苏教版高中数学苏教版必修一学案221 函数的单调性一.docx

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苏教版高中数学苏教版必修一学案221函数的单调性一

2．2.1　函数的单调性

（一）

学习目标

　1.理解函数单调区间、单调性等概念.2.会划分函数的单调区间，判断单调性.3.会用定义证明函数的单调性．

知识点一　函数的单调性

思考　画出函数f（x）＝x、f（x）＝x2的图象，并指出f（x）＝x、f（x）＝x2的图象的升降情况如何？

梳理　一般地，单调性是相对于区间来说的，函数图象在某区间上上升，则函数在该区间上为单调增函数，该区间称为单调增区间．反之则为单调减函数，相应区间称为单调减区间．因为很多时候我们不知道函数图象是什么样的，而且用上升下降来刻画单调性很粗糙．所以有以下定义：

设函数y＝f（x）的定义域为A，区间I⊆A.

（1）如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1

（2）如果对于区间I内的任意两个值x1，x2，当x1f（x2），那么就说y＝f（x）在区间I上是单调减函数，I称为y＝f（x）的单调减区间．

单调增区间和单调减区间统称为单调区间．

知识点二　函数的单调区间

思考　我们已经知道f（x）＝x2的单调减区间为（－∞，0]，f（x）＝

的单调减区间为（－∞，0），这两个单调减区间的书写形式能不能交换？

梳理　一般地，有下列常识

（1）函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开．

（2）单调区间D⊆定义域I.

（3）遵循最简原则，单调区间应尽可能大．

类型一　求单调区间并判断单调性

例1　如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f（x），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是单调增函数还是单调减函数？

反思与感悟　函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是单调增函数，要么是单调减函数，不能二者兼有．

跟踪训练1　写出函数y＝|x2－2x－3|的单调区间，并指出单调性．

类型二　证明单调性

命题角度1　证明具体函数的单调性

例2　证明f（x）＝

在其定义域上是单调增函数．

反思与感悟　运用定义判断或证明函数的单调性时，应在函数的定义域内给定的区间上任意取x1，x2且x1

取值→作差→变形→定号→小结．

跟踪训练2　求证：

函数f（x）＝x＋

在[1，＋∞）上是单调增函数．

命题角度2　证明抽象函数的单调性

例3　已知函数f（x）对任意的实数x、y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）－1，且当x>0时，f（x）>1.求证：

函数f（x）在R上是单调增函数．

反思与感悟　因为抽象函数不知道解析式，所以不能代入求f（x1）－f（x2），但可以借助题目提供的函数性质来确定f（x1）－f（x2）的大小，这时就需要根据解题需要对抽象函数进行赋值．

跟踪训练3　已知函数f（x）的定义域是R，对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），且当x>0时，0

f（x）在R上是单调减函数．

类型三　单调性的应用

命题角度1　利用单调性求参数范围

例4　若函数f（x）＝

是定义在R上的单调减函数，则a的取值范围为________．

反思与感悟　分段函数在定义域上单调，除了要保证各段上单调外，还要保证在接口处不能反超．另外，函数在单调区间上的图象不一定是连续不断的．

跟踪训练4　已知函数f（x）＝x2－2ax－3在区间[1,2]上单调，则实数a的取值范围为________________．

命题角度2　用单调性解不等式

例5　已知y＝f（x）在定义域（－1,1）上是单调减函数，且f（1－a）

反思与感悟　若已知函数f（x）的单调性，则由x1，x2的大小，可得f（x1），f（x2）的大小；由f（x1），f（x2）的大小，可得x1，x2的大小．

跟踪训练5　在例5中若函数y＝f（x）的定义域为R，且为单调增函数，f（1－a）

1．函数y＝f（x）在区间[－2,2]上的图象如图所示，则此函数的单调增区间是________．

2．函数y＝

的单调减区间是________．

3．在下列函数f（x）中，满足对任意x1，x2∈（0，＋∞），当x1f（x2）的是________．（填序号）

①f（x）＝x2；②f（x）＝

；③f（x）＝|x|；

④f（x）＝2x＋1.

4．给出下列说法：

①若定义在R上的函数f（x）满足f（3）＞f

（2），则函数f（x）在R上为单调增函数；

②若定义在R上的函数f（x）满足f（3）＞f

（2），则函数f（x）在R上不可能为单调减函数；

③函数f（x）＝－

在（－∞，0）∪（0，＋∞）上为单调增函数；④函数f（x）＝

在定义域R上为单调增函数．

其中说法正确的是________．（填序号）

5．若函数f（x）在R上是单调减函数，且f（|x|）>f

（1），则x的取值范围是________．

1．若f（x）的定义域为D，A⊆D，B⊆D，f（x）在A和B上都为单调减函数，未必有f（x）在A∪B上为单调减函数．

2．对单调增函数的判断，对任意x1

（x1－x2）[f（x1）－f（x2）]>0或

>0.对单调减函数的判断，对任意x1f（x2），相应地也可用一个不等式来替代：

（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0或

<0.

