二次函数动点问题典型例题.docx
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二次函数动点问题典型例题
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二次函数动点问题典型例题
等腰三角形问题
2
1.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax+bx的对称轴为x=，且经过点A（2，1），点P是抛物线上的动点，P的横坐标为m（0＜m＜2），过点P作PB⊥x轴，垂足为B，PB
交OA于点C，点O关于直线PB的对称点为D，连接CD，AD，过点A作AE⊥x轴，垂足为E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）填空：
①用含m的式子表示点C，D的坐标：
C（，），D（，）；
②当m=时，△ACD的周长最小；
（3）若△ACD为等腰三角形，求出所有符合条件的点P的坐标．
面积最大
2
1.如图，抛物线y=﹣x+mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴
交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PCD是以CD为腰的等腰三角形？
如果存在，直接写出P点的坐标；如果不存在，请说明理由；
（3）点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动
到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？
求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标．
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2．已知：
如图，直线y=3x+3与x轴交于C点，与y轴交于A点，B点在x轴上，△OAB是等腰直角三角形．
（1）求过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）若直线CD∥AB交抛物线于D点，求D点的坐标；
（3）若P点是抛物线上的动点，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面积？
若有，求出此时P点的坐标和△PAB的最大面积；若没有，请说明理由．
3.（2015?
黔西南州）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABOC如图放置，
将此平行四边形绕点O顺时针旋转90°得到平行四边形A′B′OC．′抛物线y=﹣x2+2x+3经过点
A、C、A′三点．
（1）求A、A′、C三点的坐标；
（2）求平行四边形ABOC和平行四边形A′B′OC重′叠部分△C′OD的面积；
（3）点M是第一象限内抛物线上的一动点，问点M在何处时，△AMA′的面积最大？
最大
面积是多少？
并写出此时M的坐标．
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最短路径
1.（2014绵阳）如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象过点M（﹣2，
），顶点坐标
为N（﹣1，
），且与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线对称轴上的动点，当△PBC为等腰三角形时，求点P的坐标；
（3）在直线AC上是否存在一点Q，使△QBM的周长最小？
若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．
2.（2014?
泸州）如图，已知一次函数y1=x+b的图象l与二次函数y2=﹣x2+mx+b的图象C′
都经过点B（0，1）和点C，且图象C′过点A（2﹣，0）．
（1）求二次函数的最大值；
（2）设使y2＞y1成立的x取值的所有整数和为s，若s是关于x的方程
=0的根，求a的值；
（3）若点F、G在图象C′上，长度为的线段DE在线段BC上移动，EF与DG始终平行于
y轴，当四边形DEFG的面积最大时，在x轴上求点P，使PD+PE最小，求出点P的坐标．
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平行四边形
1.（2015?
贵州省贵阳,第24题9分）如图，经过点C（0，﹣4）的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）
与x轴相交于A（﹣2，0），B两点．
（1）a＞0，b2﹣4ac＞0（填“＞”或“＜”）；
（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式；
（3）在
（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点
F．是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形？
若存在，求出满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．
2.（14分）（2015?
葫芦岛）（第26题）如图，直线y=﹣x+3与x轴交于点C，与y轴交于
点B，抛物线y=ax2+x+c经过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标和△BEC面积的最大值？
（3）在
（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物
线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行
四边形？
如果存在，请直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
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3.（2015?
辽宁抚顺）（第26题，14分））已知，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图①所
示，A点坐标为（﹣6，0），B点坐标为（4，0），点D为BC的中点，点E为线段AB上一动点，连接DE经过点A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+8．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，将△BDE以DE为轴翻折，点B的对称点为点G，当点G恰好落在抛物线的
对称轴上时，求G点的坐标；
（3）如图②，当点E在线段AB上运动时，抛物线
2
的对称轴上是否存在点
F，使
y=ax+bx+8
得以C、D、E、F为顶点的四边形为平行四边形？
若存在，请直接写出点
F的坐标；若不存
在，请说明理由．
4.（2015?
梧州,第26题12分）如图，抛物线y=ax2+bx+2与坐标轴交于A、B、C三点，其
中B（4，0）、C（﹣2，0），连接AB、AC，在第一象限内的抛物线上有一动点D，过D作
DE⊥x轴，垂足为E，交AB于点F．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在DE上作点G，使G点与D点关于F点对称，以G为圆心，GD为半径作圆，当⊙G
与其中一条坐标轴相切时，求G点的横坐标；
（3）过D点作直线DH∥AC交AB于H，当△DHF的面积最大时，在抛物线和直线AB上分
别取M、N两点，并使D、H、M、N四点组成平行四边形，请你直接写出符合要求的M、N
两点的横坐标．
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5.（2015?
