若HG1，则 f HG2 。iv） 若f为群单同态且aG1，则a的阶与 f (a ) 的阶相同。习题2.31. 找出下列各群的所有子群。a) N12，+12；b) N5，+5；c) N70，7；d) N110，11。2. 求下列各群上的自同态。1) N8，+8；2) N6，+ 6；3) N50，5；4) N70，7。3. 设f是群G1，*到G2，的群同态，aG1 。a与f (a) 的阶一定相同吗？证明你的断言。4. 设H1和H2是群G的子群，证明H1H2 也是G的子群。H1H2是G的子群吗？证明你的断言。5.

7、 设H是群G的非空子集，并且H中每个元素的阶都有限，则H为G的子群的充分必要条件是H关于G的乘法封闭。6. 设f 和g均为群G1到G2的群同态，令H = aG1 | f (a) = g (a) 证明H是G1的子群。7. 设G是群，H和K是G的子群。a) HK和KH必为G的子群吗？试证明或给出反例；b) HK是G的子群，当且仅当HKKH。8. 设G，*是群，令C (G) = xG | 若yG，则x * y = y * x 证明C (G) 是G的子群。C (G) 称为 群G的中心。9. 设H为群G的子群，aG，令aHa1 = aha1 | hH 证明aHa1 是G的子群。aHa1 称为H的共轭子群

8、。10. 设H为群G的子群，令N (H) = aG | aHa1 = H证明N (H) 是G的子群。N (H) 称为H的正规化子。11. 群G的自同构是从G到G的同构。证明G的所有自同构的集合关于函数的合成运算构成群。12. 设G是有限群，H是G的子群，aG。证明存在最小正整数m使amH，且m是a的阶n的因子。13. 设a是群G的阶为n的元素，H是G的子群。证明：如果amH且 (m，n) =1，则aH。2. 求下列置换：a) b) c) (1 2 3 4 5) (2 3 4)d) (3 6 2) (1 5) (4 2)e) f) (1 2 4 6 5 7)23. 将下列置换表示为无公共元素的循

9、环的乘积：a) b) c) 4. 除么元外，每个元素的阶都是2的四阶群称为克莱因（Klein）四元群。a) 列出克莱因四元群的运算表；b) 找出克莱因四元群的所有子群；c) 找出与克莱因四元群同构的置换群。5. 指出下列群是否为循环群？若是循环群，则给出其一个生成元：1) 有理数加群Q，+；2) 正有理数乘法群Q + ，；3) Gn，其中Gn = x | xC且xn =1，n为正整数，为复数的乘法。4) I，*，其中a* b = a + b2，a，bI 。6. 设G为群，a，bG，a的阶为素数p且a (b)。证明 (a)(b) = e。8. 设H = (am)，K = (an) 是循环群G =

10、 (a) 的两个子群，且d = m，n。证明HK (ad )。9. 任一无限群必有无穷多个子群。10. 证明循环群的子群必为循环群。11. 证明无限循环群恰有两个生成元。12. 无限循环群的子群除e外均为无限循环群。13. 设存在代数结构G，到G，*的满同态，如果G，是循环群，则G，*也是循环群。14. 设G是无限循环群，G是任意循环群。证明存在G到G的满同态。 定理2.5.4（拉格朗日定理） 如果H是有限群G的子群，则H整除 G，并且G = HGH。推论1 有限群G的每个元素的阶整除G的阶。推论2 素数阶群必为循环群。例4 若将同构的群视为一个群，则只存在两个4阶群，并且都是交换群。例5 若

11、H和K是群G的子群且KG，则HKH。定理2.5.6 设HG，则G关于H的陪集关系R是G上的同余关系。定理2.5.7 设H为群G，的不变子群，则G，关于H的陪集关系的商代数结构 G / H，是群，并称为G关于H的商群。其中对任意aH，bHG / H， (aH) (bH) = (ab)H。定理2.5.8 设R是群G，上的同余关系，则eR G，并且R是G关于eR 的陪集关系。定义2.5.3 设f是群G1到G2的群同态，集合 g G1f (g) = 称为f的同态核，记为Ker f，其中为G2的幺元。定理 2.5.9 设f：G1 G2为群同态，则i) Ker f G；ii) f是内射 当且仅当 Ker

