机械能守恒定律.docx

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机械能守恒定律

机械能守恒定律

一、教法建议

抛砖引玉

我们建议：

本单元的数学采用下述的三个步骤顺序进行

第一步：

通过演示实验使学生认识到机械能的转化与守恒是客观存在的。

演示的项目可以选用下列一些内容：

①将小球竖直上抛——让学生观察动能转化为重力势能的过程；当小球达到最高点后自由落下——让学生观察重力势能转化为动能的过程。

②用细绳拴小球构成“单摆”，使单摆往复摆动——让学生观察摆球在竖直面内沿圆弧线摆动过程中重力势能与动能之间的交替转化。

③旋动“麦克斯韦滚摆”——使学生观察“滚摆”的重力热能与动能之间的交替转化。

在此过程中既有因滚摆重心上下变化的移动动能的变化，也有滚摆绕轴的转动动能的变化，可以开阔学生的眼界，提高学生的兴趣，但不必对其中的转动动能作定量讲述。

（注：

在很多中学的物理实验室中都有“麦克斯韦滚摆”这种数学仪器。

如果没有，借一成品进行仿制也不很困难。

）

④拨动“弹簧振子”——使学生观察弹性势能与动能之间的相互转化。

不必对弹性势能作定量的讲述。

作这些演示实验的目的是为了使学生认识到：

“机械能守恒定律”是在科学实验的基础上总结出来的，是客观存在的，并不是单纯依靠数理推导得出的。

第二步：

在“功能原理”的基础上，推导出“机械能守恒定律”的数学表达形式，并说明此定律成立的条件。

在本章第二单元中，我们导出“功能原理“最简单的数学表达形式：

WF=ΔE

在此基础上，我们就可以导出下面的“机械能守恒定律”的最简单的数学表达形式：

当WF=0时——定律的条件

则ΔE=0——定律的结论

这种表达形式虽然简单，但是不便于应用，因此我们可以再写出本章第二单元中导出的“功能原理”的展开形式：

将WF=Fs-fs代入上式可得：

在此基础上，我们就可以导出“机械能守恒定律”的展开形式：

当WF=0时——定律的条件

则

（注：

关于WF=0的物理意义，我们将在后面“指点迷津”中作专题说明。

）

第三步：

通过例题和习题，使学生更深入具体地理解定律的物理意义，并能正确灵活地用于解答有关的物理问题。

我们将在后面的“学海导航”中讲述少量的例题，并在“智能显示”中提供大量的习题。

请同学们不要先看答案，而应独立思考，求解以后再进行核对，并从中总结出思维方法来。

指点迷津

1．WF=0的物理意义是什么？

在WF中包括什么？

不包括什么？

首先说明：

这个论题有些超过了课本中讲述的内容，但是对于物理基础较好的学生是很有益处的，可以提高他们的理解能力；对于物理基础较差的学生也可作尝试性阅读，若感觉困难，可以不学。

在本章第二单元的推导过程和专题论述中，同学们已经知道：

“功能原理”中的WF是不包含重力做功WG的。

因此WF=0的意义就有下列两种说法（注意：

说法虽不同，但本质相同）：

第一种说法是：

没有重力以外的其它外力做功。

第二种说法是：

只有重力做功。

为了叙述简明，在高三物理课本147页中在讲述“机械能守恒定律”时就是这样叙述的——“在只有重力做功的情形下，物体的动能和重力势能发生互相转化，但机械能的总量保持不变。

