计数原理题型练习.docx

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计数原理题型练习

a；a3a

4.a,b,c,d,e共5个人，从中选

1名组长1名副组长，但a不能当副组长,

计数原理

［基础训练A组］

一、选择题

1将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有（）

A.81B•64C•12D•14

2•从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有（）

A.140种B.84种C.70种D.35种

3.5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（）

A.AB.4A33C.AA2A3D

不同的选法总数是（）

A.20B.16C.10D.6

5.现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是（）

D.男生6人，女生2人.

A.男生2人，女生6人B.男生3人，女生5人

6.

在

x

1

8

的展开式中的常数项是（）

2

3X

A.

7

B.

7

C.28D.28

7.

（1

2x）

5（2

3

X）的展开式中X的项的系数是（

A.

120

B

120C.100D.100

C.男生5人，女生3人

—2

则展开式中的常数项是（

&,x4展开式中只有第六项二项式系数最大

x

A.180B.90C.45D.360

二、填空题

1.从甲、乙，……，等6人中选出4名代表，那么

（1）甲一定当选，共有种

选法.

（2）甲一定不入选，共有种选法.（3）甲、乙二人至少有一人当选，共有

种选法.

2.4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有种不同排法.

3.由0,1,3,5,7,9这六个数字组成个没有重复数字的六位奇数.

4•在（X.、3）10的展开式中，X6的系数是.

5•在（1X2）20展开式中，如果第4r项和第r2项的二项式系数相等，

则r,T4r.

6•在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这

样的四位数有个？

7•用1,4,5,x四个不同数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288,则

x.

&从1,3,5,7,9中任取三个数字，从0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位

数，共有个？

三、解答题

1•判断下列问题是排列问题还是组合问题？

并计算出结果

（1）高三年级学生会有11人：

①每两人互通一封信，共通了多少封信？

②每两人互握了一

次手，共握了多少次手？

（2）高二年级数学课外小组10人：

①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？

②从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？

（3）有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：

①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？

②从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？

2.7个排成一排，在下列情况下，各有多少种不同排法?

（1）甲排头，

（2）甲不排头，也不排尾,

（3）甲、乙、丙三人必须在一起,

（4）甲、乙之间有且只有两人，

（5）甲、乙、丙三人两两不相邻,

（6）甲在乙的左边（不一定相邻）

（7）甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序,

（8）甲不排头，乙不排当中。

3•解方程

（1）A：

x140A；;

⑵Cnn3

n1n

Cn1Cn1

cn

n

217

4•已知x2—展开式中的二项式系数的和比（3a2b）7展开式的二项式系数的和大

x

n

求X21展开式中的系数最大的项和系数量小的项

5.

（1）在（1+x）n的展开式中，若第3项与第6项系数相等，且n等于多少?

（2）

1

3x

n

的展开式奇数项的二项式系数之和为

128，

则求展开式中二项式系数最大项。

6.已知（2、、3x）50a0axa2x2L

50

a5ox,其中ao,ai,a2L45。

是常数，计算

2

（a。

82a4L350）（aia3a5L

a49）

［综合训练B组］

一、选择题

1由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数,其中小于50000的偶数共有（）

A.

60个B

•48个

C.

36个D

•24个

2•

3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张

则有

不同分法的种数是（）

A.

1260B•

120

C.

240D•

720

3•

nN且n

55,则乘积（55n）（56n）L（69

n）等于

4•从字母a,b,c,d,e,f中选出4个数字排成一列，其中一定要选出

并且必须相邻（a在b的前面），共有排列方法（）种•

A.36B•72

C.90D•144

5•从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（

A.120B.240

C.280D.60

6•把（、、3ix）10把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是（

A.135B•135

C.360.3iD•360、3i

2x

1

2x

2n

的展开式中,

x2的系数是224,

1

则三的系数是（）

x

A.

14B

28

C.

56

D

•112

&

在（1

3x

10

）（1x）的展开中

A.

297

B

252

C.

297

D

•207

x5的系数是（）

、填空题

1.n个人参加某项资格考试，能否通过，有种可能的结果？

2•以1,2,3L,9这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有种不同取法•

3•已知集合S1,0,1,P1,2,3,4,从集合S,P中各取一个元素作为点的坐标，

可作出不同的点共有个•

4.n,kN且nk,若。

爲：

碟^人1:

2:

3,则nk.

