中考数学几何专题《四边形综合》四.docx

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中考数学几何专题《四边形综合》四

2021年中考数学几何专题：

《四边形综合》（四）

1．已知四边形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，AB＝4，BC＝3．

（1）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ，DC能否互相垂直，为什么？

（2）如图1，P为AB边上的一点，以PD、PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ，DC的长能否相等，为什么？

（3）如图1，若P为AB边上一点，以PD，PC为边作▱PCQD，请问对角线PQ的长是否存在最小值？

如果存在，请求出最小值，如果不存在，请说明理由．

（4）如图2，若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝nPD（n为常数），再以PE、PC为边作▱PCQE，请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？

如果存在，直接写出这个最小值；如果不存在，请说明理由．

2．如图1，菱形ABCD中，∠ABC＝120°，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA＝PE，PE交CD于F，连接CE．

（1）证明：

△ADP≌△CDP；

（2）判断△CEP的形状，并说明理由；

（3）如图2，把菱形ABCD改为正方形ABCD，其他条件不变，直接写出线段AP与线段CE的数量关系．

3．四边形ABCD中，点E是AB的中点，F是AD边上的动点．连结DE、CF．

（1）若四边形ABCD是矩形，AD＝12，CD＝10，如图

（1）．

①请直接写出AE的长度；

②当DE⊥CF时，试求出CF长度．

（2）如图

（2），若四边形ABCD是平行四边形，DE与CF相交于点P．探究：

当∠B与∠EPC满足什么关系时，

成立？

并证明你的结论．

4．如图，正方形ABCD和正方形EFGH的边长分别为2

和

，对角线BD、FH都在直线L上，O1、O2分别是正方形的中心，线段O1O2的长叫做两个正方形的中心距．当中心O2在直线L上平移时，正方形EFGH也随平移，在平移时正方形EFGH的形状、大小没有改变．

（1）计算：

O1D＝　　，O2F＝　　．

（2）当中心O2在直线L上平移到两个正方形只有一个公共点时，中心距O1O2＝　　．

（3）随着中心O2在直线L上的平移，两个正方形的公共点的个数还有哪些变化？

并求出相对应的中心距的值或取值范围（不必写出计算过程）．

5．如图，在正方形ABCD中，点E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC边于点G，连接DF，DG．

（1）依题意补全图形，并证明∠FDG＝∠CDG；

（2）过点E作EM⊥DE于点E，交DG的延长线于点M，连接BM．

①直接写出图中和DE相等的线段；

②用等式表示线段AE，BM的数量关系，并证明．

6．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，b满足b＝

+

+18；一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点C出发在线段CO上以每秒1个单位长度的速度向点O运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）．

（1）求B、C两点的坐标；

（2）当t为何值时，四边形APQO是矩形？

并求出此时P，Q两点坐标；

（3）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？

并判断其是否可以成为菱形？

7．如图2，将

（1）中的条件改为：

在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在l上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE＝BD+CE是否成立？

若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）如图3，过△ABC的边AB、AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG，AH是BC边上的高，延长HA交EG于点I，求证：

I是EG的中点．

8．如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A、C分别在DG和DE上，连接AE、BG．

（1）请写出线段BG和AE的位置关系及数量关系；

（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度α（0°＜α＜90°）时（图②），

（1）中的结论是否仍然成立？

若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

（3）若BC＝DE＝4，正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转角度α（0＜α＜360°）过程中，当AE为最大值时，请直接写出AF的值．

9．如图，在长方形ABCD中，AB＝8cm，BC＝6cm，点E是CD边上的一点，且DE＝2cm，动点P从A点出发，以2cm/s的速度沿A→B→C→E运动，最终到达点E．设点P运动的时间为t秒．

（1）请以A点为原点，AB所在直线为x轴，1cm为单位长度，建立一个平面直角坐标系，并用t表示出点P在不同线段上的坐标．

（2）在

（1）相同条件得到的结论下，是否存在P点使△APE的面积等于20cm2时，若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

10．同学们：

八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法．

【问题提出】

如图①，在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，点M、N分别在边BC、CD上．求证：

MN＝BM+DN．

证明思路如下：

第一步：

如图②，将△ADN绕点A按顺时针方向旋转90°得到△ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上．

第二步：

证明△AEM≌△ANM．

请你按照证明思路写出完整的证明过程．

【初步思考】

如图③，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到△DCG和△BCE．

下列关于这两个三角形的结论：

①周长相等；②面积相等；③∠CBE＝∠CDG．

其中所有正确结论的序号是　　．

【深入研究】

如图④，分别以▱ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL．若▱ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为　　．