由于目前高中物理不对“弹性势能”作定量讲述，所以对弹性势能和动能之间的定量转化关系也暂不要求。

但升入大学以后还是要讲的，那时就会知道：

通过弹力做功的过程，弹性势能与动能之间也是会相互转化的。

综上所述：

重力做功可使重力势能和动能之间转化；弹力做功可使弹性势能和动能之间转化。

但是重力势能、弹性势能和动能都属于“机械能”，所以当只有重力和弹力做功时，只能引起“系统”内部各种机械能之间的相互转化，而系统的机械能总量保持不变。

通过上述的分析可知，在WF中不包括重力做功（WG），也不包括弹力做功。

在前面推导中我们知道WF=FS-fs，这就表明在WF中包括两种功：

一种是除了重力和弹力以外的其它动力所做的功（FS）；另一种是物体克服阻力所做的功（fs）。

WF=0是“机械能守恒定律”的条件，希望同学们读过上述的说明后，能对此条件有正确的理解。

（将来升入大学后，还将学习“保守力”做功的概念。

）

2．掌握了“牛顿运动定律”以后，为什么还要学习“机械能守恒定律“？

这个问题可以从下列三个方面认识：

第一、动量守恒定律、机械能守恒定律、能的转化和守恒定律、以及今后将在热学、电磁学、原子物理学还要学到的一些“守恒定律”是人类对自然界研究的重要成果，它使人们从一个新的角度认识物理世界乃至整个自然界的变化规律。

这些新知识、新观点都不是牛顿运动定律所能包容的，因而我们应当认真地学习这些“守恒”知识。

第二、掌握好机械能守恒定律能为学习下单元的“能的转化和守恒定律”奠定基础。

（阅读过下一单元的“教学建议”后，就会理解到它们之间的关系。

）

第三、能够提高解题能力。

在中学阶段运用牛顿运动定律解答在恒力作用下的物体做匀变速直线运动的问题比较容易。

但是遇到一些在变力作用下的物体做非匀变速运动的问题，如果这种问题满足WF=0，使用机械能守恒定律就会迎刃而解。

（通过后面的例题和习题就能体会到）

二、学海导航

思维基础

例题1一人站在高10米的楼上，以10米/秒的速度倾斜抛出一质量为0.2千克的石头。

求：

（1）人对石头做的功W=?

（2）石头落到地面时速度的大小vt=?

（空气阻力忽略不计：

取g=10米/秒2。

）

思维基础：

1．功和能都是标量，解题时不必考虑方向。

在本题中，虽然没有明确说出倾斜抛出的倾角大小，也未讲是斜上势还是斜下抛，但只要知道抛出的速度v0=10米/秒，即使不知方向，仍可以用“动能定理”求解。

2．在本题中，由于忽略了空气阻力，所以在石头抛出后运动的过程中就只受重力的作用了，这就满足了“机械能守恒定律”的条件。

3．斜向抛出的石头是作曲线运动的，若用牛顿运动定律求解就有困难。

若用机械能守恒定律求解就十分简单例。

4．本题可分为前后两个过程——前一个过程在石头未出手前，此时人手对石头做功使石头产生动能，此过程虽不满足机械能守恒的条件，却可用“动能定理“求解：

后一个过程是在石头被抛出以后，此时只有重力对石头做功了，就能够使用“机械能守恒定律”求解了。

解题过程：

（1）根据动能定理，人对石头做的功等于石头动能的变化。

石头在人手中时动能为零，则抛出时速度为，即动能为

，于是可以写出下式并代值求解：

（2）已知石头的初始高度h0=10米，抛出时的初始速度v0=10米/秒，落地时的高度为零，则根根据机械能守恒定律就可通过下式求出石头落地时速度的大小vt：

消去式中的m并进行推导可得下式：

答案：

人对石头做的功W=10焦；石头落到地面时速度的大小vt=17.3米/秒。

学法指要

例题2一个质量为m的小球被拴在一条细绳的一端，现手执绳的另一端抡动，使小球在竖直平面内做圆周运动。

则小球过最低点时绳子的张力T1和小球过最高点时绳子的张力T2的数值之差T1-T2=?

