最新高中数学苏教版必修一221《函数的单调性一》教学设计doc.docx

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最新高中数学苏教版必修一221《函数的单调性一》教学设计doc

§2.2　函数的简单性质

2.2.1　函数的单调性

（一）

课时目标

　1.理解函数单调性的性质.2.掌握判断函数单调性的一般方法．

1．单调性

设函数y＝f（x）的定义域为A，区间I⊆A.

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1

如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f（x2），那么就说y＝f（x）在区间I上是单调________，I称为y＝f（x）的单调________．

2．a>0时，二次函数y＝ax2的单调增区间为________．

3．k>0时，y＝kx＋b在R上是____函数．

4．函数y＝

的单调递减区间为__________．

一、填空题

1．定义在R上的函数y＝f（x＋1）的图象如右图所示．

给出如下命题：

①f（0）＝1；

②f（－1）＝1；③若x>0，则f（x）<0；④若x<0，则f（x）>0，其中正确的是________．（填序号）

2．若（a，b）是函数y＝f（x）的单调增区间，x1，x2∈（a，b），且x1”、“<”或“＝”）

3．f（x）在区间[a，b]上单调，且f（a）·f（b）<0，则方程f（x）＝0在区间[a，b]上________．（填序号）

①至少有一个根；②至多有一个根；③无实根；④必有唯一的实根．

4．函数y＝x2－6x＋10的单调增区间是________．

5．如果函数f（x）在[a，b]上是增函数，对于任意的x1，x2∈[a，b]（x1≠x2），则下列结论中正确的是______________________________________．

①

>0；

②（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0；

③f（a）

④

>0.

6．函数y＝

的单调递减区间为________．

7．设函数f（x）是R上的减函数，若f（m－1）>f（2m－1），则实数m的取值范围是________．

8．函数f（x）＝2x2－mx＋3，当x∈[2，＋∞）时是增函数，当x∈（－∞，2]时是减函数，则f

（1）＝________.

二、解答题

9．画出函数y＝－x2＋2|x|＋3的图象，并指出函数的单调区间．

10．已知f（x），g（x）在（a，b）上是增函数，且a

求证：

f（g（x））在（a，b）上也是增函数．

11．已知f（x）＝

，试判断f（x）在[1，＋∞）上的单调性，并证明．

能力提升

12．定义在R上的函数f（x）满足：

对任意实数m，n总有f（m＋n）＝f（m）·f（n），且当x>0时，0

（1）试求f（0）的值；

（2）判断f（x）的单调性并证明你的结论．

13．函数f（x）是定义在（0，＋∞）上的减函数，对任意的x，y∈（0，＋∞），都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且f（4）＝5.

（1）求f

（2）的值；

（2）解不等式f（m－2）≤3.

1．函数的单调区间必须是定义域的子集．因此讨论函数的单调性时，必须先确定函数的定义域．

2．研究函数的单调性，必须注意无意义的特殊点，如函数f（x）＝

在（－∞，0）和（0，

＋∞）上都是减函数，但不能说函数f（x）＝

在定义域上是减函数．

3．求单调区间的方法：

（1）图象法；

（2）定义法；（3）利用已知函数的单调性．

4．用单调性的定义证明函数的单调性分四个主要步骤：

即“取值——作差变形——定号——判断”这四个步骤．

若f（x）>0，则判断f（x）的单调性可以通过作比的方法去解决，即“取值——作比变形——与1比较——判断”．

2．1.3　函数的简单性质

第1课时　函数的单调性

知识梳理

1．f（x1）

3．增　4.（－∞，0）和（0，＋∞）

作业设计

1．①④

2．<

解析　由题意知y＝f（x）在区间（a，b）上是增函数，因为x2>x1，所以f（x2）>f（x1）．

3．④

解析　∵f（x）在[a，b]上单调，且f（a）·f（b）<0，

∴当f（x）在[a，b]上单调递增，则f（a）<0，f（b）>0，

当f（x）在[a，b]上单调递减，则f（a）>0，f（b）<0，

故f（x）在区间[a，b]上必有x0使f（x0）＝0且x0是唯一的．

4．[3，＋∞）

解析　如图所示，该函数的对称轴为x＝3，根据图象可知函数在[3，＋∞）上是递增的．

5．①②④

解析　由函数单调性的定义可知，若函数y＝f（x）在给定的区间上是增函数，则x1－x2与f（x1）－f（x2）同号，由此可知，①、②、④正确；

对于③，若x1

即f（x1）＝f（a）或f（x2）＝f（b），故③不成立．

6．（－∞，－3]

解析　该函数的定义域为（－∞，－3]∪[1，＋∞），函数f（x）＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由函数的单调性可知该函数在区间（－∞，－3]上是减函数．

7．m>0

解析　由f（m－1）>f（2m－1）且f（x）是R上的减函数得m－1<2m－1，∴m>0.

8．－3

解析　f（x）＝2（x－

）2＋3－

，

由题意

＝2，∴m＝8.

∴f

（1）＝2×12－8×1＋3＝－3.

9．解　y＝－x2＋2|x|＋3

＝

＝

.

函数图象如图所示．

函数在（－∞，－1]，[0,1]上是增函数，

函数在[－1,0]，[1，＋∞）上是减函数．

∴函数y＝－x2＋2|x|＋3的单调增区间是（－∞，－1]和[0,1]，

单调减区间是[－1,0]和[1，＋∞）．

10．证明　设a

∵g（x）在（a，b）上是增函数，

∴g（x1）

且a

又∵f（x）在（a，b）上是增函数，

∴f（g（x1））

∴f（g（x））在（a，b）上是增函数．

11．解　函数f（x）＝

在[1，＋∞）上是增函数．

证明如下：

任取x1，x2∈[1，＋∞），且x1

则f（x2）－f（x1）＝

－

＝

＝

.

∵1≤x1

∴x2＋x1>0，x2－x1>0，

＋

>0.

∴f（x2）－f（x1）>0，即f（x2）>f（x1），

故函数f（x）在[1，＋∞）上是增函数．

12．解　

（1）在f（m＋n）＝f（m）·f（n）中，

令m＝1，n＝0，得f

（1）＝f

（1）·f（0）．

因为f

（1）≠0，所以f（0）＝1.

（2）函数f（x）在R上单调递减．

任取x1，x2∈R，且设x1

在已知条件f（m＋n）＝f（m）·f（n）中，

若取m＋n＝x2，m＝x1，

则已知条件可化为f（x2）＝f（x1）·f（x2－x1），

由于x2－x1>0，所以0

在f（m＋n）＝f（m）·f（n）中，

令m＝x，n＝－x，则得f（x）·f（－x）＝1.

当x>0时，0

所以f（－x）＝

>1>0，

又f（0）＝1，所以对于任意的x1∈R均有f（x1）>0.

所以f（x2）－f（x1）＝f（x1）[f（x2－x1）－1]<0，

即f（x2）

所以函数f（x）在R上单调递减．

13．解　

（1）∵f（4）＝f（2＋2）＝2f

（2）－1＝5，∴f

（2）＝3.

（2）由f（m－2）≤3，得f（m－2）≤f

（2）．

∵f（x）是（0，＋∞）上的减函数，

∴

，解得m≥4.∴不等式的解集为{m|m≥4}．