计数原理题型练习.docx

1、计数原理题型练习a；a3a4. a,b,c,d,e共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a不能当副组长,计数原理基础训练A组一、选择题1将3个不同的小球放入 4个盒子中，则不同放法种数有（ ）A. 81 B 64 C 12 D 142从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出 3台，其中至少有甲型与乙型电视机 各1台，则不同的取法共有（ ）A. 140种 B. 84种 C. 70 种 D. 35种3. 5个人排成一排，其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有（ ）A. A B . 4A33 C . A A2 A3 D不同的选法总数是（ ）A. 20 B . 16 C . 10 D . 65.现有男

2、、女学生共 8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、 物理、化学三科竞赛，共有 90种不同方案，那么男、女生人数分别是（ ）D.男生6人，女生2人.A.男生2人，女生6人 B .男生3人，女生5人6 .在x18的展开式中的常数项是（ ）23 XA.7B .7C . 28 D . 287 .(12x)5(23X）的展开式中X的项的系数是（A.120B120 C . 100 D . 100C.男生5人，女生3人 2,则展开式中的常数项是（& ,x 4展开式中只有第六项二项式系数最大xA. 180 B . 90 C . 45 D . 360二、填空题1.从甲、乙，等 6人中选出4名代表，那

3、么（1）甲一定当选，共有 种选法.（2）甲一定不入选，共有 种选法.（3 ）甲、乙二人至少有一人当选，共有种选法.2. 4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法.3.由0,1,3,5,7,9这六个数字组成 个没有重复数字的六位奇数 .4在(X .、3)10的展开式中，X6的系数是 .5在(1 X2)20展开式中，如果第 4r项和第r 2项的二项式系数相等，则 r , T4r .6在1,2,3,.,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，这样的四位数有 个？7 用1,4,5, x四个不同数字组成四位数 ，所有这些四位数中的数字的总和为 288 ,则x .

4、&从1,3,5,7,9中任取三个数字，从 0,2,4,6,8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，共有 个？三、解答题1 判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果(1)高三年级学生会有11人：每两人互通一封信， 共通了多少封信？每两人互握了一次手，共握了多少次手？(2) 高二年级数学课外小组 10人：从中选一名正组长和一名副组长， 共有多少种不同的 选法？从中选2名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？(3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数：从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的 商？从中任取两个求它的积，可以得到多少个不同的积？2. 7个排成一排，在下列情况下，

5、各有多少种不同排法?(1 )甲排头，(2 )甲不排头，也不排尾,(3 )甲、乙、丙三人必须在一起,(4 )甲、乙之间有且只有两人，(5 )甲、乙、丙三人两两不相邻,(6)甲在乙的左边(不一定相邻)(7 )甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序,(8 )甲不排头，乙不排当中。3解方程(1)A：x 140A；; Cnn3n 1 nCn 1 Cn 1cnn2 1 74已知x2 展开式中的二项式系数的和比 (3a 2b)7展开式的二项式系数的和大xn求X2 1 展开式中的系数最大的项和系数量小的项5.(1)在(1+x)n的展开式中，若第 3项与第6项系数相等，且n等于多少?(2)13xn的展开式奇数

6、项的二项式系数之和为128，则求展开式中二项式系数最大项。6 .已知(2 、3x)50 a0 ax a2x2 L50a5ox ,其中ao,ai,a2L 45。是常数，计算2(a。 82 a4 L 350) (ai a3 a5 La49)综合训练B组一、选择题1由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数, 其中小于50000的偶数共有（ ）A.60个 B 48个C.36个 D 24个2 3张不同的电影票全部分给 10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是（）A.1260 B 120C.240 D 7203 n N且n55,则乘积(55 n)(56 n)L (69n）等于4从字母a,b,c

7、,d,e, f中选出4个数字排成一列，其中一定要选出并且必须相邻（a在b的前面），共有排列方法（ ）种A. 36 B 72C. 90 D 1445从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为（A. 120 B . 240C. 280 D . 606把（、3i x）10把二项式定理展开，展开式的第 8项的系数是（A. 135 B 135C. 360 .3i D 360、3i2x12x2n的展开式中,x2的系数是224 ,1则三的系数是（ ）xA.14 B28C.56D 112&在(13 x10）（1 x）的展开中A.297B252C.297D 207x5的系数是（ ）、填空题1. n

8、个人参加某项资格考试，能否通过，有 种可能的结果？2以1,2,3L ,9这几个数中任取4个数，使它们的和为奇数，则共有 种不同取法3已知集合S 1,0,1 , P 1,2,3,4 ,从集合S, P中各取一个元素作为点的坐标 ，可作出不同的点共有 个4.n,k N 且 n k,若。爲：碟人 1:2:3,则 n k .515.x 1展开式中的常数项有X6. 在50件产品n中有4件是次品，从中任意抽了 5件，至少有3件是次品的抽法共有 种(用数字作答)7. (X 1) (X 1)2 (X 1)3 (X 1)4 (X 1)5的展开式中的X3的系数是 & A 1,2,3,4,5,6,7,8,9 ，则含有