（细绳的质量、空气的阻力皆忽略不计）

启发性问题：

1．小球的运动过程中都受到什么力的作用？

这些力是否都对小球做功？

2．在解答本题时要运用哪些规律？

3．你能预言出本题答案的基本形式吗？

分析与说明：

1．小球在运动过程中受到重力和细绳的张力的作用。

重力对小球做功（有时是做正功，有时是做负功，请读者分析思考），使小球的重力势能与动能之间交替转化，满足机械能守恒定律的条件。

细绳的张力（其属性为弹力）是指向圆心的，与小球运动的圆周切线方向是垂直的，因此这个力不做功。

2．本题是一个变速圆周运动问题，在解题时主要运用圆周运动的向心力规律和机械能守恒定律。

此外，“受力分析”在解题中也很重要。

3．本题给出的已知量只有一个——小球的质量m，因此可以预言出本题的答案的基本形式应当是T1-T2=nmg。

至于n是整数还是分数？

n的具体数值是多少？

那就需要通过求解才能获得答案。

（题中虽未给出重力加速度g，但这公认是已知的）

求解过程：

图5-25

如图5-25所示：

小球过最低点时，细绳的张力T1方向向上（它与重力之差T1-mg是供小球运动的向心力），设此时小球速度的大小为v1；小球过最高点时，细绳的张力T2方向向下（绳是软的，只可能有向下的拉力，不可能有向上的支撑力。

它与重力之和T2+mg是供小球运动的向心力），设此时小球速度的大小为v2。

设小球做圆周运动的半径为R。

根据上面的受力分析，运用圆周运动的向心力公式可以写出下列二式：

①

②

将①、②两式相减可得

上式可以变化为：

③

若以小球运动通过的最低点处定为重力势能的零点，则小球过最高点时的重力势能mgh=mg·2R，则据机械能守恒定律可以列出下式：

④

消去式中的m，并在等式两边乘2，则可以写出下式：

由上式可以导出：

⑤

将式代入式：

T1-T2=2mg+m·4g=6mg

答案：

T1-T2=6mg

解题后的思考：

1．若不附加其它条件，你能求出T1和T2单独的数值吗？

（提示：

T1、T2的大小与v1、v2的大小有关。

）

2．若本题中给出：

当小球通过最高点时绳子的张力T2=0。

则小球通过最低点时绳子的张力T1=？

（提示：

T1=6mg。

建议：

不要据T1-T2=6mg直接得出答案，最好通过受力分析再列出一个新的②式，然后求出T2，这样有益于复习和提高。

）

图5-26

思维体操

例题3如图5-26所示：

一条均匀的绳子，上端用手拉住放在光滑的水平桌面上，绳子的全长为l，在桌边下垂的长度为a，（桌面上的长度为l-a）。

若由此状态松手，让绳子自由滑下，求绳子全部离开桌面瞬间的即时速度v=?

