浙教版数学九年级下册专项训练一锐角三角函数的计算.docx

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浙教版数学九年级下册专项训练一锐角三角函数的计算

专项训练一：

锐角三角函数的计算

名师点金：

锐角三角函数求值大致分为两类：

一是求一般锐角三角函数值，二是求特殊锐角三角函数值，在解题过程中要根据已知条件，采取灵活的方法．

求一般锐角三角函数值

类型1：

根据边的比值求函数值

1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，则cosB＝________，tanA＝________．

2．直角三角形纸片ABC的两直角边长分别为6，8.现将△ABC按如图所示的方式折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，则tan∠CBE的值是________．

（第2题）

类型2：

巧用网格或平面直角坐标系求锐角三角函数值

3．如图，将∠AOB放置在5×5的正方形网格中，则tan∠AOB的值是（　　）

A.B.C.D.

4．如图，在平面直角坐标系中，点P（3，m）是第一象限内的点，且OP与x轴正半轴的夹角α的正切值为，则sinα的值为（　　）

A.B.C.D.

（第3题）

（第4题）

（第5题）

5．如图，A，B，C三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB绕点A逆时针旋转得到△AC′B′，则tanB′的值为（　　）

A.B.C.D.

类型3：

借助计算器求锐角三角函数值

6．用计算器求下列各式的值．（结果精确到0.0001）

（1）sin89°；

（2）cos45.32°；（3）tan60°25′41″；

（4）sin67°28′35″.

求特殊三角函数值

类型1：

利用特殊锐角三角函数值进行简单的计算

7．求下列各式的值．

（1）2sin30°－cos45°；

（2）tan30°－sin60°·sin30°.

类型2：

逆用特殊锐角三角函数值求角的度数

8．在△ABC中，如果∠A，∠B满足|tanA－1|＋＝0，那么∠C＝________．

9．求满足下列条件的锐角α.

（1）sin2α＝；　　

（2）6cos（α－16°）＝3.

类型3：

巧用特殊锐角三角函数值求一般三角函数值

10．求sin15°，cos15°，tan15°的值．

专项训练二：

三角函数与几何的综合

名师点金：

三角函数并不仅仅体现在直角三角形中，对于非直角三角形或其他图形中求三角函数值，往往转化到直角三角形中去求，同时三角函数通常和几何图形中的三角形、四边形、相似形等综合考查，如求线段的长度、角的度数、某些角的三角函数值、几何图形的面积等．

三角函数与三角形的综合

1．（学科内综合题）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于点D，点E是AC边的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝，求：

（1）线段DC的长；

（2）tan∠EDC的值．

（第1题）

三角函数与四边形的综合

2．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝，BE＝4，求tan∠DBE的值．

（第2题）

3．如图，在四边形ABCD中，∠C＝60°，∠B＝∠D＝90°，AD＝2AB，CD＝3，求BC的长．

（第3题）

三角函数与相似形的综合

4．如图，矩形ABCD的边AB上有一点P，且AD＝，BP＝，以点P为直角顶点的直角三角形的两条直角边分别交线段DC，BC于点E，F，连结EF，求tan∠PEF的值．

（第4题）

5．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝5，P是射线BC上的一个动点，过点P作PE⊥AP，交射线DC于点E，射线AE交射线BC于点F，设BP＝a.

（1）当点P在线段BC上时（点P与点B，C都不重合），试用含a的代数式表示CE；

（2）当a＝3时，连结DF，试判断四边形APFD的形状，并说明理由；

（3）当tan∠PAE＝时，求a的值．

（第5题）

专项训练三：

三角函数与一次函数、反比例函数的综合

名师点金：

三角函数与一次函数、反比例函数的综合，一般是先根据三角函数关系式求出相关线段的长，然后由函数图象与几何图形的相交情况建立方程（组），求得函数解析式．从而求出点的坐标、线段长度、图形的面积等；反之，也有的根据函数解析式求出需要的线段的长，进而求得必要的三角函数值，以便于解决函数或几何中的其他问题．

三角函数与一次函数的综合

1．如图，已知A点坐标为（5，0），直线y＝x＋b（b＞0）与x轴交于点C，与y轴交于点B，连结AB，α＝75°，求b的值．

（第1题）

2．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，A（－3，0），C（1，0），tan∠BAC＝.

（1）写出过点A，B的直线对应的函数解析式；

（2）在x轴上找一点D，连结DB，使得△ADB与△ABC相似（不包括全等），并求点D的坐标．

（第2题）

三角函数与反比例函数的综合

3．如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y＝的图象上，第二象限内的点B在反比例函数y＝的图象上，且OA⊥OB，cos∠BAO＝，求k的值．

（第3题）

4．（14·济南）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（2，1），射线AB与反比例函数的图象交于另一点B（1，a），射线AC与y轴交于点C，∠BAC＝75°，AD⊥y轴，垂足为D.