9、五个元素，且其中至少有两个偶数的子集个数为 .三、解答题1.集合A中有7个元素，集合B中有10个元素，集合AI B中有4个元素，集合C满足(1) C 有 3 个元素； (2) cM AU B(3) C I B ， C I A 求这样的集合 C的集合个数2.计算：(1) C00 Cw；A301 ；(2) C； C43 L G3。.C：icm3.证明:m m 1 mAn mAn An 1.4求(x32）展开式中的常数项。5.从 3, 2, 1,0,1,2,3,4中任选三个不同元素作为二次函数 y ax2 bx c的系数，问能组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线 ？6.8张椅子

10、排成，有4个人就座，每人1个座位，恰有3个连续空位的坐法共有多少种提高训练C组、选择题1.若A；46C；，则n的值为（ ）6 B .某班有7 C. 8 D .30名男生，A.2 .其中男、女学生均不少于930名女生，现要从中选出 5人组成一个宣传小组,2人的选法为（ ）A.2 2 1C30 C20 C46555C50 C30 C20C.c50 c3oC20 C34oC20C30C20 c30c；。3.6本不同的书分给甲、乙、丙三人，每人两本，不同的分法种数是（A.2 2C6C4B.连 C. 6A3 D.A3C34.设含有10个元素的集合的全部子集数为则T的值为（S组成的子集数为T,A.C.20

11、128J612815128211285.若（2x23ix a?x a3xS，其中由3个元素4a4x ,则（a。a22 2a4）（印a3）的值为（A. 1C. 06.在(xy)n的展开式中，若第七项系数最大，则 n的值可能等于（A. 13,14B . 14,15C. 12,13D . 11,12,137.不共面的四个定点到平面A .C.&由0,1,2,3,.,9十个数码和一个虚数单位 i可以组成虚数的个数为（的距离都相等，这样的平面 共有（.4个.7个A. 100 B . 10C. 9 D . 90二、填空题1 .将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里，每格填一个数字，则每个方

12、格的标号与所填的数字均不同的填法有 种？2 在 AOB的边OA上有5个点，边0B上有6个点，加上 0点共个点，以这12个点为 顶点的三角形有 个3从0,1,2,3,4,5,6这七个数字中任取三个不同数字作为二次函数 y ax2 bx c的系数a,b,c则可组成不同的函数 个,其中以y轴作为该函数的图像的对称轴的函数有 4若 a x 的展开式中x3的系数为9，则常数a的值为x V2 45若 C； C： Cf L Cn2 363,则自然数 n 6.cmiCf10C7m ,则7. 0.9915的近似值(精确到 0.001 )是多少？7 2&已知(1 2x) a。 a-i a2x L a7x7 ,那么

13、 a1 a2 L a7 等于多少？三、解答题1. 6个人坐在一排10个座位上，问(1)空位不相邻的坐法有多少种 ?(2) 4个空位只有3个相邻的坐法有多少种 ?(3) 4个空位至多有2个相邻的坐法有多少种 ？2 有6个球,其中3个黑球,红、白、蓝球各1个，现从中取出 4个球排成一列，共有多少 种不同的排法？3求(1 2x)5(1 3x)4展开式中按x的降幕排列的前两项4用二次项定理证明 C2n 2 8n 9能被64整除n N5.求证：Cn0 2Cn2 L (n 1)Cnn 2n n 2n 16. (1)若(1 x)n的展开式中，x3的系数是x的系数的7倍，求n ； 已知(ax 1)7(a 0)

14、的展开式中,x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项,求a; 已知(2x xlgx)8的展开式中，二项式系数最大的项的值等于 1120,求x .1.2.3.4.5.6.7.&1.2.3.4.5.6.参考答案计数原理基础训练A组选择题B 每个小球都有4种可能的放法，即 4 4 4 6412 2 1 C 分两类：(1)甲型1台，乙型2台：C；C5 ；( 2)甲型2台，乙型1台：C4C5C：C； C2c5 70 5 2 3 5 2 3 C 不考虑限制条件有 A，若甲，乙两人都站中间有 A3 Ag， A A3 A3为所求B 不考虑限制条件有 A，若a偏偏要当副组长有 a4，A；2 Ai 16为所求