12、f = 。定理2.5.10 （群第一同构定理） 设f是群G1 ，到G2 ，*的群同态，则商群G1 / Ker f，同构于 fG，*。这只是定理1.5.2的特例。定理2.5.12 若H，K是群G的有限子群，则H K=HK/HK。定理2.5.13 设G为群。若KG且HG，则i) HKK；ii) HHK；iii) HK =HK；iv) 如果KG且HK = e，则对任意hH，kK，均有hk = kh。 定理2.5.14（群第二同构定理） 设G为群且KG。若HG，则K/HK HK/H。定理2.5.15 （群第三同构定理） 设G为群，HG且KG。若KH，则H/KG/K且(G/K)/(H/K) G/H。习题

13、2.51. 设nI + ，p为素数，证明pn阶群必有p阶子群。2. 证明6阶群恰有一个3阶子群。3. 设G为群，C (G) 为G的中心，证明C (G) G。4. HG且KG，证明1) HKG；2) HKG。5. 证明指数为2的子群必为不变子群。6. 求N24，+24的6阶子群H及N24关于H的商群。7. 设KH，HG，问K是否必为G的不变子群？证明或举出反例。7. 设p，q是两个不同的素数，G为pq阶交换群。证明G是循环群。9. 证明存在从m阶循环群G1到n阶循环群G2的满同态，当且仅当 n | m。10. 设H是循环群G的子群，证明G/H也是循环群。11. 设H为群G的不变子群，且H =2。

14、证明HC (G)。12. 设H是群G的阶为n的子群，且G只有一个阶为n的子群。证明H是G的不变子群。13. 设H是群G的子群，如果H的任意两个左陪集的乘积仍是一个左陪集，则H是G的不变子群。14. 设H，K是群G的有限子群，且H与K互素。证明HK e。15. 设p和q为素数，pq，且G为pq阶的群。证明G的q阶子群必为不变子群。 16. 设H是群G的子群且HC (G)，则H是G的不变子群。并且若G/H是循环群，则G是交换群。17. 设H是群G的子群，N (H) 为H的正规化子。证明：HG当且仅当G = N (H)。20. 证明阶数为p2的群必为交换群，其中p为素数。21. 设G是交换群，H =

15、 xG | x的阶是有限的。证明1) H是G的子群； 2) 在商群G/H中，除幺元H外不含阶为有限的元素。22. 设H，K是群G的不变子群，且G/H和G/K均是交换群，则G/ (HK) 必为交换群。23. 设HG，证明G/H是交换群的充分必要条件为：对任意g1，g2G有。24. 设G是n阶交换群且p是素数。若p|n，则G中存在阶为p的元素。25. 设G是群，对于任意aG，定义 a(x) = ax a1 ， xG则 a是G的自同构映射，称之为G的内自同构。G的内自同构的全体构成G的自同构群的不变子群。 26. 设f是群G到G的群同态映射，K = Ker f。证明：对任意aG，f 1 (f (a)

16、 = aK。 27. 证明除零同态之外，不存在Q，+到I，+的群同态映射。28. 设f是群G到G的满同态映射，A是G的子群。试证：如果A的阶与G的阶互素，则A包含在Ker f 中。 29. 设群G只含有限多个子群，f是G到其自身的满同态。证明f是G的自同构。30. 设H是群G的不变子群，且 G : H = m，则对任意xG，必有xmH。31. 证明在同构的意义下只有两个6阶群，一个是循环群，一个是S3 。32. 证明：在同构的意义下只有两个不同的10阶群。 定理3.1.2 若R，+，是环，则下列条件等价：定理3.1.3 有限整环都是域。定理3.1.5 体仅有零理想和单位理想。定理3.1.9 设

17、D是环R，+，的理想。若在R/D上定义二元运算与如下：（D+r1）（D+r2）= D +（r1+r2） r1 ，r2R（D+r1）（D+r2）= D +（r1r2） r1 ，r2R则R/D ， ，为环，称为R，+，关于D的商环。定理3.1.10 若f是环R，+，到环S，*的环同态，则Ker f 是R，+，的理想。定理3.1.11 若f是环R，+，到S，的环同态，则R / Ker f ，f R，。例9 设D1和D2都是环R，+，的理想。若D2 D1，则D1/D2是R/D2的理想，并且 R /D2 / D1/D2 R /D1例13 若p为素数，则（p）为I，+，的极大理想。定理3.1.12 若D是

