苏教版高中数学苏教版必修一学案221 函数的单调性一Word格式.docx
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（2）单调区间D⊆定义域I.
（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大．
类型一 求单调区间并判断单调性
例1 如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是单调增函数还是单调减函数？
反思与感悟 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；
当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；
在单调区间D上函数要么是单调增函数，要么是单调减函数，不能二者兼有．
跟踪训练1 写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性．
类型二 证明单调性
命题角度1 证明具体函数的单调性
例2 证明f（x）＝
在其定义域上是单调增函数．
反思与感悟 运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1<
x2的条件下，转化为确定f（x1）与f（x2）的大小，要牢记五大步骤：
取值→作差→变形→定号→小结．
跟踪训练2 求证：
函数f（x）＝x＋
在[1，＋∞）上是单调增函数．
命题角度2 证明抽象函数的单调性
例3 已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>
0时，f（x）>
1.求证：
函数f（x）在R上是单调增函数．
反思与感悟 因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f（x1）－f（x2），但可以借助题目提供的函数性质来确定f（x1）－f（x2）的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．
跟踪训练3 已知函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·
f（n），且当x>
0时，0<
f（x）<
f（x）在R上是单调减函数．
类型三 单调性的应用
命题角度1 利用单调性求参数范围
例4 若函数f（x）＝
是定义在R上的单调减函数，则a的取值范围为________．
反思与感悟 分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要保证在接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．
跟踪训练4 已知函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为________________．
命题角度2 用单调性解不等式
例5 已知y＝f（x）在定义域（－1,1）上是单调减函数，且f（1－a）<
f（2a－1），求a的取值范围．
反思与感悟 若已知函数f（x）的单调性，则由x1，x2的大小，可得f（x1），f（x2）的大小；
由f（x1），f（x2）的大小，可得x1，x2的大小．
跟踪训练5 在例5中若函数y＝f（x）的定义域为R，且为单调增函数，f（1－a）<
f（2a－1），则a的取值范围又是什么？
1．函数y＝f（x）在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的单调增区间是________．
2．函数y＝
的单调减区间是________．
3．在下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1<
f（x2）的是________．（填序号）
①f（x）＝x2；
②f（x）＝
；
③f（x）＝|x|；
④f（x）＝2x＋1.
4．给出下列说法：
①若定义在R上的函数f（x）满足f（3）＞f
（2），则函数f（x）在R上为单调增函数；
②若定义在R上的函数f（x）满足f（3）＞f
（2），则函数f（x）在R上不可能为单调减函数；
③函数f（x）＝－
在（－∞，0）∪（0，＋∞）上为单调增函数；
④函数f（x）＝
在定义域R上为单调增函数．
其中说法正确的是________．（填序号）
5．若函数f（x）在R上是单调减函数，且f（|x|）>
f
（1），则x的取值范围是________．
1．若f（x）的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f（x）在A和B上都为单调减函数，未必有f（x）在A∪B上为单调减函数．
2．对单调增函数的判断，对任意x1<
x2，都有f（x1）<
f（x2），也可以用一个不等式来替代：
（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>
0或
>
0.对单调减函数的判断，对任意x1<
x2，都有f（x1）>
f（x2），相应地也可用一个不等式来替代：
（x1－x2）·
[f（x1）－f（x2）]<
<
0.