甘南州第28题12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+bx+c，经
过A（0，﹣4），B（x1，0），C（x2，0）三点，且|x2﹣x1|=5．
（1）求b，c的值；
（2）在抛物线上求一点D，使得四边形BDCE是以BC为对角线的菱形；
（3）在抛物线上是否存在一点P，使得四边形BPOH是以OB为对角线的菱形？
若存在，求出点P的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？
若不存在，请说明理由．
角度问题
1.（2015?
宁德第24题14分）已知抛物线
2
y=x+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交
于点C，O是坐标原点，点
A的坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（0，﹣3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求直线BC的函数表达式和∠ABC的度数；
（3）P为线段BC上一点，连接AC，AP，若∠ACB=∠PAB，求点P的坐标．
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函数应用
1.（2015?
广东茂名23，8分）某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理
出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间（第x天）13610⋯
日销售量（m件）198194188180⋯
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间（第x天）1≤x＜5050≤x≤90
销售价格（元/件）x+60100
（1）求m关于x的一次函数表达式；
（2）设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产
品哪天的销售利润最大？
最大利润是多少？
【提示：
每天销售利润=日销售量×（每件销售价
格﹣每件成本）】
（3）在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
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相似三角形
1.（2015?
辽宁铁岭）（第26题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴
交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．
（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；
（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时
停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四
边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；
（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC
相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．
解析式的应用
1.（2015?
天津,第25题10分）（2015?
天津）已知二次函数
2
为常数）．
y=x+bx+c（b，c
（Ⅰ）当b=2，c=﹣3时，求二次函数的最小值；
（Ⅱ）当c=5时，若在函数值
y=l的怙况下，只有一个自变量
x的值与其对应，求此时二次
函数的解析式；
（Ⅲ）当c=b2时，若在自变量
x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值
y的最小
值为21，求此时二次函数的解析式．
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综合练习
1.（2015?
辽宁阜新）（第18题，12分）如图，抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于点A（﹣3，0）和点B，交y轴于点C（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）若点P在抛物线上，且S△AOP=4SBOC，求点P的坐标；
（3）如图b，设点Q是线段AC上的一动点，作DQ⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DQ长
度的最大值．
2.（2015?
黑龙江省大庆,第28题9分）已知二次函数y=x2+bx﹣4的图象与y轴的交点为C，
与x轴正半轴的交点为A，且tan∠ACO=
（1）求二次函数的解析式；
（2）P为二次函数图象的顶点，Q为其对称轴上的一点，QC平分∠PQO，求Q点坐标；
（3）是否存在实数x1、x2（x1＜x2），当x1≤x≤x2时，y的取值范围为≤y≤？
若存在，直
接写在x1，x2的值；若不存在，说明理由．
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3.（2015?
北海,第26题14分）如图1所示，已知抛物线y=﹣x2+4x+5的顶点为D，与x轴
交于A、B两点，与y轴交于C点，E为对称轴上的一点，连接CE，将线段CE绕点E按逆
时针方向旋转90°后，点C的对应点C′恰好落在y轴上．
（1）直接写出D点和E点的坐标；
（2）点F为直线C′E与已知抛物线的一个交点，点H是抛物线上C与F之间的一个动点，
若过点H作直线HG与y轴平行，且与直线C′E交于点G，设点H的横坐标为m（0＜m＜4），
那么当m为何值时，S△HGF：
S△BGF=5：
6？
（3）图2所示的抛物线是由y=﹣x2+4x+5向右平移1
个单位后得到的，点
T（5，y）在抛物
线上，点P是抛物线上O与T之间的任意一点，在线段
OT上是否存在一点
Q，使△PQT是
等腰直角三角形？
若存在，求出点
Q的坐标；若不存在，请说明理由．
宁可累死在路上，也不能闲死在家里！
宁可去碰壁，也不能面壁。
是狼就要练好牙，是羊就要练好腿。
什么是奋斗？
奋斗就是每天很难，可一年一年却越来越容易。
不奋斗就是每天都很容易，可一年一年越来越难。
能干的人，不在情绪上计较，只在做事上认真；无能的人！
不在做事上认真，只在情绪上计较。
拼一个春夏秋冬！
赢一个无悔人生！
早安！
—————献给所有努力的人
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