2211一元二次方程的解法.docx
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2211一元二次方程的解法
§22.1.1一元二次方程的解法
学习目标．．．．．．
学习过程．．．．．．
试一试解下列方程，并说明你所用的方法，与同伴交流.
（1）x2＝4；
（2）x2－1＝0;
解:
x=____解:
左边用平方差公式分解因式，得
x=__________________＝0，
必有x－1＝0，或______＝0,
得x1＝___，x2＝_____.
概 括
（1）这种方法叫做直接开平方法.
（2）这种方法叫做因式分解法.
思 考
（1）方程x2＝4能否用因式分解法来解？
要用因式分解法解，首先应将它化成什么形式？
（2）方程x2－1＝0能否用直接开平方法来解？
要用直接开平方法解，首先应将它化成什么形式？
（1）x2＝4；
（2）x2－1＝0;
做一做
1.试用两种方法解方程x2－900＝0.
（1）直接开平方法
（2）因式分解法
2.解下列方程：
（1）x2－2＝0;
（2）16x2－25＝0.
解
（1）移项，得x2＝2.
（2）移项，得_________.
直接开平方，得
.方程两边都除以16，得______
所以原方程的解是直接开平方，得x＝___.
，
.所以原方程的解是x1＝___，x2＝___..
3.解下列方程：
（1）3x2＋2x=0；
（2）x2＝3x.
解
（1）方程左边分解因式，得_______________
所以 __________，或____________
原方程的解是 x1＝______，x2＝______
（2）原方程即_____________=0.
方程左边分解因式，得____________＝0.
所以 __________，或________________
原方程的解是 x1＝_____，x2＝_________
练 习
1.解下列方程：
（1）x2＝169；
（2）45－x2＝0；
（3）12y2－25＝0；（4）x2－2x＝0；
（5）（t－2）（t+1）=0；（6）x（x＋1）－5x＝0.
2.小明在解方程x2＝3x时，将方程两边同时除以x，得x=3，这样做法对吗？
为什么会少一个解？
范例讲解:
（Ｂ）
例解下列方程：
（1）（x＋1）2－4＝0；
（2）12（2－x）2－9＝0.
分 析 两个方程都可以转化为2＝a的形式，从而用直接开平方法求解.
解
（1）原方程可以变形为（_____）2＝____，
（3）原方程可以变形为________________________，
有 ________________________.
所以原方程的解是 x1＝________，x2＝_________.
课后练习
解下列方程：
（1）（x＋2）2－16＝0；
（2）（x－1）2－18＝0；
（3）（1－3x）2＝1；（4）（2x＋3）2－25＝0.
（5）x（3x＋2）－6（3x＋2）＝0.
§22.1.2一元二次方程的解法
学习目标．．．．．
学习过程．．．．．．
一.试一试:
解下列方程：
（1）x2＋2x＝5；
（2）x2－4x＋3＝0.
思 考能否经过适当变形，将它们转化为2＝a
的形式，应用直接开方法求解？
解
（1）原方程化为x2＋2x＋1＝5＋1，
_____________________,
_____________________,
_____________________.
（2）原方程化为x2－4x＋4＝－3＋4
_____________________,
_____________________,
_____________________.
二.归 纳
上面，我们把方程x2－4x＋3＝0变形为（x－2）2＝1，它的左边是一个含有未知数的________式，右边是一个_______常数.这样，就能应用直接开平方的方法求解.这种解一元二次方程的方法叫做配方法.
三．练一练
配方.填空：
（Ａ）
（1）x2＋6x＋（）＝（x＋）2；
（2）x2－8x＋（）＝（x－）2；
（3）x2＋
x＋（）＝（x＋）2；
从这些练习中你发现了有什么特点?
（1）________________________________________________
（2）________________________________________________
四.范例
例:
用配方法解下列方程：
（1）x2－6x－7＝0；
（2）x2＋3x＋1＝0.
解
（1）移项，得x2－6x＝____.
方程左边配方，得x2－2·x·3＋__2＝7＋___，
即（______）2＝____.
所以x－3＝____.
原方程的解是 x1＝_____，x2＝_____.
（2）移项，得x2＋3x＝－1.
方程左边配方，得x2＋3x＋（__）2＝－1＋____，
即_____________________
所以___________________
原方程的解是：
x1＝______________x2＝___________
五、练习：
用配方法解方程：
（1）x2＋8x－2＝0
（2）x2－5x－6＝0.
（3）x2＋px＋q＝0（p2－4q≥0）.
（Ｂ）
（4）4x2－6x＋（）=4（x－）＝4（x－）2＝（2x－）2.