15、B 设男学生有x人，则女学生有8 x人，则C；C； A 90,即 x(x 1)(8 x)303 5,x 3Tr1 C8r(|)8r(11 o 8 r _r(1)q8cx 3(1)r(i)88 !r rC；x 36,T71)6(y6C：5(1 2x) (2 x)52(1 2x) x(12x)53 3. 2C5( 2x)2 2xC5( 2x)(4C5 16C；)x33120x3只有第六项二项式系数最大，则 n10，Tr 15Gr0(、&)10r($)r 2rC；x5r，令x0,r2,T3 4G2。180填空题(1) 103 4C5 10 ；( 2) 5 C55 ；( 3)14c；c：148640先

16、排女生有，再排男生有A4，共有 A4 A48640480840480 0既不能排首位，也不能排在末尾，即有 a1，其余的有 A，共有a1 A1890 Tr 1 Gr0x10r( . 3)r，令 10 r 6, r 4兀 9。依6 1890x615 30 4r 1 r 1 15 / 2、15 15 304, C20x C20 C20 ,4r 1 r 1 20, r 4,T16 C20 ( x ) C20x840先排首末，从五个奇数中任取两个来排列有 A，其余的A，共有A A7. 2 当x 0时，有A： 24个四位数，每个四位数的数字之和为 1 4 5 x24(1 4 5 x) 288, x 2

17、；当x 0时，288不能被10整除，即无解& 11040 不考虑0的特殊情况，有 C；c2a5 12000,若0在首位，则C；c4a： 960,3 2 5 3 14C5C5A5 C5C4A4 12000 960 11040三、解答题1. 解：(1)是排列问题，共通了 A21 110封信；是组合问题，共握手 C121 55次。(2) 是排列问题，共有 A： 90种选法；是组合问题，共有 C；0 45种选法。22(3) 是排列问题，共有 a 56个商；是组合问题，共有 C8 28个积。. 6 62. 解：(1)甲固定不动，其余有 A 720，即共有 A 720种；(2) 甲有中间5个位置供选择，有

18、 A，其余有A 720，即共有A5A6 3600种;(3)先排甲、乙、丙三人，有 A3，再把该三人当成一个整体，再加上另四人，相当于5人的全排列，即 A，则共有AA； 720种；(4) 从甲、乙之外的5人中选2个人排甲、乙之间，有 A2，甲、乙可以交换有 A,把该四人当成一个整体，再加上另三人，相当于 4人的全排列，2 2 4则共有氏AA 960种；(5) 先排甲、乙、丙之外的四人，有 A4，四人形成五个空位，甲、乙、丙三人排33 4这五个空位，有 A5，则共有A5 A4 1440种；(6) 不考虑限制条件有 A；,甲在乙的左边(不一定相邻)，占总数的一半，1即-A 2520种；2(7) 先在

19、7个位置上排甲、乙、丙之外的四人，有 A；，留下三个空位，甲、乙、丙三人按从高到矮，自左向右的顺序自动入列，不能乱排的，即 A 840(8) 不考虑限制条件有 A；,而甲排头有 A，乙排当中有 A5,这样重复了甲排头，乙排当中A； 次，即 A 2A： A 37202x 1 43解：(1)A：xi 140aJ(2x 1)2x(2x 1)(2x 2) 140x( x 1)(x 2)1 C；1 c：,c；C：C；(2x 1)(2x 1) 35(x 2)x3xN4x235x69o4.解:8n 7 2 1 r , 8 1 r r r 16 3r2 2 128, n 8, x 的通项 Tr1 C8(x )

20、 ( ) ( 1) C8xx x23,nCn 2 Cn , n当r 4时，展开式中的系数最大，即4T5 70x为展开式中的系数最大的项;当r 3,或5时，展开式中的系数最小，即 T2 56x7,T6 56x为展开式中的系数最小的项。5解：(1)由已知得C： C； n 7(2)由已知得C1Cn5128, 2n128,n 8，而展开式中二项式6解:设 f(x) (2 、.3x)50，令 x 1，得 3o a1 a2 L a (2 3)50令 x 1，得 ao a1 a2 L a5o (2 .3)502 2(a a? 84 L 850)佝 a3 a5 L 849)系数最大项是t4 1C；(x.x)4

21、()x(a。 3 a2 Laso)(ao 31 32 L 350) (2 -3)50 (2 .3)5070x4 Vx2。综合训练B组一、选择题1. C 个位a2，万位a3,其余A；,共计a2a3A3 362. D 相当于3个元素排10个位置，A3) 7203.B 从55 n到69 n共计有15个正整数，即 a65 n4.从c,d,e, f中选2个，有C，把a,b看成一个整体，则3个元素全排列，A5.6.7.共计c2 A 361先从5双鞋中任取1双，有C5，再从8只鞋中任取2只,4种成双的情况，即 Cf 4，则共计C5(C| 4)T8 c20(、3i)3( x)7 360. 3ix7，系数为 3

