圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系.ppt

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九年级数学九年级数学（下下）第第2424章章圆圆24.2.324.2.3圆的对称性圆的对称性圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系同圆重重合的两个圆合的两个圆等圆半径相等的两个圆半径相等的两个圆同圆或等圆的半径相等同圆或等圆的半径相等圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系弧弧弦弦等弧等弧在同圆或等中，能够互相重合的两条弧叫做等弧在同圆或等中，能够互相重合的两条弧叫做等弧圆心角圆心角想一想想一想圆心角圆心角顶点在圆心的角顶点在圆心的角（如如AOB）.弦心距弦心距过圆心作弦的垂线过圆心作弦的垂线,圆心与垂足之间圆心与垂足之间的距离的距离（如线段如线段OD）.ABOD练习：

判别下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由。

OOOO圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在等圆中这两个这两个相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弦弦分别是哪两条？

分别是哪两条？

它们它们相等相等吗？

吗？

这两个这两个相等的圆心角相等的圆心角所对的所对的弧弧分别是哪两条？

分别是哪两条？

它们它们相等相等吗？

吗？

用尺量一量！

用尺量一量！

两位同学先作一个度数相同的圆心角！

两位同学先作一个度数相同的圆心角！

用什么方法验证的用什么方法验证的?

叠合法叠合法根据旋转的性质，将圆心角根据旋转的性质，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的的位置时，位置时，AOBAOB，射线，射线OA与与OA重合，重合，OB与与OB重重合而同圆的半径相等，合而同圆的半径相等，OA=OA，OB=OB，点点A与与A重重合，合，B与与B重合重合OAB探究探究OABABAB二、二、重合，重合，AB与与AB重合重合如图，将圆心角如图，将圆心角AOB绕圆心绕圆心O旋转到旋转到AOB的位置，你的位置，你能发现哪些等量关系？

为什么？

能发现哪些等量关系？

为什么？

与与圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角相等的圆心角所对的弧相等所对的弧相等，所对的弦所对的弦相等相等，所对的弦心距相等所对的弦心距相等前提条件前提条件三、巩固应用、变式练习三、巩固应用、变式练习1、判断题，下列说法正确吗？

为什么？

判断题，下列说法正确吗？

为什么？

（2）在）在O和和O中，如果中，如果AB=AB,那么那么AB=AB.（不对）（不对）（不对）（不对）

（1）如图：

因为）如图：

因为AOB=AOB，所以所以AB=AB.圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系

（1）定理：

定理：

在同圆中在同圆中，相等的圆心角所对的弦，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，所对的弦心距相相等，所对的弧相等，所对的弦心距相等。

等。

思考定理的条件和结论分别是什么？

并回答：

思考定理的条件和结论分别是什么？

并回答：

条件：

条件：

结论：

结论：

在等圆或同圆中在等圆或同圆中圆心角相等圆心角相等圆心角所对弧相等圆心角所对弧相等圆心角所对弦相等圆心角所对弦相等圆心角所对的弦心距相等圆心角所对的弦心距相等演示猜想：

猜想：

把圆心角相等与三个结论的任何一个把圆心角相等与三个结论的任何一个交换位置，有怎样的结果？

交换位置，有怎样的结果？

圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系在自己的圆内作两条长度相同的弦，量一在自己的圆内作两条长度相同的弦，量一量它们所对的圆心角量它们所对的圆心角圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系两位同学作一条长度数相同的弦，看两位同学作一条长度数相同的弦，看一看它们所对的圆心角是否相同一看它们所对的圆心角是否相同

（2）推论：

推论：

在同圆或等圆中在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

在同圆或等圆中在同圆或等圆中，相等的，相等的弧所对的圆心角弧所对的圆心角_，所对的弦所对的弦_；在同圆或等圆中在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角，相等的弦所对的圆心角_，所对的弧，所对的弧_弧、弦与圆心角的关系定理弧、弦与圆心角的关系定理在同圆或等圆中，在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也所对的弦也相等，所对的弦心距相等。

相等，所对的弦心距相等。

相等相等相等相等相等相等相等相等同圆或等圆中，同圆或等圆中，两个圆心角、两两个圆心角、两条弧、两条弦条弧、两条弦、两条弦的弦心距两条弦的弦心距中中有一组量相等，有一组量相等，它们所对应的其它们所对应的其余各组量也相余各组量也相等等三、定理三、定理推推论论在在同圆同圆或或等圆等圆中中,如果如果两个圆心角两个圆心角,两条弧两条弧,两条弦两条弦,两条弦心距两条弦心距中中,有一组量相等有一组量相等,那么它们所对应的那么它们所对应的其余各组量都分别相等其余各组量都分别相等.OABDABD如由条件如由条件:

AB=ABAB=ABOD=OD可推出可推出AOB=AOB一一.判断下列说法是否正确：

判断下列说法是否正确：

1相等的圆心角所对的弧相等。

（相等的圆心角所对的弧相等。

（）2相等的弧所对的弦相等。

（相等的弧所对的弦相等。

（）二二.如图，如图，OO中，中，AB=CD,AB=CD,，则，则OODDCCAABB12试一试你的能力试一试你的能力50o如图，如图，AB、CD是是O的两条弦的两条弦

（1）如果）如果AB=CD，那么，那么_，_

（2）如果）如果，那么，那么_，_（3）如果）如果AOB=COD，那么，那么_，_（4）如果）如果AB=CD，OEAB于于E，OFCD于于F，OE与与OF相等吗相等吗？