5

1

5.x1展开式中的常数项有

X

6.在50件产品n中有4件是次品，从中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共有种（用数字作答）•

7.（X1）（X1）2（X1）3（X1）4（X1）5的展开式中的X3的系数是

&A1,2,3,4,5,6,7,8,9，则含有五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为.

三、解答题

1.集合A中有7个元素，集合B中有10个元素，集合AIB中有4个元素，集合C满足

（1）C有3个元素；

（2）cMAUB

（3）CIB，CIA求这样的集合C的集合个数•

2.计算：

（1）C00Cw；

A301；

（2）C；C43LG3。

.

C：

i

cm

3.证明:

mm1m

AnmAnAn1.

4•求（x

3

2）展开式中的常数项。

5.从3,2,1,0,1,2,3,4中任选三个不同元素作为二次函数yax2bxc的系数，问

能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？

6.8张椅子排成，有4个人就座，每人1个座位，恰有3个连续空位的坐法共有多少种

［提高训练C组］

、选择题

1.

若A；

4

6C；，则n的值为（）

6B.

某班有

7C.8D.

30名男生，

A.

2.

其中男、女学生均不少于

9

30名女生，现要从中选出5人组成一个宣传小组,

2人的选法为（）

A.

221

C30C20C46

555

C50C30C20

C.

c50c3oC

20C34oC

20

C30C20c30c；。

3.

6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（

A.

22

C6C4

B.连C.6A3D.

A3

C3

4.

设含有

10个元素的集合的全部子集数为

则T的值为（

S

组成的子集数为T,

A.

C.

20

128

J6

128

15

128

21

128

5.

若（2x

2

3ixa?

xa3x

S，其中由3个元素

4

a4x,

则（a。

a2

22

a4）（印a3）的值为（

A.1

C.0

6.在（x

y）n

的展开式中，若第七项系数最大，则n的值可能等于（

A.13,14

B.14,15

C.12,13

D.11,12,13

7.不共面的四个定点到平面

A.

C.

&由

0,1,2,3,...,9

十个数码和一个虚数单位i可以组成虚数的个数为（

的距离都相等，这样的平面共有（

.4个

.7个

A.100B.10

C.9D.90

二、填空题

1.将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方格的标号

与所填的数字均不同的填法有种？

2•在△AOB的边OA上有5个点，边0B上有6个点，加上0点共个点，以这12个点为顶点的三角形有个•

3•从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数yax2bxc的系数

a,b,c则可组成不同的函数个,其中以y轴作为该函数的图像的对称轴的函数有4•若ax的展开式中x3的系数为9，则常数a的值为

xV24

5•若C；C：

CfLCn2363,则自然数n

6.

cm

i

Cf

10C7m,则

7.0.9915的近似值（精确到0.001）是多少？

72

&已知（12x）a。

a-ia2xLa7x7,那么a1a2La7等于多少？

三、解答题

1.6个人坐在一排10个座位上，问

（1）空位不相邻的坐法有多少种?

（2）4个空位只有3个

相邻的坐法有多少种?

（3）4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种？

2•有6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个，现从中取出4个球排成一列，共有多少种不同的排法？

3•求（12x）5（13x）4展开式中按x的降幕排列的前两项

4•用二次项定理证明C2n28n9能被64整除nN

5.求证：

Cn02Cn2L（n1）Cnn2nn2n1

6.

（1）若（1x）n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n；

⑵已知（ax1）7（a0）的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,求

a;

⑶已知（2xxlgx）8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于1120,求x.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

&

1.

2.

3.

4.

5.

6.

参考答案

计数原理［基础训练A组］

选择题

B每个小球都有4种可能的放法，即44464

1221C分两类：

（1）甲型1台，乙型2台：

C；C5；

（2）甲型2台，乙型1台：

C4C5

C：

C；C2c570

523523C不考虑限制条件有A，若甲，乙两人都站中间有A3Ag，AA3A3为所求

B不考虑限制条件有A，若a偏偏要当副组长有a4，A；2Ai16为所求

B设男学生有x人，则女学生有8x人，则C；C；A90,

即x（x1）（8x）

30

35,x3

Tr1C8r（|）8r（

1

1o8r_r

（1）q8cx3

（1）r（i）8

8!