22、60 . 3iTri C2rn(2X)2nr()r 22化2.严2x，令2n1202r则 22C；n2 224,C2n2 56, n 4，再令8 2r2,r3 10 10(1 x )(1 x) (1 x)x3(1 x)10(C10 C10)x二、填空题1.2n每个人都有通过或不通过2种可能，共计有2 2 .2.60四个整数和为奇数分两类:奇三偶或三奇一偶，即3.23c3c；a； i23，其中(1,1)重复了一次4.n 1,k 25.51(x 2)x5的通项为C5 rX5 r2r2即C82,r5,T6，但需要排除C8x4207x52(n个 2) 2nc c5c2605 1 5 r r 1C(x

23、-)5 r( 1)r,其中(x -)x，所以通项为(i)rc；c；rx5 r 2r,1时，r 2，得常数为 30 ；当r3时，rr的通项为2r 0142x1，得常数为 20 ；当 r 5 时，r 0 ,得常数为 1； 30 ( 20) ( 1) 513 2 4 16. 4186 3件次品，或 4件次品，C4C46 C4C46 41865 67.15 原式(X 1)1(X (x 1) (x 1) ,(X 1)6中含有 x4 的项是1 (X 1) X2 4 2 4 3C6X ( 1) 15x，所以展开式中的X3的系数是15& 105 直接法：分三类，在 4个偶数中分别选 2个，3个，4个偶数，其余

24、选奇数,2 3 3 2 4 1 5541C4C5 C4C5 C4C5 105 ；间接法：C9 C5 C5C4 105三、解答题1解：AUB中有元素7 10 4 133 3 3C13 C6 C3 286 20 1 265。2.解：原式(C100 九)A01 C101 Am a； Am 1 A, 6。(2)原式 C； C； C： C： C； L C：1 c10 C1： 330 。c5 L C10原式 C： c3 C53 LC10C4C6C3C6L C10LC；0Cf0 C 330(3)原式mCnmCn1 m 1Cn1m 1Cnm 1Cn1mC nmCnmC nmCn3.证明：左边n!m n!(nm

25、1) n! mn!(nm)!(nm 1)!(nm 1)!另一方法:严昭右边所以等式成立。204解：(X 丄 2)3(1 的，在(1 |x)6 中, |x3 的系数 c；( 1)3 X X就是展开式中的常数项。另一方法：原式 丽击J，T4 c；( 1)3 205.解：抛物线经过原点，得 C 0 ,当顶点在第一象限时，a 0, 0,即a 0，则有c3c4种;2a b 0当顶点在第三象限时，a 0, 0, 即卩a 0，则有A种；2a b 01 1 2共计有C3C4 A4 24种。6解:把4个人先排，有 A4，且形成了 5个缝隙位置，再把连续的 3个空位和1个空位 当成两个不冋的兀素去排 5个缝隙位置

26、，有 A2，所以共计有 A4A2 480种。提高训练C组一、选择题1. Bn! 小 n!6 , n 3 4, n 7(n 3)! (n 4)! 4!2. D男生2人，女生3人，有c3c2c ；男生3人，女生2人，有c3oC；o共计 C30C20 C30C203. A甲得2本有C】，乙从余下的4本中取2本有C42，余下的C；，共计dd4. B含有10个元素的集合的全部子集数为 S 210，由3个元素组成的子集数3 T C10 15为 1 C10 , 10S 2 1285. A2 2(a 82 a4) (a1 a3) (a a1 a2 a3 84)( a a1 a2 a3 34)(2 、3)4 (

27、2 ,3)4 16. D分三种情况：(1)若仅T7系数最大，则共有13项，n 12 ； (2)若T7与T6系数相 等且最大，则共有12项，n 11; (3)若T7与T8系数相等且最大，则共有14叽 n 13，所以n的值可能等于11,12,137. D1 c2四个点分两类：(1)三个与一个，有 C4 ; (2)平均分二个与二个，有 2C 2共计有c4幺72& D复数a bi,(a,b R)为虚数，则a有10种可能，b有9种可能，共计90种可能1. 9分三类：第一格填2 ,则第二格有第格填3 ,则第三格有第格填4 ,则第撕格有共计有3A392. 165C12165、填空题A；，第三、四格自动对号入座，不能自由排列;1A3,第一、四格自动对号入座，不能自由排列；A3，第二、三格自动对号入座，不能自由排列；3.180,30 a 0, C；C6C5 180 ； b 0,A； 304.4 Tr i C9(a)9r( X)r (仃()冷9 1 令号 9 3,r 8x V2 2 2(1)82)8aC8 a 9,a 42 16 45. 13Cf CfCsL c2 363 1,c3C42C5 L C： 364C；C52 LCn