（注：

不计空气阻力和摩擦力。

桌腿较长，当绳子全部离开桌面的瞬间，绳子的下端尚未触地。

）

“准备活动”（解题所需的知识与技能）：

1．本题中绳子滑下的过程也不垂段连续增长的过程，而下垂段所受的重力又是使全绳加速的动力，因此这是一个在变力作用下的非匀变速运动问题，不宜采用牛顿定律求解。

2．本题符合机械能守恒定律的条件，只要分析出初始状态和终了状态的机械能（动能和重力势能之和），就可根据定律解出 v的答案。

3．绳子初始状态的动能为零：

终了状态的动能为

mv2（m为全绳的质量）。

4．分析绳子初始状态和终了状态的重力势能是本题的难点。

如图5-27

（1）、

（2）所示，为了解题的最下端定为重力势能的零点标准（注：

重力势能不一定总以地面为零点标准，为了解题或实验的方便，我们就常以实验台面为重力势能零点面）由于绳子是细长形的物体，我们不

图5-26

能把它当作质点看等，因此在计算它的重力势能时应以重心距零点线的高度为准。

在初始状态绳子在桌面上的部分重心位于O1，下垂部分重心在O2（绳子是均匀的，所以此重心应在a段的中点，因而此段重心距零点线高度为

）。

在终了状态，绳子的重心O位于绳子的中点（距零点线高度为

）。

图之

（1）表示绳子的初始状态；图之

（2）表示绳子的终了状态，读者可阅图思考，我们就不过多地说明了。

5．为了推导的方便，我们设绳子的密度为

，绳子的横截面积为S，则根据质量、密度、体积之间的关系式m=

V=

SL（体积V等于截面积乘长度）可以写出：

初始状态桌面上一段绳子的质量

初始状态桌边下垂段绳子的质量

终了状态全部绳子的质量

“体操表演”（解题的过程）：

根据“准备活动”中的分析，我们可以写出绳子在初始状态的机械能总和：

根据“准备活动”中的分析，我们还可以写出绳子在终了状态的机械能总和：

根据机械能守恒定律Et=E0可以写出下列关系式：

将等式两边的

消去，并脱括号展开推导：

将等式两边的

消去，并继续推导：

答案：

绳子全部离开桌面瞬间的即时速度

。

“整理运动”（解题后的思考）：

1．通过本题的解答，你学会了哪些方法？

提高了什么能力？

（只有认真地总结，才会有较大的提高。

否则就只限于见识了一个难题，收获就不大了。

）

2．我们前面讲述的只是一种基本的、易懂的解法，你还能想出更为简便的灵活解法吗？

三、智能显示

心中有数

1．机械能：

系统中物体的动能、重力势能和弹性势能之和称为机械能。

（1）重力做功的特点：

重力做功与物体移动的路径无关，只跟它的起点位置和终点位置的竖直高度有关。

（2）重力做功与重力势能变化的关系：

重力对物体做了多少正功，重力势能就减少多少；物体克服重力做了多少功，重力势能就增加多少。

（3）重力势能的相对性：

重力势能是物体和地球所组成的系统共有的能量，其表达式Ep=mgh中高度h与参考面的选择有关。

若物体在参考面之上时，重力势能Ep为正值；若物体在参考面之下时，重力势能Ep为负值。

2．机械能守恒定律：

当系统只有重力的弹力做功时，机械能的总量保持不变。

表达基本功为

Ek1+Ep1=Ek2+Ep2

（1）判断机械能是否守恒的方法：

用做功来判定：

对某一系统，若只有重力和弹力做功，其它力不做功或其它力做功的代数和等于零，则该系统的机械能守恒。

用能量转换来判定：

对某一系统，若物体间只有动能、重力势能和弹性势能相互转化，没有其它形式的能转化，则系统的机械能守恒。

（2）应用机械能守恒定律解决问题的步骤。

明确研究对象

分析研究对象的受力情况和运运情况，判断是否只有重力和弹力做功，从而确定是否机械能守恒。

选下零势能参考平面后，确定物体在初始位置和终了位置的机械能。

根据机械能守恒定律列出方程，统一单位后代入数据解方程。

动手动脑

（一）选择题

1．下列关于重力势能的说法中正确的是

A．重力势能只由重物决定B．重力势能不能有负值

C．重力势能的大小是相对的D．物体克服重力的功等于重力势能的增加量

2．物体在运运过程中，克服重力做功50J，则

A．重力对物体做功50JB．物体的重力势能一定增加50J

C．物体的动能一定减少50JD．重力对物体做功为-50J

3．在水平面上竖直放置一轻质弹簧，有一物体在它的正上方自由落下，在物体压缩弹簧速度减为零时

A．物体的重力势能最小B．物体的动能最大

C．弹簧的弹性势能最大D．弹簧的弹性势能最小

4．质量为m的铅球从地面上方H高处自由下落，落在地面后出现了一个深度为h的坑，在此过程中

A．重力对铅球做的功为mgHB．铅球的重力势能减少了mg（H+h）

C．外力对铅球做的总功为零D．地面对铅球的平均阻力为mg（H+h）/h

5．将物体由地面竖直上抛，不计空气阻力，物体能够达到的最大高度为H。

当物体在上升过程中的某一位置时，它的动能是重力势能的2倍，则这一位置的高度为

A．H/4B．H/3C．H/2D．2H/3

6．质量为m的小球，从桌面上竖直上抛，表面离地面高度为h，小球能到达的最大高度离地面为H。

若以桌面作为重力势能为零的参考平面，不计空气阻力，则小球落地时的机械能为

A．mgHB．mghC．mg（H+h）D．mh（H-h）

7．在下列情况中，物体的机械能守恒的是（不计空气阻力）

A．手榴弹爆炸前在空中飞行的过程中

B．子弹沿水平方向射入放在光滑水平面上的木块的过程中

C．细绳的一端系一小球，绳的另一端固定，小球在竖直平面内做圆周运动

D．小球从高处落到竖直放置的弹簧上之后，小球的运动过程

8．在下列运动过程中，物体的机械能守恒的是

A．物体沿斜面匀速下滑过程中

B．物体沿光滑曲面自由下滑的过程中

C．人造卫星沿椭圆轨道绕地球转动过程中

D．物体做平抛运动过程中

9．物体在地面上10m高的地方以8.0m/s2的加速度竖直下落，在下落的过程中，物体机械能的变化是

图5-28

A．不变B．减小C．增大D．无法判定

10．如图5-28所示，质量相同的小球A、B，分别分细线悬在等高的O1、O2点，A球的悬线比B球的长，把两球的悬线均拉到水平后将小球无初速释放，若选取悬点为零势能点。