（1）求k的值；

（2）求tan∠DAC的值及直线AC的解析式．

（第4题）

专项训练四：

思想方法荟萃

名师点金：

本章主要学习了锐角三角函数、解直角三角形及其应用，体现的主要思想方法有：

方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等．

方程思想

1．（中考·南充）马航MH370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，如图，我国两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．（参考数据：

sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.74）

（1）求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；

（2）若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．

（第1题）

分类讨论思想

2．一条东西走向的高速公路上有两个加油站A，B，在A的北偏东45°方向还有一个加油站C，C到高速公路的最短距离CD是30千米，B，C间的距离是60千米，想要经过C修一条笔直的公路与高速公路相交，使两路交叉口P到B，C的距离相等，请求出交叉口P到加油站A的距离．（结果保留根号）

转化思想

3．如图所示，已知四边形ABCD，∠ABC＝120°，AD⊥BA，CD⊥BC，AB＝30，BC＝50，求四边形ABCD的面积．

（第3题）

数形结合思想

4．（中考·铁岭）如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tanα的值．测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°.已知塔高BC＝80米，塔所在的山高OB＝220米，OA＝200米，图中的点O，B，C，A，P在同一平面内，求山坡的坡度．（参考数据sin26.6°≈0.45，tan26.6°≈0.50；sin37°≈0.60，tan37°≈0.75）

（第4题）

答案

专项训练一

1.；

2.　点拨：

设AE＝x，则BE＝x，CE＝8－x，由题意得62＋（8－x）2＝x2，解得x＝，∴AE＝，CE＝.

∴tan∠CBE＝＝＝.

3．B　4.A　5.B

6．解：

（1）按键顺序为，显示结果为0.999847695，∴sin89°≈0.9998.

（2）按键顺序为，显示结果为0.703146544，∴cos45.32°≈0.7031.

（3）按键顺序为，显示结果为1.762327064，∴tan60°25′41″≈1.7623.

（4）按键顺序为，显示结果为0.923721753，∴sin67°28′35″≈0.9237.

解：

（1）原式＝2×－×

＝1－1

＝0.

（2）原式＝－·

＝.

8．75°　点拨：

由题意得：

tanA－1＝0，cosB－＝0，

∴∠A＝45°，∠B＝60°，∴∠C＝180°－（∠A＋∠B）＝180°－（45°＋60°）＝75°.

解：

（1）sin2α＝，

2α＝45°，

α＝22.5°.

（2）6cos（α－16°）＝3，

cos（α－16°）＝，

　　α－16°＝30°，

　　　　　α＝46°.

10．解：

如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，∠C＝90°，延长CA到D，使AD＝AB，则∠D＝15°，设BC＝a，则AB＝2a，AC＝a，∴CD＝（2＋）a.

在Rt△BCD中，BD＝＝＝（＋）a.

∴sin15°＝sinD＝＝＝；cos15°＝cosD＝＝＝；tan15°＝tanD＝＝＝2－.

（第10题）

专项训练二

1．解：

（1）在Rt△ABD中，∵AD＝12，sinB＝＝，∴AB＝15.

∴BD＝＝＝9.

∴DC＝BC－BD＝14－9＝5.

（2）过点E作EF⊥CD于点F.∵AD⊥BC，∴EF∥AD，又点E为AC边的中点，∴EF是△ADC的中位线．∴EF＝AD＝6，DF＝DC＝.∴tan∠EDC＝＝＝.

2．解：

∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB.∵cosA＝，BE＝4，DE⊥AB，∴设AD＝AB＝5x，AE＝3x，则5x－3x＝4，x＝2，即AD＝10，AE＝6，在Rt△ADE中，由勾股定理得：

DE＝＝8，在Rt△BDE中，tan∠DBE＝＝＝2.

3．解：

延长DA，CB交于点E，∵在Rt△CDE中，∠C＝60°，CD＝3，∴DE＝3，EC＝6.∵AD＝2AB，∴设AB＝k，则AD＝2k，∵∠C＝60°，∠ABC＝∠D＝90°，∴∠E＝30°.∵在Rt△ABE中，sinE＝＝，tanE＝＝，∴AE＝2AB＝2k，EB＝AB＝k，∴DE＝4k＝3，解得k＝，∴EB＝，∴BC＝6－＝.

4．解：

过点E作EM⊥AB于点M，∵∠PEM＋∠EPM＝90°，∠FPB＋∠EPM＝90°，

∴∠PEM＝∠FPB.又∵∠EMP＝∠PBF＝90°，∴△EPM∽△PFB.

∴＝＝＝，∴tan∠PEF＝＝.

5．解：

（1）设CE＝y，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝4，BC＝AD＝5，∠B＝∠BCD＝∠D＝90°.

∵BP＝a，CE＝y，∴PC＝5－a，DE＝4－y，∵AP⊥PE，∴∠APE＝90°，∠APB＋∠CPE＝90°，

∵∠APB＋∠BAP＝90°，∴∠CPE＝∠BAP，∴△ABP∽△PCE，∴＝，∴y＝，即CE＝.

（2）当a＝3时，y＝＝，即CE＝，∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC＝5，AD∥BF，∴△AED∽△FEC，∴＝，∴CF＝3，∴PF＝PC＋CF＝5.

∴AD＝PF，∴四边形APFD是平行四边形．在Rt△APB中，AB＝4，BP＝3，∠B＝90°，∴AP＝5＝PF，

∴四边形APFD是菱形．

（3）根据tan∠PAE＝可得＝2，易得△ABP∽△PCE，∴＝＝2，得＝＝2或＝＝2，解得a＝3，y＝1.5或a＝7，y＝3.5.∴a＝3或7.

专项训练三

1．解：

∵直线y＝x＋b（b＞0）是由直线y＝x向上平移b个单位得到的，∴∠BCO＝45°.又∵α＝75°，∴∠BAO＝α－∠BCO＝75°－45°＝30°.在Rt△ABO中，tan∠BAO＝，∴BO＝tan∠BAO·AO＝tan30°×5＝.∴B.将B的坐标代入y＝x＋b