（Ｃ）思考讨论如何用配方法解下列方程？
请你和同桌讨论一下：
当二次项系数不为1时，如何应用配方法？
（1）4x2－12x－1＝0;
（2）3x2＋2x－3＝0.
（3）ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.
§22.1.3一元二次方程的解法
学习目标．．．．
学习过程．．．．．
思 考:
.显然，前面所学的方程如4x2－12x－1＝0都不是一元一次方程.那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？
它们有什么共同特点呢？
概 括:
前面所学的___式方程中都只含有_________未知数，并且未知数的______次数是_________，这样的方程叫做一元二次方程.通常可写成如下的一般形式：
ax2＋bx＋c＝0（a、b、c是已知数，a___0）其中a、b、c分别叫做二次项____、______系数和_____项.
练 习
2.将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：
（1）3x2－x=2；化为一般形式_______________________
二次项系数a=__、一次项系数b=___常数项c=__
（2）7x－3=2x2;化为一般形式_______________________
二次项系数a=__、一次项系数b=___常数项c=__
（3）x（2x－1）－3x（x－2）=0
化为一般形式:
_________________________
二次项系数a=__、一次项系数b=___常数项c=__
（4）2x（x－1）=3（x＋5）－4.
化为一般形式:
_________________________
二次项系数a=__、一次项系数b=___常数项c=__
3.关于x的方程mx2－3x=x2－mx+2是一元二次方程的条件是什么？
4.（Ｂ）已知关于x的一元二次方程（m－2）x2＋3x＋m2－4=0有一个解是0，求m的值.
探索用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）.
因为a≠0，方程两边都除以a，得
_____________________＝0.
移项，得x2＋
x＝________，
配方，得x2＋
x＋______＝______－
即（____________）2＝___________
因为a≠0，所以4a2＞0，当b2－4ac≥0时，直接开平方，得
_____________________________.
所以x＝_______________________
即x＝_________________________
由以上研究的结果，得到了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式：
x＝
（b2－4ac≥0）
利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a、b、c的值，直接求得方程的解，这种解方程的方法叫做公式法.
例 解下列方程:
（1）2x2＋x－6＝0；
（2）x2＋4x＝2；
（3）5x2－4x－12＝0；（4）4x2＋4x＋10＝1－8x.
解
（1）这里a＝___，b＝___，c＝______，
b2－4ac＝____________＝_________
所以x＝
＝_________＝____________
即原方程的解是x1＝_____，x2＝_____
（2）将方程化为一般式，得_________________＝0.
因为b2－4ac＝_________
所以x＝_____________＝_______________
原方程的解是x1＝________，x2＝_____
（3）因为___________________，
所以 x＝____________＝__________＝__________
原方程的解是x1＝________，x2＝__________.
（4）整理，得_______________＝0.
因为b2－4ac＝_________，
所以 x1＝x2＝________
课后作业
应用方程公式解方程：
（1）x2－6x＋1＝0；
（2）2x2－x＝6；
（3）4x2－3x－1＝x－2；（4）3x（x－3）＝2（x－1）（x＋1）.
（5）（x-2）（x+5）＝8； （6）（x＋1）2＝2（x＋1）.
§22.1.4一元二次方程的解法（练习两节课）
学习目标。
。
。
。
。
学习过程。
。
。
。
。
1.解下列方程
（1）2x2－6＝0；
（2）27＝4x2；
（3）3x2＝4x； （4）x（x－1）＋3（x－1）＝0；
（5）（x＋1）2＝2； （6）3（x－5）2＝2（5－x）.
2.解下列方程
（1）（2x－1）2－1＝0；
（2）
（x＋3）2＝2；
（3）x2＋2x－8＝0； （4）3x2＝4x－1；
（5）x（3x－2）－6x2＝0； （6）（2x－3）2＝x2.
3.当x取何值时，能满足下列要求？
（1）3x2－6的值等于21；
（2）3x2－6的值与x－2的值相等.
4.用适当的方法解下列方程：
（1）3x2－4x＝2x；
（2）
（x＋3）2＝1；
（3）x2＋（
＋1）x＝0； （4）x（x－6）＝2（x－8）；
（5）（x＋1）（x－1）＝
； （6）x（x＋8）＝16；
（7）（x＋2）（x－5）＝1； （8）（2x＋1）2＝2（2x＋1）.
5.已知y1＝2x2＋7x－1，y2＝6x＋2，当x取何值时y1＝y2？
思 考
根据你学习的体会，小结一下解一元二次方程一般有哪几种方法？
通常你是如何选择的？
和同学交流一下.
§22.1.5一元二次方程的解法
学习目标。
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学习过程。
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按提出的问题思考后填空
问题1
绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为900平方米的一块长方形绿地，并且长比宽多10米，那么绿地的长和宽各为
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