3．熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数，二次函数，反比例函数等．

4．若f（x），g（x）都是单调增函数，h（x）是单调减函数，则：

①在定义域的交集（非空）上，f（x）＋g（x）为单调增函数，f（x）－h（x）为单调增函数，②－f（x）为单调减函数，③

为单调减函数（f（x）≠0）．

5．对于函数值恒正（或恒负）的函数f（x），证明单调性时，也可以作商

与1比较．

答案精析

问题导学

知识点一

思考　两函数的图象如下：

函数f（x）＝x的图象由左到右是上升的；函数f（x）＝x2的图象在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的．

知识点二

思考　f（x）＝x2的单调减区间可以写成（－∞，0），而f（x）＝

的单调减区间（－∞，0）不能写成（－∞，0]，因为0不属于f（x）＝

的定义域．

题型探究

例1　解　y＝f（x）的单调区间有[－5，－2]，[－2,1]，[1,3]，[3,5]，其中y＝f（x）在区间[－5，－2]，[1,3]上是单调减函数，在区间[－2,1]，[3,5]上是单调增函数．

跟踪训练1　解　先画出f（x）＝

的图象，如图．

所以y＝|x2－2x－3|的单调区间有（－∞，－1]，[－1,1]，[1,3]，[3，＋∞），其中单调减区间是（－∞，－1]，[1,3]；单调增区间是[－1,1]，[3，＋∞）．

例2　证明　f（x）＝

的定义域为[0，＋∞）．

设x1，x2是定义域[0，＋∞）上的任意两个实数，且x1

则f（x1）－f（x2）＝

－

＝

＝

.

∵0≤x1

∴x1－x2<0，

＋

>0，

∴f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

∴f（x）＝

在定义域[0，＋∞）上是单调增函数．

跟踪训练2　证明　设x1，x2是实数集R上的任意实数，且1≤x1

则f（x1）－f（x2）＝x1＋

－（x2＋

）

＝（x1－x2）＋（

－

）

＝（x1－x2）＋

＝（x1－x2）（1－

）

＝（x1－x2）（

）．

∵1≤x1

∴

>0，故（x1－x2）（

）<0，

即f（x1）－f（x2）<0，即f（x1）

∴f（x）＝x＋

在区间[1，＋∞）上是单调增函数．

例3　证明　方法一　设x1，x2是实数集上的任意两个实数，且x1>x2.令x＋y＝x1，y＝x2，则x＝x1－x2>0.

f（x1）－f（x2）＝f（x＋y）－f（y）＝f（x）＋f（y）－1－f（y）＝f（x）－1.

∵x>0，∴f（x）>1，f（x）－1>0，

∴f（x1）－f（x2）>0，即f（x1）>f（x2）．

∴函数f（x）在R上是单调增函数．

方法二　设x1>x2，则x1－x2>0，

从而f（x1－x2）>1，

即f（x1－x2）－1>0.

f（x1）＝f[x2＋（x1－x2）]

＝f（x2）＋f（x1－x2）－1>f（x2），

故f（x）在R上是单调增函数．

跟踪训练3　证明　∵对于任意实数m，n，恒有f（m＋n）＝f（m）·f（n），令m＝1，n＝0，可得f

（1）＝f

（1）·f（0），

∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，∴f

（1）≠0，∴f（0）＝1.

令m＝x＜0，n＝－x＞0，

则f（m＋n）＝f（0）＝f（－x）·f（x）＝1，

∴f（x）f（－x）＝1，

又∵－x＞0时，0＜f（－x）＜1，

∴f（x）＝

＞1.

∴对任意实数x，f（x）恒大于0.

设任意x10，

∴0

∴f（x2）－f（x1）

＝f[（x2－x1）＋x1]－f（x1）

＝f（x2－x1）f（x1）－f（x1）

＝f（x1）[f（x2－x1）－1]<0，

∴f（x）在R上是单调减函数．

例4　[

，

）

解析　要使f（x）在R上是单调减函数，需满足：

解得

≤a＜

.

跟踪训练4　（－∞，1]∪[2，＋∞）

解析　由于二次函数开口向上，故其单调增区间为[a，＋∞），单调减区间为（－∞，a]，而f（x）在区间[1,2]上单调，所以[1,2]⊆[a，＋∞）或[1,2]⊆（－∞，a]，即a≤1或a≥2.

例5　解　f（1－a）

解得0

，

即所求a的取值范围是0

.

跟踪训练5　解　∵y＝f（x）的定义域为R，且为单调增函数，

f（1－a）

∴1－a<2a－1，即a>

，

∴所求a的取值范围是（

，＋∞）．

当堂训练

1．[－2,1]　2.（－∞，0），（0，＋∞）

3．②

4．②④

解析　由单调增函数的定义，可知①错误；由单调减函数的定义，可知②正确；因为函数f（x）＝－

在（－∞，0）和（0，＋∞）上为单调增函数，所以③错误；作出函数f（x）＝

的图象，如图所示，由图象可知④正确．

5．（－1,1）