则小球通过最低点时

A．A球的速度大于B球的速度B．A球的动能大于B球的动能

C．A球的机械能大于B球的机械能D．A球的机械能等于B球的机械能

11．以初速v0竖直上抛一小球，若不计空气阻力，在上升过程中，从抛出到小球动能减少一半所经过的时间是

A．v0/gB．v0/2gC．

D．

12．如图5-29所示，一物体从某一高度自由落下，落在直立于地面的轻弹簧上。

在A点，物体开始与弹簧接触，到B点时，物体速度为零，然后被弹回，下列说法中正确的是

A．物体从A下降到B的过程中，动能不断变小

图5-29

B．物体从B上升到A的过程中，动能不断变大

C．物体从A上升到B，以及从B上升到A的过程中，速率都是先增大，后减小

D．物体在B点时，所受合力为零

图5-30

13．如图5-30所示的装置中，木块B与水平桌面间的接触是光滑的，子弹A沿水平方向射入木块后留在木块内，将弹簧压缩到最短。

现将子弹、木块和弹簧合为一起作为研究对象（系统），则此系统在从子弹开始射入木块到弹簧缩至最短的整个过程

A．动量守恒，机械能守恒

B．动量不守恒，机械能不守恒

C．动量守恒，机械能不守恒

D．动量不守恒，机械能不守恒

14．如图5-31所示，在跨过一轻滑轮的绳子两端分别挂着质量为m1和m2的两物体，已知m1>m2，若m1以加速度a向下做匀速运动，阻力不计，则

A．m1和m2的总机械能不守恒

图5-31

B．m2的机械能守恒

C．m1和m2的总机械能守恒，动量守恒

D．m1和m2的总机械守恒，动量不守恒

15．从地面竖直向上抛出质量为m的小球，经t秒球落回地面，不计空气阻力，小球重力势能的最大值为

A．mg2t2B．2mg2t2C．mg2t2/8D．mg2t2/4

图5-32

16．如图5-32所示是物体从离地面某一高处自由下落时动能、重力势能、机械能随下落距离h变化的图象。

下列说法中正确的是

A．b表示动能随h变化的图象

B．b表示重力势能随h变化的图象

C．c表示动能随h变化的图象

D．a表示机械能随h变化的图象

17．从某一高处平抛一物体，不计空气阻力，物体着地时的速度与水平方向成a角，选取地面重力势能为零。

物体抛出时，动能与重力势能之比为

A．sin2aB．cos2aC．tg2aD．ctg2a

18．人在h高处抛出一个质量为m的小球不计空气阻力，小球落地时速度为v，则人对小球做的功是

A．mv2/2B．mgh+mv2/2C．mgh-mv2/2D．mv2/2-mgh

19．如图5-33所示，长度为

质量可不计的不会弯曲的硬杆，左端固定在O点，中点和右端各固结一个质量为m的小球，杆带着小球在竖直平面内绕O点转动。

开始时杆处于水平状态并由静止释放，当杆下落到竖直位置时，在杆中点的球的速率为

A．

B．

C．

D．

图5-33图5-34

20．如图5-34所示装置是竖直放置的固定轨道，圆弧轨道半径为R，小球从P点由静止开始运动，不计摩擦阻力，小球能过最高点A时，恰好不脱离圆轨道，则

A．高度h应等于5R/2

B．小球到达A点时受重力和弹力的作用

C．小球到达圆弧最低点B时的速率为

D．若改变h，使小球到达B点时的速率为2

，则小球到达A点时对轨道的压力大小等于小球所受重力大小的15倍

（二）填空题

21．某人以速度v0=4m/s将质量为m的小球抛出，小球落地时的速度8m/s，不计空气阻力，g=10m/s2。

小球刚被抛出时的速度是。

22．细绳的一端固定，另一端系一质量为m的小球。

小球绕绳的固定点在竖直平面内做圆周运动，细绳在最低点和最高点的张力差是。

23．如图5-35所示，一个小球A从光滑半球B的顶点由静止开始滚下，半球B的半径R=0.4m。

