版高中数学苏教版必修一学案221 函数的单调性二.docx

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版高中数学苏教版必修一学案221函数的单调性二

2.2.1 函数的单调性

(二)

学习目标

 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.会借助单调性求最值.3.掌握求二次函数在闭区间上的最值.

知识点一 函数的最大(小)值

思考 在如图表示的函数中,最大的函数值和最小的函数值分别是多少?

1为什么不是最小值?

 

 

 

梳理 设y=f(x)的定义域为A.

如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≤f(x0),那么称f(x0)为y=f(x)的最大值,记为ymax=f(x0).

如果存在x0∈A,使得对于任意的x∈A,都有f(x)≥f(x0),那么称f(x0)为y=f(x)的最小值,记为ymin=f(x0).

知识点二 函数的最大(小)值的几何意义

思考 函数y=x2,x∈[-1,1]的图象如下:

试指出函数的最大值、最小值和相应的x的值.

 

 

梳理 函数最大值对应图象中的最高点,最小值对应图象中的最低点.

知识点三 函数的单调性与最值

若函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调增函数,则函数的最小值为ymin=f(a),最大值为ymax=f(b);若函数y=f(x)在区间[a,b]上是单调减函数,则函数的最小值为ymin=f(b),最大值为ymax=f(a).即单调函数在闭区间上必有最大值、最小值.

类型一 借助单调性求最值

例1 已知函数f(x)=

(x>0),求函数的最大值和最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

反思与感悟 

(1)若函数y=f(x)在区间[a,b]上为单调增函数,则f(x)的最大值为f(b),最小值为f(a).

(2)若函数y=f(x)在区间[a,b]上为单调减函数,则f(x)的最大值为f(a),最小值为f(b).

(3)若函数y=f(x)有多个单调区间,那就先求出各区间上的最值,再从各区间的最值中决出最大(小).函数的最大(小)值是整个值域范围内最大(小)的.

(4)如果函数定义域为开区间,则不但要考虑函数在该区间上的单调性,还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.

跟踪训练1 已知函数f(x)=|x+1|+|x-1|.

(1)画出f(x)的图象;

(2)根据图象写出f(x)的最小值.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

类型二 求二次函数的最值

例2 

(1)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[0,2],求函数f(x)的最值;

(2)已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最值;

(3)已知函数f(x)=x-2

-3,求函数f(x)的最值;

(4)“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度hm与时间ts之间的关系为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?

这时距地面的高度是多少(精确到1m)?

 

 

 

 

反思与感悟 

(1)二次函数在指定区间上的最值与二次函数的开口、对称轴有关,求解时要注意这两个因素.

(2)图象直观,便于分析、理解;配方法说理更严谨,一般用于解答题.

跟踪训练2 

(1)已知函数f(x)=x4-2x2-3,求函数f(x)的最值;

(2)求二次函数f(x)=x2-2ax+2在[2,4]上的最小值;

 

 

 

 

 

(3)如图,某地要修建一个圆形的喷水池,水流在各个方向上以相同的抛物线路径落下,以水池的中央为坐标原点,水平方向为x轴、竖直方向为y轴建立平面直角坐标系.那么水流喷出的高度h(单位:

m)与水平距离x(单位:

m)之间的函数关系式为h=-x2+2x+

,x∈[0,

],求水流喷出的高度h的最大值是多少?

 

 

 

 

 

 

类型三 函数最值的应用

例3 已知x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,求实数a的取值范围.

引申探究 

若将本例中“x∈(0,+∞)”改为“x∈(

,+∞)”,再求a的取值范围.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

反思与感悟 恒成立的不等式问题,任意x∈D,f(x)>a恒成立,一般转化为最值问题:

f(x)min>a来解决.任意x∈D,f(x)

跟踪训练3 已知ax2+x≤1对任意x∈(0,1]恒成立,求实数a的取值范围.

 

 

 

 

1.函数y=-x+1在区间[

,2]上的最大值是________.

2.函数f(x)=

在[1,+∞)上的最大值为________.

3.函数f(x)=x2,x∈[-2,1]的最大值,最小值分别为________.

4.已知函数f(x)=

则f(x)的最大值,最小值分别为________.

5.若不等式-x+a+1≥0对一切x∈(0,

]恒成立,则a的最小值为________.

1.函数的最值与值域、单调性之间的联系

(1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y=

.如果有最值,则最值一定是值域中的一个元素.

(2)若函数f(x)在闭区间[a,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得.即最大值是f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a).

2.二次函数在闭区间上的最值

探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出y=f(x)的草图,然后根据图象的增减性进行研究.特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据,并且最大(小)值不一定在顶点处取得.

