恒星讲义9.docx

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恒星讲义9

第九章恒星演化的结局－致密天体的形成

第一节白矮星

当恒星演化最终留下的简并核质量小于Chandrasekhar极限时，电子气体的运动产生的简并压强足以抵御引力的作用，于是简并核将一直处于稳定平衡状态。

这种天体被称为白矮星。

观测和模型计算都表明，白矮星是质量约为1M⊙，半径大约5000km，平均密度高达106g/cm3的奇异天体。

它们的内部不再进行热核燃烧，只是依靠残存的热量而发光，并且逐步冷却。

天狼星的伴星就是一颗著名的白矮星。

1.白矮星内部结构的多方模型

白矮星内部的物质对白矮星的结构起着不同的作用：

电子由于是费米子，服从泡利不相容原理，在如此高密度环境中，其费米能量很高，提供了几乎全部压强和最有效的传热方式；离子占有几乎全部的质量，并且储存了以后将要辐射出去的热量。

恒星的力学结构完全由电子的性质决定。

对于质量较小的白矮星，电子气体是非相对论性的，电子简并压强为：

这是一个多方关系，多方指数n＝3/2。

对于质量稍大的白矮星，平均电子速度是相对论性的，于是电子的简并压强为：

这也是一个多方关系，只是多方指数n＝3。

白矮星的内部结构由多方模型描述，其中最让人感兴趣的是其质量和半径之间的关系，这可由多方模型直接得到。

利用多方模型，恒星的半径和质量分别为：

利用这两个方程消去中心密度c，得到白矮星质量与半径的关系为：

对于非相对论性简并（n＝3/2），多方模型给出：

于是质量-半径关系可以写为：

M⊙

对于相对论性简并（n＝3），多方模型给出：

于是质量-半径关系可以写为：

M⊙

这个质量就是Chandrasekhar极限。

2.白矮星大气层的结构

白矮星一般都具有一个不算太厚的大气层，并且这个大气层的性质是区分不同种类白矮星的主要依据。

这时，引力分层效应扮演了一个重要角色，即巨大的重力加速度将物质按分子量大小的顺序从内到外依次排列。

根据大气层中化学元素的组成情况，白矮星一般分为三类：

DA型：

纯氢大气，内部结构具有纯氢＋纯氦＋CO核形式

DB型：

纯氦大气，内部结构具有纯氦＋CO核形式

DO型：

裸CO核

白矮星内部CO核是电子简并的，但是大气层不是电子简并的。

于是其结构由一个简并等温核与一个理想气体大气层组成。

白矮星大气中传递能量的主要方式是辐射与对流，但是由于白矮星的光度一般来说不太高，大气层的厚度一般也不太厚，对流的作用常常不是主要的。

设简并核与大气层在恒星内部某一个位置处交界，那么交界面处的温度和密度可以由简并核条件给出。

压强在交界面处必须连续，于是有：

其中是大气层的平均分子量，下标0表示交界面处的物理量。

从中解出交界面处的密度，可以得到：

假定大气层处于辐射平衡和流体静力学平衡状态，并且采用Kramers不透明度公式，于是可以得到温度梯度为：

在零边界条件下积分给出：

带入状态方程，可以得到：

将这个关系应用到交界面处，消去密度，最终可以得到交界面处的温度为：

根据观测资料，取白矮星质量M≈1M⊙，光度L≈10-4～10-2L⊙，带入上式得到交界面处温度T0≈4.2×106～16×106K。

这个温度也就是白矮星内部等温核的温度。

利用交界面处温度，可以得到交界面处的密度0≈103g/cm3。

白矮星大气层内的质量可以估算为：

M⊙

3.白矮星的演化—冷却过程

由于没有了热核反应作用热量供给，白矮星随时间的演化就是一个简单的冷却过程。

随着白矮星所包含的热量逐步从表面辐射掉，白矮星中心温度越来越低，最终成为一颗冰冷黑暗的黑矮星。

白矮星内部电子处于高度简并状态，其动能几乎不再发生变化。

离子的动能就是恒星的热能，可以传递到恒星表面辐射掉。

离子的总动能为：

其中I是离子的平均分子量。

于是，表面辐射掉的光度就等于离子动能的减少：

利用前面得到的中心温度与恒星光度的关系，可以得到温度演化的方程为：

积分此方程，就可以得到中心温度随时间的演化：

白矮星的寿命是指当白矮星光度过低而无法观测之前所经历的时间，可以用中心温度很低时所经历的时间来代替。

