常数项级数.ppt

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2022/11/91无穷级数无穷级数无穷级数是研究函数的工具无穷级数是研究函数的工具表示函数表示函数研究性质研究性质数值计算数值计算常数项级数常数项级数幂级数幂级数傅立叶级数傅立叶级数第6章无穷级数函数项级数函数项级数一、一、常数项级数的概念常数项级数的概念二、二、收敛级数的基本性质收敛级数的基本性质6.1常数项级数的概念和性质三、三、收敛级数的必要条件收敛级数的必要条件一、常数项级数的概念一、常数项级数的概念引例引例.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.依次作圆内接正边形,这个和逼近于圆的面积A.设a0表示即内接正三角形面积,ak表示边数增加时增加的面积,则圆内接正1、定义定义：

给定一个数列将各项依次相加，记为：

称上式为常数项无穷级数常数项无穷级数，其中第n项叫做级数的一般项,如如以上均为以上均为常数项常数项级数级数.这样这样,所给所给级数对应一个部分和数列级数对应一个部分和数列:

2.级数的收敛与发散级数的收敛与发散为级数的为级数的称级数的称级数的前前n项和项和部分和部分和.常数项级数的概念常数项级数的概念则称无穷级数收敛收敛，并称S为级数的和和,记作：

则称无穷级数发散发散.解解（重要重要）例例讨论讨论等比级数等比级数（几何级数几何级数）的收敛性的收敛性.常数项级数的概念常数项级数的概念收敛收敛发散发散发散发散发散发散综上综上级数变为级数变为常数项级数的概念常数项级数的概念例例2.判别下列级数的敛散性:

解解:

（1）所以级数

（1）发散;技巧技巧:

利用“拆项相消拆项相消”求和

（2）所以级数

（2）收敛,其和为1.技巧技巧:

利用“拆项相消拆项相消”求和例例3证明调和级数发散.证明：

证明：

假设调和级数收敛于S,则但矛盾!

所以假设不真.二、无穷级数的基本性质二、无穷级数的基本性质性质性质1.若级数收敛于S,则各项乘以常数c所得级数也收敛,即其和为cS.性质性质2.设有两个收敛级数则级数也收敛,其和为发散发散.收敛收敛,发散发散,均发散均发散,敛散性敛散性不确定不确定.结论结论:

收敛收敛级数可以逐项相加与逐项相减级数可以逐项相加与逐项相减.例例:

都收敛都收敛,都都发散发散.但但收敛收敛.例例性质性质33添加或去掉添加或去掉有限项有限项不影响一个级数的敛散性不影响一个级数的敛散性.性质性质44设级数设级数收敛收敛,则对其各项任意加括号所得则对其各项任意加括号所得新级数新级数仍收敛仍收敛于原级数的和于原级数的和.一个级数加括号后所得新级数发散一个级数加括号后所得新级数发散,则原则原级数发散级数发散.注注常数项级数的概念常数项级数的概念收敛收敛发散发散一个级数加括号后收敛一个级数加括号后收敛,原级原级数不一定收敛数不一定收敛.例例4.判断级数的敛散性:

解解:

考虑加括号后的级数发散,从而原级数发散.三、级数收敛的必要条件三、级数收敛的必要条件设收敛级数则必有注注1:

若级数的一般项不趋于若级数的一般项不趋于0,则级数必发散则级数必发散.注注2:

并非级数收敛的充分条件.例如例如,调和级数虽然但此级数发散.常数项级数的基本概念常数项级数的基本概念基本审敛法基本审敛法3.按基本性质按基本性质则级数收敛则级数收敛由定义由定义,2.则级数发散则级数发散一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质常数项级数的概念常数项级数的概念四、小结四、小结级数收敛的必要条件级数收敛的必要条件记记住住1.等等比级数比级数（几何级数几何级数）的收敛性的收敛性1.2.调和级数发散调和级数发散