答案精析

问题导学

知识点一

思考 最大的函数值为4,最小的函数值为2.1没有A中的元素与之对应,不是函数值.

知识点二

思考 x=±1时,y有最大值1,对应的点是图象中的最高点,x=0时,y有最小值0,对应的点为图象中的最低点.

题型探究

例1 解 设x1,x2是区间(0,+∞)上的任意两个实数,且x1

则f(x1)-f(x2)=

.

当x10,x1x2-1<0,

f(x1)-f(x2)<0,f(x1)

∴f(x)在(0,1]上为单调增函数;

当1≤x10,x1x2-1>0,

f(x1)-f(x2)>0,f(x1)>f(x2),

∴f(x)在[1,+∞)上为单调减函数.

∴f(x)max=f

(1)=

,无最小值.

跟踪训练1 解 

(1)f(x)的图象如图.

(2)由图知,f(x)在(-∞,-1]上为单调减函数,在[-1,1]上为常函数,在[1,+∞)上为单调增函数,

∴f(x)min=2.

例2 解 

(1)∵函数f(x)=x2-2x-3开口向上,对称轴x=1,

∴f(x)在[0,1]上为单调减函数,在[1,2]上为单调增函数,且f(0)=f

(2).

∴f(x)max=f(0)=f

(2)=-3,

f(x)min=f

(1)=-4.

(2)∵对称轴x=1,

①当1≥t+2即t≤-1时,

f(x)max=f(t)=t2-2t-3,

f(x)min=f(t+2)=t2+2t-3.

②当

≤1

f(x)max=f(t)=t2-2t-3,

f(x)min=f

(1)=-4.

③当t≤1<

,即0

f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3,

f(x)min=f

(1)=-4.

④当11时,

f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3,

f(x)min=f(t)=t2-2t-3.

设函数最大值为g(t),最小值为φ(t),则有

g(t)=

φ(t)=

(3)设

=t(t≥0),则x-2

-3=t2-2t-3.

(1)知y=t2-2t-3(t≥0)在[0,1]上为单调减函数,在[1,+∞)上为单调增函数.

∴当t=1即x=1时,f(x)min=-4,无最大值.

(4)作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如图).显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.

由二次函数的知识,对于函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:

当t=-

=1.5时,函数有最大值h=

≈29.

于是,烟花冲出后1.5s是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约为29m.

跟踪训练2 解 

(1)设x2=t(t≥0),则x4-2x2-3=t2-2t-3.

y=t2-2t-3(t≥0)在[0,1]上为单调减函数,在[1,+∞)上为单调增函数.

∴当t=1即x=±1时,f(x)min=-4,无最大值.

(2)∵函数图象的对称轴是x=a,

∴当a<2时,f(x)在[2,4]上是单调增函数,

∴f(x)min=f

(2)=6-4a.

当a>4时,f(x)在[2,4]上是单调减函数,

∴f(x)min=f(4)=18-8a.

当2≤a≤4时,f(x)min=f(a)=2-a2.

∴f(x)min=

(3)由函数h=-x2+2x+

,x∈[0,

]的图象可知,函数图象的顶点就是水流喷出的最高点.此时函数取得最大值.

对于函数h=-x2+2x+

,x∈[0,

],

当x=1时,函数有最大值

hmax=-12+2×1+

.

于是水流喷出的最高高度是

m.

例3 解 方法一 令y=x2-x+a,

要使x2-x+a>0对任意x∈(0,+∞)恒成立,只需ymin=

>0,解得a>

.

∴实数a的取值范围是(

,+∞).

方法二 x2-x+a>0可化为a>-x2+x.

要使a>-x2+x对任意x∈(0,+∞)恒成立,

只需a>(-x2+x)max,

又(-x2+x)max=

,∴a>

.

∴实数a的取值范围是(

,+∞).

引申探究 

解 f(x)=-x2+x在(

,+∞)上为单调减函数,

∴f(x)的值域为(-∞,

),

要使a>-x2+x对任意x∈(

,+∞)恒成立,

只需a≥

∴a的取值范围是[

,+∞).

跟踪训练3 解 ∵x>0,

∴ax2+x≤1可化为a≤

.

要使a≤

对任意x∈(0,1]恒成立,

只需a≤(

)min.

设t=

,∵x∈(0,1],∴t≥1.

=t2-t=(t-

)2-

.

当t=1时,(t2-t)min=0,即x=1时,(

)min=0,

∴a≤0.

∴a的取值范围是(-∞,0].

当堂训练

1.

 2.1 3.4,0 4.10,6 5.-

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