为什么？

为什么？

CABDEFOAB=CDAB=CD四、练习四、练习OEOF证明：

证明：

OEABOFCDABCDAECFOAOCRtAOERtCOFOEOF顶顶点点在在圆圆心心的的圆圆心心角角等等分分成成360360份份时时，每每一一份份的的圆圆心心角角是是11的的角角，整整个个圆圆周周被被等等分分成成360360份，我们把每一份这样的弧叫做份，我们把每一份这样的弧叫做11的弧的弧。

（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）（同圆中，相等的圆心角所对的弧相等）结结论论：

圆圆心心角角的的度度数数和和它所对的弧的度数相等。

它所对的弧的度数相等。

11弧的概念：

弧的概念：

证明：

证明：

AB=AC又又ACB=60，AB=BC=CA.AOBBOCAOC.ABCO五、例题五、例题例例1如图，在如图，在O中，中，,ACB=60,求求证证AOB=BOC=AOCPABCDOMN例例1：

如图，点如图，点O是是EPF平分线上的一点，平分线上的一点，以以O为圆心的圆和角的两边分别交于点为圆心的圆和角的两边分别交于点A、B和和C、D求证：

求证：

AB=CD证明：

作证明：

作OMAB，ONCD，M、N为垂足，为垂足，MPO=NPOOMABONCDOMABOMONABCDONCDABCDOMN变式变式11：

OABCDEFPMN变式变式2：

已知：

如图，已知：

如图，O的弦的弦AB，CD相交相交于点于点P，APO=CPO求证：

求证：

AB=CDABCDMNO如图如图M、N为为AB、CD的中点的中点,且且AB=CD.求证：

求证：

AMNCNM变式变式33：

例例22、在、在OO中，弦中，弦ABAB所对的所对的劣弧为圆的劣弧为圆的1/31/3，圆的半径为，圆的半径为22厘米，求厘米，求ABAB的长的长ABOC例例33、已已知知ABAB和和CDCD为为OO的的两两条条直直径径,弦弦CEAB,CEAB,ECEC弧弧的的度度数等于数等于4040.求求BODBOD的度数。

的度数。

22、已知：

如图，、已知：

如图，OO中，中，ABAB、CDCD交于交于EE，AD=BCAD=BC。

求证：

求证：

AB=CDAB=CD。

四、课堂练习四、课堂练习11、在、在OO中，直径为中，直径为1010厘米，厘米，ABAB弧是圆的弧是圆的1/41/4，求弦，求弦ABAB的长。

的长。

33、如图，、如图，OO中弦中弦ABAB，CDCD相交于相交于PP，且且AB=CD.AB=CD.求证：

求证：

PB=PDPB=PDPABCDO思考题：

思考题：

已知已知AB和和CD是是O的两条的两条弦，弦，OM和和ON分分别是别是AB和和CD的弦心距，如果的弦心距，如果ABCD，那那么么OM和和ON有什么关系？

为什么？

有什么关系？

为什么？

圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系圆中弧、圆心角、弦、弦心距的不等关系1、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小；、在同圆或等圆中，大弦的弦心距较小；2、在同圆或等圆中，大弧所对的圆心角、在同圆或等圆中，大弧所对的圆心角也较大。

也较大。

二、弦、弦心距之间的不等量关系二、弦、弦心距之间的不等量关系已知已知O中，弦中，弦ABCD，OMAB，ONCD，垂足分别为垂足分别为M，N，求证：

求证：

OMCD，那么那么OMON。

11、一条弦把圆分成、一条弦把圆分成33：

66两部分，则优弧所对两部分，则优弧所对的圆心角为的圆心角为.22、AA、BB、CC为为OO上三点，若上三点，若、的度数之比为的度数之比为11：

22：

33，则则AOB=AOB=，BOC=BOC=,COA=,COA=.33、在在OO中，中，ABAB弧的度数为弧的度数为6060，ABAB弧的长弧的长是圆周长的是圆周长的。

44、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆、一条弦长恰好等于半径，则此弦所对的圆心角是心角是度。

度。

三、基础练习：

三、基础练习：

240601201801/660AmBBCABCD6、如图，弦、如图，弦AB所对的劣弧所对的劣弧为圆的为圆的,则则AOB=.ACB=5、弦长为、弦长为24cm,这条弦的弦心距为这条弦的弦心距为cm，这条这条弦所对的圆心角是弦所对的圆心角是度，圆的半径度，圆的半径是是。

12012060三三,如图，在如图，在O中，中，AC=BD，,求求2的度数。

的度数。

你会做吗你会做吗?

解解:

AC=BDAC=BD（已知）（已知）AB=CDAB=CD1=2=451=2=45（在同圆中，相等的弧所对的（在同圆中，相等的弧所对的圆心角相等）圆心角相等）AC-BC=BD-BCAC-BC=BD-BC（等式的性质）（等式的性质）如图，如图，AB是是O的直径，的直径，COD=35，求，求AOE的度数的度数AOBCDE解：

解：

六、练习六、练习o小结小结:

o在在同圆同圆或或等圆等圆中中,如果如果两个圆心角两个圆心角,o两条弧两条弧,两条弦两条弦,两条弦心距两条弦心距中中,o有一组量相等有一组量相等,那么它们所对应的那么它们所对应的o其余各组量都分别相等其余各组量都分别相等.