参考答案

1．解：

（1）当对角线PQ，DC互相垂直，则▱PCQD是菱形，

故PD＝PC，

当PD＝PC时，此时AP＝BC＝3，AD＝BP＝1，

即当AP＝BC＝3，AD＝BP＝1时，对角线PQ，DC互相垂直；

（2）过点D作DE⊥BC于点E，

∵梯形ABCD，AD∥BC，AB⊥BC

∴四边形ABED是矩形，

∴DE＝AB＝4，BE＝AD＝1，

∴CE＝BC﹣BE＝2，

∴DC＝2

，

∵四边形PCQD是平行四边形，

若对角线PQ、DC相等，则四边形PCQD是矩形，

设PB＝x，则AP＝4﹣x，

在Rt△DPC中，PD2+PC2＝DC2，即x2+32+（4﹣x）2+1＝（2

）2，

化简得x2﹣4x+3＝0，

∵△＝（﹣4）2﹣4×1×3＝4＞0，

∴解得：

x1＝1，x2＝3，

∴即对角线PQ与DC可能相等，此时AP＝1或3；

（3）如图2，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，

∵∠APQ＝∠HQP，

∴∠APD+∠DPQ＝∠PQC+∠CQH，

∵PD∥QC，

∴∠DPQ＝∠CQP，

∴∠APD＝∠CQH，

在△ADP和△HCQ中，

∴△ADP≌△HCQ（AAS），

∴AD＝CH＝1，

∴BH＝BC+CH＝3+2＝4，

∴当PQ⊥AB时，PQ的长最小，即为4．

（4）如图3，作QH⊥BC，交BC的延长线于H，

∵AB∥QH，

∴∠APD+∠DPQ＝∠PQC+∠CQH．

∵以PE，PC为边作▱PCQE，

∴PE∥CQ，

∴∠DPQ＝∠PQC，

∴∠APD＝∠CQH，

∴Rt△ADP∽Rt△QHC．

∴

＝

，即

＝

，

∵DE＝nPD，

∴

＝

，

∵AD＝1，

∴HC＝n+1，

∵BC＝3，

∴BH＝3+n+1＝n+4．

∴由图知，当PQ⊥AB时，PQ的长最小值为n+4，

2．解：

（1）在菱形ABCD中，AD＝CD，∠ADP＝∠CDP，

在△ABP和△CBP中，

，

∴△ADP≌△CDP（SAS），

（2）由

（1）得：

△ADP≌△CDP

∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP，

∵PA＝PE，

∴PC＝PE，∠DAP＝∠E，

∴∠DCP＝∠E，

∵∠CFP＝∠EFD，

∴∠CPF＝∠CDF

∵∠ABC＝∠ADC＝120°，

∴∠CPF＝∠EDF＝180°﹣∠ADC＝60°，

∴△CPE是等边三角形，

（3）CE＝

，

证明如下：

如前同理可证：

PC＝PE，∠EPC＝∠CDE，

∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，

∴∠EPC＝∠CDE＝90°，

∴△CPE是等腰直角三角形三角形，

∴CE＝

＝

3．解：

（1）①∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，AB＝CD，∠A＝∠ADC＝90°．

∵AD＝12，CD＝10，

∴BC＝12，AB＝10．

∵点E是AB的中点，

∴AE＝

AB＝5．

②∵DE⊥CF，

∴∠DPC＝∠DPF＝90°，

∴∠DFC+∠DCF＝90°，∠DFC+∠FDP＝90°，

∴∠DCF＝∠FDP．

∵∠A＝∠ADC，

∴△CFD∽△DEA，

∴

．

在Rt△AED中，由勾股定理，得

ED＝13．

∴

，

∴CF＝

．

答：

CF的长度为

；

（2）当∠B+∠EPC＝180°时，

成立．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B＝∠ADC，AD∥BC，

∴∠B+∠A＝180°，

∵∠B+∠EPC＝180°，

∴∠A＝∠EPC＝∠FPD，

∵∠FDP＝∠EDA，

∴△DFP∽△DEA，

∴

，

∵∠B＝∠ADC，∠B+∠EPC＝180°，∠EPC+∠DPC＝180°，

∴∠CPD＝∠CDF，

∵∠PCD＝∠DCF，

∴△CPD∽△CDF，

∴

，

∴

∴

，

即当∠B+∠EPC＝180°时，

成立．

4．解：

（1）O1D＝2

×

÷2＝2；O2F＝

×

÷2＝1．

故答案为：

2，1；

（2）点D、F重合时有一个公共点，O1O2＝2+1＝3．

故答案为：

3；

（3）两个正方形的边长有两个公共点时，1＜O1O2＜3；

无数个公共点时，O1O2＝1；

1个公共点时，O1O2＝3；

无公共点时，O1O2＞3或0≤O1O2＜1．

5．解：

（1）依题意补全图形如图1，

证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴DA＝DC，∠A＝∠C＝90°，

∵点A关于直线DE的对称点为F，

∴△ADE≌△FDE，

∴DA＝DF＝DC，∠DFE＝∠A＝90°，

∴∠DFG＝90°，

在Rt△DFG和Rt△DCG中，

∵

，

∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），

∴∠FDG＝∠CDG；

（2）①DE＝EM．

∵∠ADE＝∠FDE，∠FDG＝∠CDG，

∴∠EDG＝

∠ADC＝45°，

∵EM⊥DE，

∴∠MED＝90°，

∴∠EMD＝∠EDM＝45°，

∴DE＝EM；

②BM＝

AE．

证明如下：

如图2，过点M作MN⊥AB交AB的延长线于点N，连接BM，

∵∠AED+∠NEM＝90°，∠AED+∠ADE＝90°，

∴∠NEM＝∠ADE，

又∵∠EAD＝∠MNE＝90°，DE＝EM，

∴△DAE≌△ENM（AAS），

∴AE＝MN，AD＝EN，

∵AD＝AB，

∴AB＝EN＝AE+BE＝BE+BN，

∴AE＝BN＝MN，

∴△BNM是等腰直角三角形，

∴BM＝

MN＝

AE．

6．解：

（1）由题意得，

，

∴a＝21，

∴b＝18，

∴B点坐标为（21，12），点C的坐标为（18，0）；

（2）由题意