3．熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．
4．若f（x），g（x）都是单调增函数，h（x）是单调减函数，则：
①在定义域的交集（非空）上，f（x）＋g（x）为单调增函数，f（x）－h（x）为单调增函数，②－f（x）为单调减函数，③
为单调减函数（f（x）≠0）．
5．对于函数值恒正（或恒负）的函数f（x），证明单调性时，也可以作商
与1比较．
答案精析
问题导学
知识点一
思考 两函数的图象如下：
函数f（x）＝x的图象由左到右是上升的；
函数f（x）＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．
知识点二
思考 f（x）＝x2的单调减区间可以写成（－∞，0），而f（x）＝
的单调减区间（－∞，0）不能写成（－∞，0]，因为0不属于f（x）＝
的定义域．
题型探究
例1 解 y＝f（x）的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f（x）在区间[－5，－2]，[1,3]上是单调减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是单调增函数．
跟踪训练1 解 先画出f（x）＝
的图象，如图．
所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有（－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞），其中单调减区间是（－∞，－1]，[1,3]；
单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞）．
例2 证明 f（x）＝
的定义域为[0，＋∞）．
设x1，x2是定义域[0，＋∞）上的任意两个实数，且x1<
x2，
则f（x1）－f（x2）＝
－
＝
.
∵0≤x1<
∴x1－x2<
0，
＋
∴f（x1）－f（x2）<
0，即f（x1）<
f（x2），
∴f（x）＝
在定义域[0，＋∞）上是单调增函数．
跟踪训练2 证明 设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1≤x1<
则f（x1）－f（x2）＝x1＋
－（x2＋
）
＝（x1－x2）＋（
＝（x1－x2）＋
＝（x1－x2）（1－
＝（x1－x2）（
）．
∵1≤x1<
x2，∴x1－x2<
0,1<
x1x2，
∴
0，故（x1－x2）（
）<
即f（x1）－f（x2）<
f（x2）．
∴f（x）＝x＋
在区间[1，＋∞）上是单调增函数．
例3 证明 方法一 设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>
x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>
f（x1）－f（x2）＝f（x＋y）－f（y）＝f（x）＋f（y）－1－f（y）＝f（x）－1.
∵x>
0，∴f（x）>
1，f（x）－1>
∴f（x1）－f（x2）>
0，即f（x1）>
∴函数f（x）在R上是单调增函数．
方法二 设x1>
x2，则x1－x2>
从而f（x1－x2）>
1，
即f（x1－x2）－1>
f（x1）＝f[x2＋（x1－x2）]
＝f（x2）＋f（x1－x2）－1>
故f（x）在R上是单调增函数．
跟踪训练3 证明 ∵对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·
f（n），令m＝1，n＝0，可得f
（1）＝f
（1）·
f（0），
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f
（1）≠0，∴f（0）＝1.
令m＝x＜0，n＝－x＞0，
则f（m＋n）＝f（0）＝f（－x）·
f（x）＝1，
∴f（x）f（－x）＝1，
又∵－x＞0时，0＜f（－x）＜1，
＞1.
∴对任意实数x，f（x）恒大于0.
设任意x1<
x2，则x2－x1>
∴0<
f（x2－x1）<
∴f（x2）－f（x1）
＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）
＝f（x2－x1）f（x1）－f（x1）
＝f（x1）[f（x2－x1）－1]<
∴f（x）在R上是单调减函数．
例4 [
，
解析 要使f（x）在R上是单调减函数，需满足：
解得
≤a＜
跟踪训练4 （－∞，1]∪[2，＋∞）
解析 由于二次函数开口向上，故其单调增区间为[a，＋∞），单调减区间为（－∞，a]，而f（x）在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a，＋∞）或[1,2]⊆（－∞，a]，即a≤1或a≥2.
例5 解 f（1－a）<
f（2a－1）等价于
解得0<
a<
即所求a的取值范围是0<
跟踪训练5 解 ∵y＝f（x）的定义域为R，且为单调增函数，
f（1－a）<
f（2a－1），
∴1－a<
2a－1，即a>
∴所求a的取值范围是（
，＋∞）．
当堂训练
1．[－2,1] 2.（－∞，0），（0，＋∞）
3．②
4．②④
解析 由单调增函数的定义，可知①错误；
由单调减函数的定义，可知②正确；
因为函数f（x）＝－
在（－∞，0）和（0，＋∞）上为单调增函数，所以③错误；
作出函数f（x）＝
的图象，如图所示，由图象可知④正确．
5．（－1,1）
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