rrC；x3

6,T7

1）6（y

6C：

5

（12x）（2x）

5

2（12x）x（1

2x）5

33

...2C5（2x）

22

xC5（2x）

（4C516C；）x3

3

120x3

只有第六项二项式系数最大，则n

10，

Tr1

5

Gr0（、&）10r（$）r2rC；x5^r，令

x

0,r

2,T34G2。

180

填空题

（1）10

34

C510；

（2）5C5

5；（3）14

c；

c：

14

8640

先排女生有"，再排男生有

A4，共有A4A4

8640

480

840

4800既不能排首位，也不能排在末尾，即有a1，其余的有A，共有a1A

1890Tr1Gr0x10r（.3）r，令10r6,r4兀9。

依61890x6

15304r1r115/2、151530

4,C20xC20C20,4r1r120,r4,T16C20（x）C20x

840先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有A，其余的A，共有AA

7.2当x0时，有A：

24个四位数，每个四位数的数字之和为145x

24（145x）288,x2；当x0时，288不能被10整除，即无解

&11040不考虑0的特殊情况，有C；c2a512000,若0在首位，则C；c4a：

960,

325314

C5C5A5C5C4A41200096011040

三、解答题

1.解：

（1）①是排列问题，共通了A21110封信；②是组合问题，共握手C12155次。

（2）①是排列问题，共有A：

90种选法；②是组合问题，共有C；045种选法。

22

（3）①是排列问题，共有a56个商；②是组合问题，共有C828个积。

....66

2.解：

（1）甲固定不动，其余有A720，即共有A720种；

（2）甲有中间5个位置供选择，有A，其余有A720，即共有A5A63600种;

（3）先排甲、乙、丙三人，有A3，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当

于5人的全排列，即A，则共有A^A；720种；

（4）从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有A2，甲、乙可以交换有A,

把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于4人的全排列，

224

则共有氏AA960种；

（5）先排甲、乙、丙之外的四人，有A4，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排

334

这五个空位，有A5，则共有A5A41440种；

（6）不考虑限制条件有A；,甲在乙的左边（不一定相邻），占总数的一半，

1

即-A2520种；

2

（7）先在7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有A；，留下三个空位，甲、乙、

丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即A840

（8）不考虑限制条件有A；,而甲排头有A，乙排当中有A5,这样重复了甲排头，

乙排当中A；—次，即A2A：

A3720

2x14

3•解：

（1）A：

xi140aJ

（2x1）2x（2x1）（2x2）140x（x1）（x2）

1C；1c：

c；

C：

C；

（2x1）（2x1）35（x2）

x

3

x

N

4x2

35x

69

o

4.解:

8

n721r,81rrr163r

22128,n8,x的通项Tr1C8（x）（）

（1）C8x

xx

2

3,n

Cn2Cn,n

当r4时，展开式中的系数最大，即

4

T570x为展开式中的系数最大的项;

当r3,或5时，展开式中的系数最小，即T256x7,T656x为展开式中

的系数最小的项。

5•解：

（1）由已知得C：

C；n7

（2）由已知得C1

Cn5

128,2n

128,n8，而展开式中二项式

6•解:

设f（x）（2、.3x）50，令x1，得3oa1a2La^（23）50

令x1，得aoa1a2La5o（2.3）50

22

（a°a?

84L850）佝a3a5L849）

系数最大项是t41

C；（x.x）4（[）

x

（a。

3]a2L

aso）（ao3132L350）（2-3）50（2.3）50

70x4Vx2。

［综合训练B组］

一、选择题

1.C个位a2，万位a3,其余A；,共计a'2a3A336

2.D相当于3个元素排10个位置，A3）720

3.B从55n到69n共计有15个正整数，即a6<5n

4.

从c,d,e,f中选2个，有C］，把a,b看成一个整体，则

3个元素全排列，A

5.

6.

7.

共计c2A36

1

先从5双鞋中任取1双，有C5，再从8只鞋中任取2只,

4种成双的情况，即Cf4，则共计C5（C|4）

T8c20（、、3i）3（x）7360.3ix7，系数为360.3i

TriC2rn（2X）2nr（£）r22化2.严「

2x

，令2n

120

2r

则22C；n2224,C2n256,n4，再令

82r

2,r

31010

（1x）（1x）（1x）

x3（1x）10

（C10C10）x

二、填空题

1.