18、含幺元交换环R，+，的理想，则R，+，关于D的商环R/D，是域，当且仅当 D是R，+，的极大理想。例14 模m的剩余类环Zm，是域，当且仅当 m为素数。习题3.12. 对于乘法来说，每个元素都是幂等元的环称为布尔环。证明以下结论。a) 设X为集合，则P（X），是布尔环。b) Z2 和Z2Z2 都是布尔环。c) 布尔环的每个元素都以自己为负元。d) 布尔环必为交换环。e) 阶大于2的布尔环不可能是整环。3. 若A和B为环R，+，的子环，则AB也是R，+，的子环。若A和B为环R，+，的理想，则AB也是R，+，的理想。4. 若R，+，是环，并且R，+是循环群，则R，+，是交换环。5. 设R，+，是具

19、有么元1的环，在R上定义运算 和如下：r s = r + s +1rs = rs + r +s r，sRa) 证明R，是环；b) 求出R，的零元和么元；c) 证明R，与R，+，同构。6. 求出N6，+6，6，N8，+8，8，N12，+1212的所有子环和理想。7. 设D1和D2是环R，+，的理想，证明D1 + D2也是R，+，的理想，其中D1 + D2 = d1 + d2 | d1D1且d2D2 。8. 证明两个域的积代数结构不可能是域。10. 设R，+，是I上二阶方阵的环，A是元素为偶数的所有二阶方阵组成的集合。证明A是R，+，的理想，并求R / A的阶。11. 设m，rI+ 且r | m，

20、 找出Zm到Zr的一个满同态f，求Ker f 和Zm/Ker f。12. 找出环I，+，的所有自同态，并求每个自同态的核。13. 设环R，+，有且只有一个右么元，试证R有么元。14. 设R，+，为具有么元1的环，uR且u有右逆元。证明关于u的下述条件是等价的：1) u有多于一个的右逆元；2) u不是可逆的；3) u是左零因子。15. 设环R，+，的每一个左理想都有左么元，试证R，+，的每一个左理想都有么元。16. 设R，+，是具有么元1的环。若 0 和R是R，+，仅有的两个左理想，证明R，+，是体。17. 设R，+，是具有么元1的环，D为R之理想。证明：(a) 设U = x | xR且x关于可

21、逆 ，则U，为群。(b) 设G = a| aU且a1D，则G是U的不变子群。18. 设f是环R，+，到S，*的环同态，且AR。证明: f 1 ( f (A) ) = A+ Ker f。19. 设f是环R，+，到S，*的环同态，H1和H2均为R之子环，且包含Ker f。证明：若f (H1) = f (H2)，则H1 = H2 。 20. 含么环不可能与任何不含么元的环同构。习题3.21. 若pn阶域有pm阶子域，则m | n。2. 求出4阶域和5阶域上的所有不可约的首1二次多项式。3. 证明x2 +1是GF (7) 上的不可约多项式。4. 设p(x)和q(x) 是GF (p)上互素的多项式，则它

22、们在GF (p)的扩域上仍为互素的。5. 证明域的加法群和乘法群不能同构。6. 试证明：a) 有理数域Q，的自同构映射只有一个。b) 域a+ bi | a，bQ，的自同构映射只有两个。7. 设m2，a1，a2，am，是m阶有限域，0是其零元。证明。定理3.3.2 pn阶域的元素都是多项式的根。定理3.3.3 有限域的乘法群必为循环群。定理3.3.4 设域F，的特征为p。如果 ，F，则 ( + ) p = p + p推论 设域F，的特征为p。若 ，F，则 （ ）p = p p第四章 格与布尔代数 定理4.1.3 设L，是格，若a，b，cL，则i）ab 当且仅当 a*b = a 当且仅当 ab =

