参数方程.ppt.ppt

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第二讲：

参数方程第二讲：

参数方程曲线的参数方程曲线的参数方程？

救援点救援点救援点救援点投放点投放点投放点投放点一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面一架救援飞机在离灾区地面500m500m高处高处高处高处100m/s100m/s的速的速的速的速度作水平直线飞行。

为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。

为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。

为使投放救援物资准确落于灾区指度作水平直线飞行。

为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？

机呢？

机呢？

机呢？

即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始即求飞行员在离救援点的水平距离多远时，开始投放物资？

投放物资？

投放物资？

投放物资？

如图，建立平面直角坐标系。

如图，建立平面直角坐标系。

如图，建立平面直角坐标系。

如图，建立平面直角坐标系。

因此因此因此因此,不易直接建立不易直接建立不易直接建立不易直接建立x,yx,y所满所满所满所满足的关系式。

足的关系式。

足的关系式。

足的关系式。

xx表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，表示物资的水平位移量，yy表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，表示物资距地面的高度，由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向由于水平方向与竖直方向上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，上是两种不同的运动，xy500o物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：

物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：

物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：

物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：

（11）沿）沿）沿）沿oxox作初速为作初速为作初速为作初速为100m/s100m/s的匀速直线运动；的匀速直线运动；的匀速直线运动；的匀速直线运动；（22）沿）沿）沿）沿oyoy反方向作自由落体运动。

反方向作自由落体运动。

反方向作自由落体运动。

反方向作自由落体运动。

在这个运动中涉及到哪几个变量？

这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？

这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？

这些变量之间有在这个运动中涉及到哪几个变量？

这些变量之间有什么关系？

什么关系？

什么关系？

什么关系？

tt时刻，水平位移为时刻，水平位移为时刻，水平位移为时刻，水平位移为x=100tx=100t，离地面高度，离地面高度，离地面高度，离地面高度yy，即：

，即：

，即：

，即：

y=500-gty=500-gt22/2/2，物资落地时，应有物资落地时，应有物资落地时，应有物资落地时，应有y=0y=0，得得得得x10.10mx10.10m；即即即即500-gt500-gt22/2=0/2=0，解得，解得，解得，解得，t10.10st10.10s，因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为因此飞行员在距离救援点水平距离约为10101010米时投米时投米时投米时投放物资，可以使其准确落在指定位置。

放物资，可以使其准确落在指定位置。

放物资，可以使其准确落在指定位置。

放物资，可以使其准确落在指定位置。

参数方程的概念：

参数方程的概念：

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标点的坐标x，y都是某个变数都是某个变数t的函数的函数那么方程组就叫做这条曲线的那么方程组就叫做这条曲线的参数方程参数方程，联系变数，联系变数x,y的变数的变数t叫做叫做参变数参变数，简称，简称参数参数。

并且对于并且对于t的每一个允许值，由方程组所确定的点的每一个允许值，由方程组所确定的点M（x,y）都在这条曲线上，都在这条曲线上，参数是联系变数参数是联系变数参数是联系变数参数是联系变数x,yx,y的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义的桥梁，可以是一个有物理意义或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

或几何意义的变数，也可以是没有明显实际意义的变数。

相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。

方程叫做普通方程。

方程叫做普通方程。

方程叫做普通方程。

例例例例1:

1:

已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线CC的参数方程是的参数方程是的参数方程是的参数方程是（为参数）（为参数）（为参数）（为参数）

（1）

（1）判断点判断点判断点判断点MM11（0（0，1）1），MM22（5（5，4）4）与曲线与曲线与曲线与曲线CC的位置关系；的位置关系；的位置关系；的位置关系；

（2）

（2）已知点已知点已知点已知点MM33（66，aa）在曲线）在曲线）在曲线）在曲线CC上，求上，求上，求上，求aa的值。

的值。

的值。

的值。

解：

解：

解：

解：

（1）

（1）把点把点把点把点MM11的坐标的坐标的坐标的坐标（0,1）（0,1）代入方程组，解得代入方程组，解得代入方程组，解得代入方程组，解得t=0t=0，所以所以所以所以MM11在曲线上在曲线上在曲线上在曲线上把点把点把点把点MM22的坐标的坐标的坐标的坐标（5,4）（5,4）代入方程组，得到代入方程组，得到代入方程组，得到代入方程组，得到这个方程无解，所以点这个方程无解，所以点这个方程无解，所以点这个方程无解，所以点MM22不在曲线不在曲线不在曲线不在曲线CC上上上上

（2）

（2）因为点因为点因为点因为点MM33（6,a）（6,a）在曲线在曲线在曲线在曲线CC上，所以上，所以上，所以上，所以解得解得解得解得t=2,a=9t=2,a=9所以，所以，所以，所以，a=9.a=9.练习：