于是，

这个结果表明，质量越大的，或者是光度越小的白矮星寿命越长。

取白矮星质量M≈1M⊙，光度L≈10-3L⊙，带入上式得到其寿命为WD≈109年。

白矮星在HR图上的冷却线非常简单。

由于光度和有效温度的关系是：

而此时半径由恒星质量唯一确定，于是，冷却线方程可以写为：

可以看到，质量越大的白矮星，其冷却线光度越低。

实际的冷却过程远比上述简单估计要复杂多变。

当温度很低时，离子间的库仑相互作用会导致离子互相排斥，结果被固化在内能最小的位置上。

这时离子只能在晶格点阵附近作振动运动，而不能自由运动。

于是，当温度降低到熔解温度以下时，离子结晶转为固态。

显然，熔解温度Tm与密度有关，密度越高则熔解温度越大：

恒星中心的密度最大，于是中心部分首先开始结晶。

随着温度的继续下降，结晶范围逐步扩大。

在结晶的过程中，离子会释放出相变潜能。

不同物质的结晶也是不相同的。

一般来说，分子量越大的元素结晶越快。

对于由C和O组成的白矮星，氧首先开始结晶，并将液态的碳挤出恒星中心区域。

于是，固态核中氧更丰富，而液态幔中碳更丰富。

分子量大的物质向中心富集也会导致引力能的释放。

第二节中子星

一般认为，大质量恒星演化最终出现的超新星爆发过程，自将占恒星大部分质量的外壳抛向太空的同时，坍缩的中心核将形成一颗中子星或者黑洞。

然而在对这种奇异的星体研究了近30年后，却一直没有在天空中找到它的身影。

当Hewish及其同事1968年宣布发现了第一颗脉冲星之后，人们立刻意识到，这可能就是寻找已久的中子星。

1.脉冲星的观测特性

●周期：

从毫秒到秒s

●周期变化：

dP/dt～10-15s/s

2.中子物质的状态方程

中子也是费米子，因此服从泡利不相容原理。

当密度足够高，使得中子相互接触时，就会产生简并现象。

中子的半径一般取为与中子的德布罗意波长同量级：

cm

当中子互相接触时，物质的密度约为：

g/cm3

这个密度常常被称为核物质密度。

在这么高的密度下，物质的状态方程是一个很复杂的问题。

首先是强相互作用，也就是核力，将对物质的状态方程起重要作用，而至今有核力存在时的物态本身还是一个正在研究的问题。

其次，密度如此之高，引力的广义相对论效应开始显著起来，增加了处理问题的难度。

如果假设中子处于非相对论性简并状态，就可以利用统计物理估计中子气体的简并压强为：

上式只是将电子质量和平均分子量换为中子质量和平均分子量而已。

类似地，当中子气体从非相对论性简并转变为相对论性简并后，状态方程也相应变成为：

可以预料，中子的简并压强可以支撑的恒星质量也会存在一个极大值。

但是由于受中子物质状态方程的影响，这个值存在较大的不确定性。

一般认为其值在2～3M⊙之间。

于是，中子星的典型半径为：

km

3.中子星的结构模型

由于简并中子物质的状态方程与温度无关，因此中子星的结构只由流体静力学平衡决定。

此时，广义相对论效应显著，必须对牛顿引力定律进行广义相对论修正：

利用状态方程和上述流体静力学平衡方程，就可以数值求解中子星的内部结构。

实际的模型计算表明，中子星内部可以分成以下几个区域：

●大气层（＜106g/cm3，厚度10cm）：

巨大的引力加速度造成此区域很薄，中子星的热辐射产生于大气中，并且此处的状态方程受到强大磁场的明显影响。

●外壳层（106g/cm3＜＜4×1011g/cm3，厚度0.3km）：

由原子核和电子组成，处于固态或液态。

随着电子费米能的增加，中子含量不断增加。

●内壳层（4×1011g/cm3＜＜2×1014g/cm3，厚度0.6km）：

由富中子的原子核、自由中子和电子组成。

在达到核物质密度时，几乎所有质子都变为中子了，原子核消失。

●内壳层（4×1011g/cm3＜＜2×1014g/cm3，厚度0.6km）：

由富中子的原子核、自由中子和电子组成。

在达到核物质密度时，几乎所有质子都变为中子了，原子核消失。

自由中子结合成对，形成超流中子流体。

●中子流体区（2×1014g/cm3＜＜core，厚度约10km）：

由超流中子、超流质子和电子组成。

此时中子数与质子数的比值为8:

