初二数学寒假补习资料一元二次方程.docx

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初二数学寒假补习资料一元二次方程

一元二次方程

知识管理

一元二次方程的识别方法：

①整式方程；②只含一个未知数；③未知数的最高次数是2.

1.ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方程，但b，c可以是0.

2.将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．

3.指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指出某项系数时应连同它前面的符号一起.

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．

判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：

将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．

【例1】下列方程：

①x2＋y－6＝0；②

；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；⑤2x2－3x＝2（x2－2），

是一元二次方程的有（　　）

A．1个　　B.2个　　C．3个　　D．4个

2.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是（　　）

A．ax2＋bx＋c＝0B．x2＋3－x2＝0

C．x2＋

＝2D．x2－x－1＝0

3.若关于x的方程（a－2）x2－2ax＋a＋2＝0是一元二次方程，则（　　）

A．a＝2　B．a＝－2　C．a＝0　D．a≠2

【例2】将方程3x（x－1）＝5（x＋2）化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．

2.把方程x（x＋2）＝5（x－2）化成一般形式，则a，b，c的值分别是（　　）

A．1，－3，10B．1，7，－10

C．1，－5，12D．1，3，2

【例3】下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？

－3，－2，－1，0，1，2，3

2.一元二次方程x2－3x＝0的根是（　　）

A．x1＝0，x2＝－3B．x1＝1，x2＝3

C．x1＝1，x2＝－3D．x1＝0，x2＝3

3.已知关于x的一元二次方程2x2－3mx－5＝0的一个根是－1，则m＝________．

解一元二次方程

直接开平方法解方程

一般地，对于方程x2＝p（Ⅰ）

（1）当p>0时，根据平方根的意义，方程（Ⅰ）有两个不等的实数根x1＝－

，x2＝

；

（2）当p＝0时，方程（Ⅰ）有两个相等的实数根x1＝x2＝0；

（3）当p<0时，因为对任意实数x，都有x2≥0，所以方程（Ⅰ）无实数根．

用直接开平方法解一元二次方程时，首先将方程化成左边是含有未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，然后根据平方根的定义求解．当整理后右边为0时，方程有两个相等的实数根．

实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个一元一次方程，这样就把方程转化为我们会解的方程了．

【例1】用直接开平方法解下列方程．

（1）x2－81＝0；

（2）4x2－64＝0

1.方程x2＝2的解是________．

2.若方程x2＝m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的（　　）

A．1B．4C.

D.

3.已知一元二次方程mx2＋n＝0（m≠0，n≠0），若方程有解，则必须满足（　　）

A．n＝0B．m，n异号

C．n是m的整数倍D．m，n同号

【例2】用直接开平方法解下列方程．

（1）（x－3）2＝25；

（2）（2y－3）2＝16.

1.已知b＜0，关于x的一元二次方程（x－1）2＝b的根的情况是（　　）

A．有两个不相等的实数根

B．有两个相等的实数根

C．没有实数根

D．有两个实数根

2.一元二次方程（x＋6）2＝16可化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x＋6＝4，则另一个一元一次方程是（　　）

A．x－6＝4B．x－6＝－4

C．x＋6＝4D．x＋6＝－4

3.一元二次方程（x－2）2＝1的根是（　　）

A．x＝3B．x1＝3，x2＝－3

C．x1＝3，x2＝1D．x1＝1，x2＝－3

配方法

知识管理

1.当二次项系数为1时，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍．注意有两个．

2.当二次项系数不为1时，则先化二次项系数为1，然后再配方．

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法．可以看出，配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来解．

—般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成（x＋n）2＝p（Ⅱ）的形式，那么就有：

（1）当p>0时，方程（Ⅱ）有两个不等的实数根.

（2）当p＝0时，方程（Ⅱ）有两个相等的实数根x1＝x2＝－n；

（3）当p<0时，因为对任意实数x，都有（x＋n）2≥0，所以方程（Ⅱ）无实数根．

【例1】填空：

（1）x2＋10x＋____＝（x＋____）2；

（2）x2－12x＋____＝（x－____）2；

（3）x2＋5x＋____＝（x＋____）2；

（4）x2－

x＋____＝（x－____）2.

2.将代数式a2＋4a－5变形，结果正确的是（　　）

A．（a＋2）2－1B．（a＋2）2－5

C．（a＋2）2＋4D．（a＋2）2－9

【例2】解下列方程．

（1）x2－8x＋1＝0；　　

（2）2x2＋1＝3x.

1.用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加上4的是（　　）

A．x2＋4x＝5B．2x2－4x＝5

C．x2－8x＝5D．x2＋8x＝5

2.用配方法解一元二次方程x2－6x－7＝0，下列变形正确的是（　　）

A．（x－6）2＝－7＋36B．（x－6）2＝7＋36

C．（x－3）2＝－7＋9D．（x－3）2＝7＋9

公式法

知识管理

1.解一个具体的一元二次方程时，把各系数直接代入求根公式，可以避免配方过程而直接得出根，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．

2.一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b2－4ac.