2n

每个人都有通过或不通过

2种可能，共计有22...

2.

60

四个整数和为奇数分两类:

奇三偶或三奇一偶，即

3.

23

c3c；a；i

23，其中

（1,1）重复了一次

4.

n1,k2

5.

51

（x2）

x

5

的通项为

C5rX5r

2r

2

即C8

2,r

5,T6

，但需要排除

C8x

4

207x5

2（n个2）2n

c©c5c2

60

515rr1

C'（x-）5r

（1）r,其中（x-）

x

，所以通项为（i）rc；c；rx5r2r,

1时，r2，得常数为30；当r

3时，r

r的通项为

2r0

14

~2

x

1，得常数为20；

当r5时，r0,得常数为1；30（20）

（1）51

3241

6.41863件次品，或4件次品，C4C46C4C464186

56

7.15原式（X1）[1（X"]（x1）（x1）,（X1）6中含有x4的项是

1（X1）X

24243

C6X

（1）15x，所以展开式中的X3的系数是15

&105直接法：

分三类，在4个偶数中分别选2个，3个，4个偶数，其余选奇数,

2332415541

C4C5C4C5C4C5105；间接法：

C9C5C5C4105

三、解答题

1•解：

AUB中有元素710413

333

C13C6C3286201265。

2.解：

⑴原式（C100九）A01C101Ama；Am1A,6。

（2）原式C；C；C：

C：

C；LC：

1c10C1：

330。

c5LC10

原式C：

c3C53L

C10

C4

C6

C3

C6

LC10

L

C；0

Cf0C^330

（3）

原式

m

Cn

m

Cn

1m1

Cn

1

m1

Cn

m1

Cn

1

m

Cn

m

Cn

m

Cn

m

Cn

3.证明：

左边

n!

mn!

（n

m

1）n!

m

n!

（n

m）!

（n

m1）!

（n

m1）!

另一方法:

严昭右边

所以等式成立。

20

4•解：

（X丄2）3（1的，在（1|x）6中,|x3的系数c；

（1）3XX

就是展开式中的常数项。

另一方法：

原式丽击J，T4c；

（1）320

5.解：

抛物线经过原点，得C0,

当顶点在第一象限时，a0,—0,即a0，则有c3c4种;

2ab0

当顶点在第三象限时，a0,—0,即卩a0，则有A种；

2ab0

112

共计有C3C4A424种。

6•解:

把4个人先排，有A4，且形成了5个缝隙位置，再把连续的3个空位和1个空位当成两个不冋的兀素去排5个缝隙位置，有A2，所以共计有A4A2480种。

［提高训练C组］

一、选择题

1.B

n!

小n!

6,n34,n7

（n3）!

（n4）!

4!

2.D

男生2人，女生3人，有c3°c2c；男生3人，女生2人，有c3oC；o

共计C30C20C30C20

3.A

甲得2本有C】，乙从余下的4本中取2本有C42，余下的C；，共计dd

4.B

含有10个元素的集合的全部子集数为S210，由3个元素组成的子集数

3TC1015

为1C10,10

S2128

5.A

22

（a°82a4）（a1a3）（a°a1a2a384）（a°a1a2a334）

（2、3）4（2,3）41

6.D

分三种情况：

（1）若仅T7系数最大，则共有13项，n12；

（2）若T7与T6系数相等且最大，则共有12项，n11;（3）若T7与T8系数相等且最大，则共有14叽n13，所以n的值可能等于11,12,13

7.D

1c2

四个点分两类：

（1）三个与一个，有C4;

（2）平均分二个与二个，有—

2

C2

共计有c4幺7

2

&D

复数abi,（a,bR）为虚数，则a有10种可能，b有9种可能，共计90种可能

1.9

分三类：

第一

格填

2,

则第二格有

第

•格填

3,

则第三格有

第

•格填

4,

则第撕格有

共计有3A3

9

2.165

C12

165

、填空题

A；，第三、四格自动对号入座，不能自由排列;

"1

A3,第一、四格自动对号入座，不能自由排列；

A3，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；

3.180,30a0,C；C6C5180；b0,A；30

4.4TriC9（a）9r（X）r（仃（¥）冷91令号93,r8

xV222

（1）8「2）8aC8—a9,a4

2164

5.13

CfCf

Cs

Lc23631,c3

C42

C5LC：

364

C；

C52L

Cn