版高中数学苏教版必修一学案221 函数的单调性一.docx

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版高中数学苏教版必修一学案221函数的单调性一

．函数的单调性

（一）

学习目标.理解函数单调区间、单调性等概念.会划分函数的单调区间，判断单调性.会用定义证明函数的单调性．

知识点一函数的单调性

思考画出函数（）＝、（）＝的图象，并指出（）＝、（）＝的图象的升降情况如何？

梳理一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为单调增函数，该区间称为单调增区间．反之则为单调减函数，相应区间称为单调减区间．因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：

设函数＝（）的定义域为，区间⊆.

（）如果对于区间内的任意两个值，，当<时，都有（）<（），那么就说＝（）在区间上是单调增函数，称为＝（）的单调增区间．

（）如果对于区间内的任意两个值，，当<时，都有（）>（），那么就说＝（）在区间上是单调减函数，称为＝（）的单调减区间．

单调增区间和单调减区间统称为单调区间．

知识点二函数的单调区间

思考我们已经知道（）＝的单调减区间为（－∞，]，（）＝的单调减区间为（－∞，），这两个单调减区间的书写形式能不能交换？

梳理一般地，有下列常识

（）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

（）单调区间⊆定义域.

（）遵循最简原则，单调区间应尽可能大．

类型一求单调区间并判断单调性

例如图是定义在区间[－]上的函数＝（），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是单调增函数还是单调减函数？

反思与感悟函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间上函数要么是单调增函数，要么是单调减函数，不能二者兼有．

跟踪训练写出函数＝－－的单调区间，并指出单调性．

类型二证明单调性

命题角度证明具体函数的单调性

例证明（）＝在其定义域上是单调增函数．

反思与感悟运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取，且<的条件下，转化为确定（）与（）的大小，要牢记五大步骤：

取值→作差→变形→定号→小结．

跟踪训练求证：

函数（）＝＋在[，＋∞）上是单调增函数．

命题角度证明抽象函数的单调性

例已知函数（）对任意的实数、都有（＋）＝（）＋（）－，且当>时，（）>.求证：

函数（）在上是单调增函数．

反思与感悟因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求（）－（），但可以借助题目提供的函数性质来确定（）－（）的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．

跟踪训练已知函数（）的定义域是，对于任意实数，，恒有（＋）＝（）·（），且当>时，<（）<.求证：

（）在上是单调减函数．

类型三单调性的应用

命题角度利用单调性求参数范围

例若函数（）＝是定义在上的单调减函数，则的取值范围为．

反思与感悟分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要保证在接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．

跟踪训练已知函数（）＝－－在区间[]上单调，则实数的取值范围为．

命题角度用单调性解不等式

例已知＝（）在定义域（－）上是单调减函数，且（－）<（－），求的取值范围．

反思与感悟若已知函数（）的单调性，则由，的大小，可得（），（）的大小；由（），（）的大小，可得，的大小．

跟踪训练在例中若函数＝（）的定义域为，且为单调增函数，（－）<（－），则的取值范围又是什么？

．函数＝（）在区间[－]上的图象如图所示，则此函数的单调增区间是．

．函数＝的单调减区间是．

．在下列函数（）中，满足对任意，∈（，＋∞），当<时，都有（）>（）的是．（填序号）

①（）＝；②（）＝；③（）＝；

④（）＝＋.

．给出下列说法：