1，这是因为此时所有粒子都是极端相对论性的，物质的电中性要求下述反应达到平衡：

np+e-+

于是，忽略中微子的化学势，根据热力学原理可以得到：

由于质子数必须等于电子数，从上式可以得到：

或者

为了使得单位质量的物质能量最小，这时可能存在夸克物质、或K介子等的凝聚相。

而这些问题至今理论界尚在研究中，是中子星内部最缺乏了解的区域。

4.中子星的磁偶极辐射模型

从观测上来说，射电脉冲星被认为是中子星的主要样本。

一般来说，中子星的极冠区具有1012高斯的典型磁场，并且普遍认为中子星的磁场结构是一个偶极场。

根据电动力学，磁多极子自转时会产生电磁辐射，并且偶极子的辐射效率最高。

因此，脉冲星的射电脉冲辐射被解释为一个磁偶极子的辐射，即所谓的“灯塔模型”。

设脉冲星极冠处磁场强度为B，那么磁矩m为：

其中R是脉冲星的半径。

如果自转轴与磁轴之间存在夹角（磁倾角），那么旋转磁偶极子的辐射功率为：

其中为自转角速度。

辐射只在极区两个亮斑发射出来，在其辐射束在天空中扫出巨大的圆锥。

当辐射束扫过观测者时，就将记录到一次脉冲。

于是，接收到的信号是一组间隔相等的脉冲。

正是这个观测特性，使得人们将这种奇异的天体称为脉冲星。

辐射能来源于脉冲星的自转能。

因此辐射功率应该等于自转能下降的速率：

其中I是星体的转动惯量。

在中子星内部，密度和角速度基本上是一个常数，于是转动惯量为：

于是，可以得到：

利用观测得到的中子星质量、半径和脉冲周期和周期变化率，可以估算出中子星极区的磁场强度。

另一方面，因为：

或者

如果脉冲星的磁场不随时间演化，那么上述方程的系数是常数。

于是，积分可以给出脉冲星的年龄为：

第三节黑洞

如果恒星的CO核很大，超新星爆发后留下的中心核质量超过了中子星的质量上限，那么中子物质的简并压强无法抵御引力，中心核继续坍缩形成黑洞。

1.视界

考虑一个质量为M，半径为R的天体，一个物体从其表面逃逸到无穷远所需要的速度为：

如果逃逸速度vesc等于光速，那么可以预料，连光子也无法脱离这个天体的控制。

于是，这将是一个黑的天体，被称为黑洞。

于是，对于一个质量为M的黑洞，其半径为：

km

上述结论是根据经典引力理论得到的。

在引力非常强时，应该用广义相对论理论来处理引力。

有趣的是，广义相对论表明，上述半径定义了一个称为视界的区域，在视界以内，物质将向中心运动，并且不可能与视界以外区域产生任何信息交流。

这个半径被称为Schwarzschild半径。

它不再是物质的表面，而是区分不同时空区域的一个分界线。

2.最小圆轨道半径

在牛顿引力理论中，围绕一个质量为M的点作圆运动的粒子的轨道半径可以任意的小。

但是，在广义相对论中，由于存在视界，因此粒子运动轨道的半径也就不可能任意地小了。

对于Schwarzschild时空来说，计算表明，轨道半径存在一个最小值：

在这个半径以内，物质粒子将快速下落进入黑洞。

3.引力红移

在强引力场中，光子的运动受引力作用，其频率会发生红移。

在Schwarzschild时空中，位于r处波长为的光子沿世界线运动至r处时波长变为，根据广义相对论，可以得到：

定义红移量z为：

一般来说，光子来自于黑洞视界附近，而观察者位于无限远，于是，可以得到红移量为：

……

4.光线偏折

如果光线以碰撞距离b投射向质量为M的天体，经过这个天体后，光线将偏转一个角度，在b>>Rs时，偏转角满足下述方程：

当比较小时，上式可以简化为：

原则上，可以利用这样一种偏折效应对光线进行汇聚，就如同利用透镜来汇聚光线一样。

这种效应被称为引力透镜效应，是研究不可见天体系统质量的一种很好的方法。