二面角的定义PPT课件.ppt

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（一一）二面角二面角1.1.半平面的定义半平面的定义一个平面内的一条直线将这个平面分成两部分,其中每一部分都叫半平面.从从一一条条直直线线出出发发的的两两个个半半平平面面所所组组成成的的图图形形叫叫做做二二面面角角,这这条条直直线线叫叫做做二二面面角角的棱的棱,这两个半平面叫做二面角的面这两个半平面叫做二面角的面.一一、二面角的定义二面角的定义二面角二面角2、二面角的表示方法、二面角的表示方法AB二面角二面角ABl二面角二面角l二面角二面角CABDABCDABCEFD二面角二面角CABE1、定义、定义二面角二二、二面角的平面角二面角的平面角ABPl1、定义、定义二面角的平面角必须满足二面角的平面角必须满足：

3）角的两边都要垂直于二面角的棱角的两边都要垂直于二面角的棱1）角的顶点在棱上角的顶点在棱上2）角的两边分别在两个面内角的两边分别在两个面内二面角的平面角的范围二面角的平面角的范围:

0,180二面角的大小用它的平面角的大小来度量二面角的大小用它的平面角的大小来度量以二面角的棱上任意一点为端点以二面角的棱上任意一点为端点,在两在两个面内分别作垂直于棱的两条射线个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两这两条射线所成的角叫做条射线所成的角叫做二面角二面角的的平面角平面角A1B1P1注意注意:

（与顶点位置无关与顶点位置无关）APB=A1P1B12、作二面角的平面角的常用方法、作二面角的平面角的常用方法、点、点P在棱上在棱上、点、点P在一个半平面上在一个半平面上、点、点P在二面角内在二面角内pABABpABOp定义法定义法三垂线定理法三垂线定理法垂面法垂面法二面角ABPMNCDO解解：

在在PB上取不同于上取不同于P的一点的一点O，在在内过内过O作作OCAB交交PM于于C，在在内作内作ODAB交交PN于于D，连结连结CD，可得：

可得：

设设PO=a，BPM=BPN=45CO=a，DO=a，PCa，PDa又又MPN=60CD=PCaCOD=90因此，二面角的度数为因此，二面角的度数为90例例1.如图如图,已知已知P是二面角是二面角棱上一点，过棱上一点，过P分别在分别在、内引内引射线射线PM、PN，且且MPN=600，BPM=BPN=450，求此二面角的度数。

求此二面角的度数。

COD是二面角是二面角的平面角的平面角一一“作作”二二“证证”三三“计算计算”33、讲解例题、讲解例题：

已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-BA-PC-B的大小。

的大小。

PABC1.定义法定义法：

D过过A作作ADPC于于D，E过过D作作DEPC于于D，交，交PB于于E，连结连结AE，则则ADE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。

二面角的求法1.定义法定义法：

则则BDE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。

连结连结BE，已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-BA-PC-B的大小的大小。

PABC过过B作作BDPC于于D，D过过D作作DEPC于于D，交，交AC于于E，E二面角的求法已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-BA-PC-B的大小。

的大小。

PABC2.三垂线定理法三垂线定理法：

D过过B作作BDPC于于D，则则BDE就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。

连结连结DE，过过B作作BEAC于于E，E二面角的求法PA面面ABC，面面PAC面面ABC，BE面面PAC，EDPC，ABC为正为正，BE=在在RtPAC中，中，E为为AC中点，中点，则则DE=tgBDE=BDE=arctg已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-BA-PC-B的大小。

的大小。

PABC2.三垂线定理法三垂线定理法：

连结连结AD，则则ADO就是此二面角的平面角就是此二面角的平面角。

D过过O作作ODPC于于D，O过过A作作AO面面BPC于于O，F连结连结PO并延长交并延长交BC于于F，二面角的求法已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-BA-PC-B的大小的大小。

3.射影面积法射影面积法：

则则POC就是就是PAC在面在面PBC上上的射影的射影。

PABCO过过A作作AO面面BPC于于O，二面角的求法F连结连结PO并延长交并延长交BC于于F，连结连结OC，已知正三角形已知正三角形ABCABC，PAPA面面ABCABC，且，且PA=AB=aPA=AB=a，求二面角求二面角A-PC-BA-PC-B的大小。

的大小。

PABC3射影面积法射影面积法：

则则PDC就是就是PBC在面在面PAC内的内的射影。

射影。

过过B作作BDAC于于D，D连结连结PD，二面角的求法几点说明几点说明：

定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱定义法是选择一个平面内的一点（一般为这个面的一个顶点）向棱作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。

此法得出的平面角在任作垂线，再由垂足在另一个面内作棱的垂线。

此法得出的平面角在任意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法意三角形中，所以不好计算，不是我们首选的方法。

三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另三垂线法是从一个平面内选一点（一般为这个面的一个顶点）向另一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。

此法一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线，连结这个点和棱上垂足。

此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法得出的平面角在直角三角形中，计算简便，所以我们常用此法。

垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选垂面法需在二面角之间找一点向两面作垂线，因为这一点不好选择，所以此法一般不用择，所以此法一般不用。

以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角以上三种方法作平面角都需写出作法、证明、指出平面角。

间接法是在不易作出平面角时用。

在解答题中要先证明射影面积公间接法是在不易作出平面角时用。

在解答题中要先证明射影面积公式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式式，然后指出平面的垂线，射影关系，再用公式,这种方法虽然避免这种方法虽然避免了找平面角，但计算较繁，所以不常用了找平面角，但计算较繁，所以不常用。

二面角的求法ABCD例例2.A为为二二面面角角CD的的棱棱CD上上一一点点，AB在在平平面面内内且且与与棱棱CD成成45角角，又又AB与与平平面面成成30，求求二二面角面角CD的大小。

的大小。

CO解：

作解：

作BC于于C，连结连结AC过过C作作COCD于于O，连结连结OB由三垂线定理可得：

由三垂线定理可得：

BOCDBOC是二面角是二面角的平面角的平面角则则所求二面角的大小为所求二面角的大小为45设设AO=a在在RtAOB中，中，BO=a,AB=a在在RtACB中，中，BAC=30,AB=a,BC=a在在RtBCO中，中，sinBOC=解：

解：

ABPlO二面角例例3如如图图P为为二二面面角角内内一一点点，PA,PB,且且PA=5，PB=8，AB=7，求这二面角的度数。

求这二面角的度数。

设过设过PA、PB的平面的平面PAB与棱与棱l交于交于O点点PAPAlPBPBll平面平面PABAOB为二面角为二面角的平面角的平面角又又PA=5，PB=8，AB=7由余弦定理得由余弦定理得P=60AOB=120所求二面角的度数为所求二面角的度数为120如图，正方体如图，正方体中，其棱中，其棱长为长为，求二面角求二面角的正切值。

的正切值。

例：

如图，正方体如图，正方体中，棱长中，棱长为为，求面求面和面和面所成二面角的大小。

所成二面角的大小。

变题变题1：