23、 b；ii） 若bc，则a*ba*c且abac；iii） a（b*c）（ab）*（ac），a*（bc）（a*b）（a*c）；iv） ac 当且仅当 a（b*c）（ab）*c。习题4.14. 设L，是格，a，b，cL。如果abc，则ab = b*c且 (a*b) (b*c) = (ab)*(ac) =b。5. 设L，是格，a，b，c，dL。如果ab且cd，则a*cb*d。6. 设L，是格，a，b，c，dL，则(a*b)(c*d) (ac)*(bd)(a*b)(b*c)(c*a) (ab)*(bc)*(ca)7. 设L，是格，a，b，cL，则(a*b)(a*c) a*(b(a*c)(ab)*(ac

24、) a(b*(ac)8. 设L，是格，a，b，cL，如果a*b*c = abc，则a = b = c。9. 设L，是格，a，bL。令S = xL | axb，证明S，也是格。定义4.2.1 如果集合L上的两个二元运算*和满足交换律、结合律、吸收律，则称代数系统L，*，为格。定理4.2.1 定义4.1.1和 定义4.2.1是等价的。定义4.2.2 设P，和Q，是两个半序结构且 f : P Q 。i）如果对任意a，bP，当ab 时必有 f（a）f（b），则称 f 为保序的。ii）如果 f 是双射，并且 f 和 f 都是保序的，则称P和Q是次序同构的。由上述定义可知，若P和Q是次序同构的，则对任意a

25、，bL , 均有 ab 当且仅当 f（a）f（b）。定理4.2.2 设格L，*，和S，中的半序关系分别是和。i）若g是从L，*，到S，的同态，则g是保序的。ii）若g是从L，*，到S，的同构，则L和S是次序同构的。定理4.2.3 设L，*，和S，是两个格，其中的半序关系分别为和，则L和S 同构 当且仅当 它们是次序同构的。习题4.25. 证明群G，的不变子群集合是G的子群格的子格，并证明两个不变子群N 和N2的最小上界是N1N2 。6. 画出24阶循环群的子群格的图，并证明它同构于S24，D。7. 画出C6和C8的子群格的图。当n为素数时，的子群格的图是什么？当n = p1 p2（其中p1，p

26、2是素数）时，的子群格的图是什么？8. 设A和B是集合，f：AB。证明S = f x | xA 是P (B)，的子格。9. 设S，*，是格，J是S的非空子集。如果对于任意a，bJ和cS，abJ 且 a*cJ，则称J为S的理想。证明：a) S的理想必为S的子格，但S的子格不一定是S的理想。b) 设f是格S到S的同态映射，A是S的子格，J是S的理想，则f A是f S的子格，f J是f S的理想。f A是不是S的子格？f J是不是S的理想？ 定义4.3.3 设L，*，是格。如果对于任意a，b，cL，当ab时必有 a（b*c）= b*（ac），则称L，*，为模格。定理4.3.2 格L，*，是模格的充要

27、条件是不含如下形式的子格：定理4.3.4 每个链都是分配格。 定理4.3.6 格L，*，是分配格的充要条件是：对于任意的a，b，cL，均有（a*b）（b*c）（c*a）=（ab）*（bc）*（ca）定理4.3.7 模格L，*，是分配格的充要条件是不含如下形式的子格1. 求出格S75 ，D中每个元素的补元。2. 试证明：在有一个以上元素的格中，不会有元素是它本身的补元。3. 画出格S30 ，D和S45 ，D的图。其中哪个格是有补格？5. 格S30，D和S45，D是否是分配格？6. 证明I，min，max是分配格。8. 试证明：在有界分配格中，有补元的各元素构成一个子格。9. 试证明每个分配格都是模式格。10. 设L，*，是格。证明 L是分配格 当且仅当，对于任意a，b，cL，(ab)*c a(b*c)。11. 设L，*，是分配格，aL。定义：LL为：对于任意xL， (x) = x*a。定义：LL为：对于任意xL， (x) = xa。证明和是L的两个自同态，并求出L和L。12. 设E是格L的所有自同态的集合，证明E关于函数合成运算构成独异点。13. 设L，*，是分配格，a，bL，且ab，b/a = x | xLaxb 。定义 ：Lb/a为 (x) = (xa)*b。证明是同态映射。14. 设L，*，是格。证明：L是模格 当且仅当，对于任意a，b，c