初中数学整式.pptx

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第二讲整式一、整式的有关概念积数字因数字母指数2.同类项:

所含字母_,且相同字母指数也_的单项式.【特别提醒】所有的常数项都是同类项.相同相同二、整式的有关运算运算运算性性质或法或法则幂的运的运算算（m,n（m,n为正整数正整数,且且mn）mn）同底数同底数幂相乘相乘aammaann=_=_同底数同底数幂相除相除aammaann=_（a0）=_（a0）幂的乘方的乘方（a（amm）nn=_=_积的乘方的乘方（ab）（ab）nn=_=_am+nam-namnanbn运算运算性性质或法或法则整整式式的的乘乘法法单项式乘式乘单项式式_分分别相相乘乘,只只在一个在一个单项式中出式中出现的字母的字母,连同同它的它的_一起作一起作为积的一个的一个因式因式单项式乘式乘多多项式式m（a+b+c）=_m（a+b+c）=_多多项式乘式乘多多项式式（a+b）（m+n）=_（a+b）（m+n）=_平方差公式平方差公式:

（a+b）（a-:

（a+b）（a-b）=_b）=_完全平方公式完全平方公式:

（ab）:

（ab）22=_=_系数、相同字母的幂ma+mb+mcam+an+bm+bna2-b2a22ab+b2指数运算运算性性质或法或法则整整式式的的除除法法单项式除式除以以单项式式将系数、同底数将系数、同底数幂分分别_,_,作作为商的一个因式商的一个因式,对于只在被除于只在被除式中式中含有的字母含有的字母,则连同它的指数同它的指数作作为商的一个因式商的一个因式.多多项式除式除以以单项式式先把多先把多项式的每一式的每一项除以除以这个个单项式式,再把所得的商再把所得的商_._.相除相加考点一列代数式及求代数式的值【典例1】

（1）（2016威海中考）若x2-3y-5=0,则6y-2x2-6的值为（）A.4B.-4C.16D.-16

（2）（2016内江中考）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,请仔细观察,第n个图形有_个小圆.（用含n的代数式表示）【思路点拨】

（1）代入求值.

（2）根据排列规律,分中间和周围两部分求解.【自主解答】

（1）选D.x2-3y-5=0,x2-3y=5.6y-2x2-6=-2（x2-3y）-6=-25-6=-16.

（2）观察图形知,第1个图形中间有12个小圆,加上周围4个小圆,第2个图形中间有23个小圆,加上周围4个小圆,第3个图形中间有34个小圆,加上周围4个小圆,第n个图形中间有n（n+1）个小圆,加上周围4个小圆,即有n2+n+4个小圆.答案:

n2+n+4【名师点津】整体代入法求代数式值的三种方法

（1）直接整体代入求值:

如果已知的代数式与要求的代数式之间都含有相同的式子,只要把已知式子的值直接代入到要求的式子中,即可得出结果.

（2）把已知式子变形后再整体代入求值:

如果题目中所求的代数式与已知代数式成倍数关系,各字母的项的系数对应成比例,就可以把这一部分看作一个整体,再把要求值的代数式变形后整体代入计算求值.（3）把所求式子和已知式子都变形,再整体代入求值:

将已知条件和所求的代数式同时变形,使它们含有相同的式子,再将变形后的已知条件代入变形后的要求的代数式,计算得出结果.【题组过关】1.（2016呼和浩特中考）某企业今年3月份产值为a万元,4月份比3月份减少了10%,5月份比4月份增加了15%,则5月份的产值是（）A.（a-10%）（a+15%）万元B.a（1-90%）（1+85%）万元C.a（1-10%）（1+15%）万元D.a（1-10%+15%）万元【解析】选C.3月份产值为a万元,则4月份产值为a（1-10%）万元,5月份产值为a（1-10%）（1+15%）万元.【知识归纳】列代数式四规范1.表示数与字母或字母与字母的积时,“”可以用“”代替或省略不写.2.带分数与字母相乘时,要化成假分数.3.除号用分数线表示.4.结果带单位时,若表示结果的式子是多项式,则必须用括号把多项式括起来.2.（2016淮安中考）已知a-b=2,则代数式2a-2b-3的值是（）A.1B.2C.5D.7【解析】选A.a-b=2,2a-2b-3=2（a-b）-3=22-3=1.3.（2016临沂中考）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形,则第n个图形中小正方形的个数是（）A.2n+1B.n2-1C.n2+2nD.5n-2【解析】选C.第1个图形中,小正方形的个数是:

