数学吉林省四平市第一中学届高三下学期期末考试理.docx
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数学吉林省四平市第一中学届高三下学期期末考试理
吉林省四平市第一中学2016届高三下学期期末考试（理）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合，，则（）
A．B．C．D．
2．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．已知（），则的值为（）
A．B．C．D．
4．已知，且则的值为（）
A．0B．4C．D．
5．为大力提倡“厉行节俭，反对浪费”，某高中通过随机询问100名性别不同的学生是否做到“光盘”行动，得到如下列联表及附表
做不到“光盘”行动
做到“光盘”行动
男
45
10
女
30
15
0.10
0.05
0.025
2.706
3.841
5.024
经计算：
，参考附表，得到的正确结论是（）
A.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”
B.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”
C.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别有关”
D.有的把握认为“该学生能否做到光盘行到与性别无关”
6．“数列成等比数列”是“数列成等差数列”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
7．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的的值为（）
A．1B．C．D．
8．设，则的值为（）
A.B.
C.D.
9．设F1、F2是双曲线＝1（a>0，b>0）的两个焦点，P在双曲线上，若＝0，＝2ac（c为半焦距），则双曲线的离心率为（）
A.B.C．2D.
10．一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（ ）
A.B.C.D.
11．有一个7人学校合作小组，从中选取4人发言，要求其中甲和乙至少有一人参加，若甲和乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有（）
A．720种B．600种C．360种D．300种
12．已知函数存在单调递减区间，且的图象在处的切线与曲线相切，符合情况的切线（）
A.有3条B.有2条C.有1条D.不存在
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知随机变量X服从正态分布且，．
14．的展开式的常数项是．
15．设点在内部，且有，则的面积与的面积
的比为．
16．在中，角所对的边分别为，且，则
的最大值为.
三、解答题（本大题8个小题，共70分，解答须写出文字说明、证明过程、演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知数列的前n项和
（1）求的通项公式；
（2）若数列满足，求数列的前n项和．
18．（本小题满分12分）
某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：
万元）之间有如下对应数据:
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
（1）求回归直线方程；
（2）试预测广告费支出为10万元时，销售额多大？
（3）在已有的五组数据中任意抽取两组，求至少有一组数据其预测值与实际值之差的
绝对值不超过5的概率。
（参考数据：
，
参考公式：
回归直线方程，其中）
19.（本小题满分12分）
如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，侧面底面，，，分别为的中点，点在线段上．
（1）求证：
平面；
（2）如果直线与平面所成的角和直线与平面所成的角相等，求的值．
20.（本小题满分12分）
已知直线被圆截得的弦长恰与椭圆的短轴长相等，椭圆的离心率．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知过点的动直线交椭圆于两点，试问：
在轴上是否存在一个
定点，使得无论如何转动，以为直径的圆恒过定点？
若存在，求出点的坐标，
若不存在，请说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知函数．
（1）若，求函数的最大值；
（2）若，正实数满足，证明：
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．
22．（本小题满分10分）选修4-1：
几何证明选讲
如图，已知圆是的外接圆，是边上的高，是圆的直径.
（1）求证：
；
（2）过点作圆的切线交的延长线于点，若，求的长.
23．（本小题满分10分）选修4-4：
坐标系与参数方程
极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线的极坐标方程为．
（1）求的直角坐标方程；
（2）直线（为参数）与曲线交于两点，与轴交于，求．
24．（本小题满分10分）选修4-5：
不等式选讲
已知函数.
（1）若，解不等式；
（2）如果，求的取值范围.
参考答案
一、选择题
1-12CDCBCBAADCBD
二、填空题
13、；14、；15、3；16、.
三、解答题
17．解：
（1）当n=1时，a1=S1=3；……1分
当n≥2时，．
经检验，n=1时，上式成立．
∴an=4n﹣1，n∈N*．……4分
（2）∵an=4log2bn+3=4n﹣1，∴bn=2n﹣1．……6分
∴n∈N*．
∴，①
①×2得：
，②……8分
∴．……10分
故．……12分
18．
（1）解：
，
又已知，
于是可得：
，
因此，所求回归直线方程为：
……5分
（2）解:
根据上面求得的回归直线方程，当广告费支出为10万元时，
（万元）即这种产品的销售收入大约为82.5万元.（8分）
2
4
5
6
8
30
40
60
50
70
30.5
43.5
50
56.5
69.5
（3）解：
基本事件：
（30，40），（30，60），（30，50），（30，70），（40，60），（40，50），
（40，70），（60，50），（60，70），（50，70）共10个
两组数据其预测值与实际值之差的绝对值都超过5：
（60，50）
所以至少有一组数据其预测值与实际值之差的绝对值不超过5的概率为
19．
（1）证明：
在平行四边形中，因为，，所以．
由分别为的中点，得，所以．……2分
因为侧面底面，且，
所以底面．又因为底面，所以．……4分
又因为，平面，平面，所以平面．……5分
（2）解：
因为底面，，所以两两垂直，故以分别为轴、轴和轴，如上图建立空间直角坐标系，
，所以，，，
设，则，
所以，，
平面的一个法向量．
设平面的一个法向量为，
由，，得
令，得．……9分
因为直线与平面所成的角和此直线与平面所成的角相等，
所以，即，
所以，解得，或（舍）．
综上所得：
……12分
20．
（1）则由题设可求得，……2分
又，则，所以椭圆的方程是……4分
（2）解法一：
假设存在点，若直线的斜率存在，设其方程为，
将它代入椭圆方程，并整理得……5分
设点的坐标分别为，则，
因为及，
所以
……8分
当且仅当恒成立时，以为直径的圆恒过定点……9分
所以，解得，此时以为直径的圆恒过定点10分
当直线的斜率不存在，与轴重合，以为直径的圆为也过点．
综上可知，在坐标平面上存在一个定点，满足条件……12分
解法二：
若直线与轴重合，则以为直径的圆为，
若直线垂直于轴，则以为直径的圆为，……6分
由，解得，由此可知所求点如果存在，只能是
事实上点就是所求的点，证明如下：
……7分
当直线的斜率不存在，即直线与轴重合时，以为直径的圆为，
过点；
当直线的斜率存在，设直线方程为，
代入椭圆方程并整理得……8分
设点的坐标为，则，因为
，所以有
所以，即以为直径的圆恒定过点……11分
综上可知，在坐标平面上存在一个定点满足条件……12分
21．
（1）因为，所以，
此时，
，
由，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故当时函数有极大值，也是最大值，所以的最大值为……4分
（2）当，．
由，即，…5分
从而……6分
令，则由得，．……8分
可知，在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，……10分
所以，因为，
因此成立……12分
22．
（1）连接则有为直角三角形，所以，
又
所以，所以
即，又，故……4分
（2）因为为圆的切线，所以
又，从而解得……6分
因为，
所以，所以，即.……10分
23．
（1）由得，
得直角坐标方程为，即；……4分
（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，化简得，点E对应的参数，设点A，B对应的参数分别为，则，，
所以．……10分
24．
（1）当时，.
由得.
当时，不等式可化为，即，其解集为.
当时，不等式化为，不可能成立，其解集为.
当时，不等式化为，即，其解集为.
综上所述，的解集为.……5分
（2），要成立.
则或，
即的取值范围是.……10分
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