当小球落到地面上时速度大小是（g=10m/s2）

24．如图5-36所示，圆弧轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点轨道的切线是水平的。

一质点从A点由静止开始下滑，不计质点与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要到达B点时的加速度大小为，则滑过B点时的加速度大小为。

图5-35图5-36

25．如图5-37所示，一根全长为

粗细均匀的铁链，对称地挂在轻小光滑的定滑轮上。

当受到轻微的拢动，铁链开始滑动。

当铁链脱离滑轮瞬间，铁链速度的大小是。

图5-37

（三）计算题

26．如图5-38所示，质量分别为2m和m的可以看作质点的小球A、B，用不计质量不可伸长的细线相连，跨在固定的光滑圆柱的两侧，开始时A球和B球与圆柱轴心O同高，然后释放A球，则B球到达最高点速率是多少？

27．如图5-39所示，带有光滑半径为R的1/4圆弧轨道的滑块静止在光滑的水平面上，滑块的质量为M。

将质量为m的物体由静止从A点释放。

当物体从滑块B点水平飞出时，滑块的反冲速度是多大？

图5-38图5-39图5-40

28．如图5-40所示，小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一固下的钉子B，OB=d，开始时小球A在与O同一水平无初速释放，绳长为l，为使球A能绕B点做圆周运动，试求d的取值范围。

创新园地

图5-41

29．请你以自由落体为例推导机械能守恒定律。

30．如图5-41所示，在光滑水平面上静止放置一个质量为M，高度为h的物体，物体M的弧面最低点与水平面相切，一个质量为m的小球以速度v0冲向物体M。

若物体M各表面都是光滑的，则小球的速度v0为何值时，小球才能越过物体M的最高点？

参考答案

动手动脑

（一）选择题

1.CD2.BD3.AC4.BCD5.B6.D7.ACD8.BCD9.B10.ABD11.D12.C13.B14.D15.C16.AD17.D18.D19.D20.ACD

（二）填空题

21.2.4m

22.6mg

32.2.82m/s

24.2g,g

25．

（三）计算题

26．以球A、B和地球组成的系统为研究对象，根据机械能守恒定律：

系统减少的重力势以能等于系统增加的动能

，即

解得：

27．物体m在下滑过程中，其机械能是不守恒的，因为m重力势能转化为m和M的动能。

故应以m和M组成的系统为研究对象，该系统机械能守恒，系统减少的重力势能等于系统增加的动能，即

mgR=mv2/2+MV2/2

系统水平方向不受外力，故系统水平方向动量守恒，设向右为正方向

mv-MV=0

由上述二式联立解得：

28．球A绕B点在竖直平面内做圆周运动的半径为

当d最小时，R最大，球A到圆周最高点D时重力做向心力

根据机械能守恒定律：

重力势能的减小量等于动能的增加量

由以上各式联立解得：

创新园地

29．设质量为m的物体从某一高处自由下落，当它经过距地面h1高处时的速率为v1，经过距地面h2高处时的速度为v2，根据动能定理得

又因重力做功等于重力势能的减少量

由以上两式得：

上式表明：

物体在自由下落过程中，任何时刻重力势能和动能之和亦即机械能保持不变。

平速度v应该相等，选地面为重力势能的零势能面。

根据机械能守恒定律：

mv02/2=（m+m）v2/2+mgh

水平方向系统不受外力，根据动量守恒定律

mv0=（m+M）v

由上述二式解得：

要使小球越过物体的最高点，则v0应满足