一架救援飞机以练习：

一架救援飞机以练习：

一架救援飞机以练习：

一架救援飞机以100m/s100m/s的速度作水平直线飞的速度作水平直线飞的速度作水平直线飞的速度作水平直线飞行行行行.在离灾区指定目标在离灾区指定目标在离灾区指定目标在离灾区指定目标1000m1000m时投放救援物资（不计空气时投放救援物资（不计空气时投放救援物资（不计空气时投放救援物资（不计空气阻力阻力阻力阻力,重力加速重力加速重力加速重力加速g=10m/sg=10m/s）问此时飞机的飞行高度约是多）问此时飞机的飞行高度约是多）问此时飞机的飞行高度约是多）问此时飞机的飞行高度约是多少？

（精确到少？

（精确到少？

（精确到少？

（精确到1m1m）x=100t=1000,x=100t=1000,t=10,t=10,y=gty=gt22/2=1010/2=101022/2=500m./2=500m.练习练习练习练习11、曲线、曲线、曲线、曲线与与与与xx轴的交点坐标是轴的交点坐标是轴的交点坐标是轴的交点坐标是（）（）BBA（1A（1，4）4）；B（25/16,0）C（1,-3）D（25/16,0）B（25/16,0）C（1,-3）D（25/16,0）22、方程、方程、方程、方程所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是所表示的曲线上一点的坐标是（）（）DDA（2A（2，7）7）；B（1/3,2/3）C（1/2,1/2）D（1B（1/3,2/3）C（1/2,1/2）D（1，0）0）33已知曲线已知曲线已知曲线已知曲线CC的参数方程是的参数方程是的参数方程是的参数方程是点点点点M（5,4）M（5,4）该曲线上该曲线上该曲线上该曲线上.

（1）

（1）求常数求常数求常数求常数a;a;（22）求曲线）求曲线）求曲线）求曲线CC的普通方程的普通方程的普通方程的普通方程

（1）

（1）由题意可知由题意可知由题意可知由题意可知:

1+2t=5:

1+2t=5，atat22=4=4；a=1a=1，t=2t=2；代入第二个方程得代入第二个方程得代入第二个方程得代入第二个方程得:

y=（x-1）:

y=（x-1）22/4/444动点动点动点动点MM作等速直线运动作等速直线运动作等速直线运动作等速直线运动,它在它在它在它在xx轴和轴和轴和轴和yy轴方向的速轴方向的速轴方向的速轴方向的速度分别为度分别为度分别为度分别为55和和和和12,12,运动开始时位于点运动开始时位于点运动开始时位于点运动开始时位于点P（1,2）,P（1,2）,求点求点求点求点MM的轨迹的轨迹的轨迹的轨迹参数方程参数方程参数方程参数方程.解：

设动点解：

设动点解：

设动点解：

设动点M（M（x,yx,y）运动时间为运动时间为运动时间为运动时间为tt，依题意，得，依题意，得，依题意，得，依题意，得AA一个定点一个定点一个定点一个定点BB一个椭圆一个椭圆一个椭圆一个椭圆CC一条抛物线一条抛物线一条抛物线一条抛物线DD一条直线一条直线一条直线一条直线DAABBCCDD55下列在曲线下列在曲线下列在曲线下列在曲线上的点是上的点是上的点是上的点是（）（）B（44）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程）证明这个参数方程就是所由于的曲线的方程.参数方程求法参数方程求法参数方程求法参数方程求法:

（11）建立直角坐标系）建立直角坐标系）建立直角坐标系）建立直角坐标系,设曲线上任一点设曲线上任一点设曲线上任一点设曲线上任一点PP坐标为坐标为坐标为坐标为;（22）选取适当的参数）选取适当的参数）选取适当的参数）选取适当的参数;（33）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质）根据已知条件和图形的几何性质,物理意义物理意义物理意义物理意义,建立点建立点建立点建立点PP坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式坐标与参数的函数式;圆的参数方程圆的参数方程yyxxoorrM（xM（x,y）,y）圆周运动中，当物圆周运动中，当物圆周运动中，当物圆周运动中，当物体绕定轴作匀速运动体绕定轴作匀速运动体绕定轴作匀速运动体绕定轴作匀速运动时，物体上的各个点时，物体上的各个点时，物体上的各个点时，物体上的各个点都作匀速圆周运动，都作匀速圆周运动，都作匀速圆周运动，都作匀速圆周运动，怎样刻画运动中点怎样刻画运动中点怎样刻画运动中点怎样刻画运动中点的位置呢？

的位置呢？

的位置呢？

的位置呢？

那么那么那么那么=tt.设设设设|OM|=r|OM|=r，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有，那么由三角函数定义，有如果在时刻如果在时刻如果在时刻如果在时刻tt，点，点，点，点MM转过的角度是转过的角度是转过的角度是转过的角度是，坐标是，坐标是，坐标是，坐标是M（xM（x,y）,y），即即即即这就是圆心在原点这就是圆心在原点这就是圆心在原点这就是圆心在原点OO，半径为，半径为，半径为，半径为rr的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程的圆的参数方程参数参数参数参数tt有物理意义有物理意义有物理意义有物理意义（质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻质点作匀速圆周运动的时刻）考虑到考虑到考虑到考虑到=tt，也可以取，也可以取，也可以取，也可以取为参数，于是有为参数，于是有为参数，于是有为参数，于是有圆心为原点半径为圆心为原点半径为圆心为原点半径为圆心为原点半径为rr的圆的参数方程的圆的参