3.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根有三种情况：

当Δ>0时，方程有两个不等的实数根；

当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；

当Δ<0时，方程无实数根．

4.求根公式的定义：

当Δ≥0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的实数根可写为

的形式，这个式子叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式．求根公式表达了用配方法解一般的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的结果.

5.用公式法解一元二次方程时，应首先将方程化为一般形式，然后确定二次项系数、一次项系数及常数项，在确定了a，b，c后，先计算b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，再用求根公式解．

6.用公式法解一元二次方程的“四个步骤”：

（1）把一元二次方程化为一般形式．

（2）确定a，b，c的值．

（3）计算b2－4ac的值．

（4）当b2－4ac≥0时，把a，b，c的值代入求根公式，求出方程的两个实数根；当b2－4ac<0时，方程无实数根．

【例1】1.方程3x2－x＝4化为一般形式后的a，b，c的值分别为（　　）

A．－1、3、－4B．3、－1、－4

C．3、－4、－1D．3、1、4

2.一元二次方程

中，b2－4ac的值应是（　　）

A．32B．－32

C．64D．－64

【例2】用公式法解下列方程：

（1）x2－4x－7＝0；

（2）2x2－

＋1＝0；

（3）5x2－3x＝x＋1.

因式分解法

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1.因式分解法的依据：

如果a·b=0,那么a=0或b=0．先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法．

2.解一元二次方程的方法：

直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．其中配方法和公式法适合于所有一元二次方程，直接开方法适合于某些特殊方程.

3.解一元二次方程的基本思路是：

将二次方程化为一次方程，即降次．

4.解一元二次方程方法的选择顺序：

先特殊后一般，即先考虑直接开平方法和因式分解法，不能用这两种方法时，再用公式法；没有特殊要求的，一般不用配方法．

5.在没有规定方法的前提下解一元二次方程，首先考虑用因式分解法，其次考虑用公式法．对于系数较大时，一般不适宜用公式法，如果一次项系数是偶数，可选用配方法.

【例1】1.用因式分解法解方程，下列过程正确的是（　　）

A．（2x－3）（3x－4）＝0化为2x－3＝0或3x－4＝0

B．（x＋3）（x－1）＝1化为x＋3＝0或x－1＝1

C．（x－3）（x－4）＝3×4化为x－3＝3或x－4＝4

D．x（x＋2）＝0化为x＋2＝0

2.方程（x－2）（x＋3）＝0的解是（　　）

A．x＝2B．x＝－3　　　

C．x1＝－2，x2＝3D．x1＝2，x2＝－3

【例2】1.解下列方程：

x（x－2）＋x－2＝0；

2.已知等腰三角形的腰和底的长分别是一元二次方程x2－4x＋3＝0的根，则该三角形的周长可以是（　　）

A．3B．4C．5D．7

3.菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长为方程y2－7y＋10＝0的一个根，则菱形ABCD的周长为（　　）

A．7　　　B．8　　　

C．10　　　D．20

【例3】用适当的方法解下列一元二次方程：

（1）x2－3x－4＝0；

（2）2x2－7x－6＝0；

（3）（x－1）2－2（x－1）＝0.

一元二次方程的根与系数的关系

知识管理

1.方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：

这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：

，

。

两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比．

2.已知方程的一根求另一根，可以直接代入先求方程中待定字母的值，然后再解方程求另一根．也可以直接利用根与系数的关系求另一根及待定字母的值．

3.已知方程两根的关系求待定字母系数的值时，先根据根与系数的关系用待定的字母表示两根之和与两根之积，然后将已知两根的关系进行变形，再将两根的和与积整体代入，列出以待定字母为未知数的方程，进而求出待定字母的值．

【例1】1.根据一元二次方程的根与系数的关系，求下列方程两个根x1，x2的和与积：

（1）x2－5x－12＝0

（2）3x2＋7x－9＝0；

（3）5x－1＝4x2.

1.一元二次方程x2＋8x－6＝0的两根为x1，x2，则x1·x2的值是（　　）

A．8　　　B．－8　　　C．6　　D．－6

2.已知x1，x2是一元二次方程x2－3x＝0的两根，则x1＋x2的值是（　　）

A．0　　　B．3C．－3D．6

【例2】已知关于x的方程x2－6x＋p2－2p＋5＝0的一个根是2，求方程的另一个根和p的值．

1.已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两实数根分别为x1＝－3，x2＝5，则m＋n的值是（　　）

A．－8　　　B．8　　　C．－13　　　D．13

2.若关于x的方程x2＋4x＋a＝0有一个根为－1，则另一个根为（　　）

A．－3　　　B．3　　　C．5　　　D．－5

【例3】1.方程x2＋2kx＋k2－2k＋1＝0的两个实数根x1，x2满足x12＋x22＝4，则k的值为________．

2.若关于x的一元二次方程x2＋kx＋4k2－3＝0的两个实数根分别是x1，x2，且满足x1＋x2＝x1x2，则k的值为（　　）

A．－1或

　　B．－1　　C.