22-1=3;第2个图形中,小正方形的个数是:

32-1=8;第3个图形中,小正方形的个数是:

42-1=15;,第n个图形中,小正方形的个数是:

（n+1）2-1=n2+2n+1-1=n2+2n.考点二整式的相关概念及整式加减【典例2】

（1）（2015厦门中考）已知一个单项式的系数是2,次数是3,则这个单项式可以是（）A.-2xy2B.3x2C.2xy3D.2x3

（2）（2016白银中考）如果单项式2xm+2nyn-2m+2与x5y7是同类项,那么nm的值是_.【思路点拨】

（1）依据单项式的次数及系数进行判断.

（2）根据同类项的定义列关于m,n的方程组,求出m,n的值.【自主解答】

（1）选D.此题规定了单项式的系数和次数,但没规定单项式中含几个字母.A.-2xy2系数是-2,错误;B.3x2系数是3,错误;C.2xy3次数是4,错误;D.2x3符合系数是2,次数是3,正确.

（2）根据题意得:

则nm=3-1=.答案:

【名师点津】整式加减步骤及注意问题

（1）一般步骤:

先去括号,再合并同类项.

（2）注意问题:

去括号时要注意两个方面:

括号前有数字因数时,去掉括号,因数要乘以括号内的每一项;括号前面是负号时,去掉括号,括号内的每一项都要改变符号.【题组过关】1.（2016上海中考）下列单项式中,与a2b是同类项的是（）A.2a2bB.a2b2C.ab2D.3ab【解析】选A.含有相同字母,并且相同字母的指数相同的单项式为同类项.2.（2015通辽中考）下列说法中,正确的是（）A.-x2的系数是B.a2的系数是C.3ab2的系数是3aD.xy2的系数是【解析】选D.A.-x2的系数是-,故本选项错误;B.a2的系数是,故本选项错误;C.3ab2的系数是3,故本选项错误;D.xy2的系数是,故本选项正确.3.（2015龙岩中考）先化简,再求值:

3（2x+1）+2（3-x）,其中x=-1.【解析】原式=6x+3+6-2x=4x+9,当x=-1时,原式=4（-1）+9=5.考点三幂的运算【典例3】

（1）（2016泰安中考）下列计算正确的是（）A.（a2）3=a5B.（-2a）2=-4a2C.m2m3=m6D.a6a2=a4

（2）（2015大庆中考）若a2n=5,b2n=16,则（ab）n=_.【思路点拨】

（1）根据幂的运算性质进行判断.

（2）逆用幂的乘方,计算出an,bn的值,再根据积的乘方进行计算.【自主解答】

（1）选D.A.（a2）3=a6a5,故错误;B.（-2a）2=4a2-4a2,故错误;C.m2m3=m5m6,故错误;D.a6a2=a6-2=a4,正确.

（2）a2n=5,b2n=16,（an）2=5,（bn）2=16,an=,bn=4,（ab）n=anbn=4,答案:

4【名师点津】幂的运算的应用

（1）同底数幂的乘除法应用的前提是底数必须相同,若底数互为相反数时,要应用积的乘方处理好符号问题,转化成同底数,再应用法则.

（2）同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方混合运算的时候要注意三个方面:

一是运算顺序,二是正确选择法则,三是运算符号.【题组过关】1.（2016南京中考）下列计算中,结果是a6的是（）A.a2+a4B.a2a3C.a12a2D.（a2）3【解析】选D.A中,不是同类项不能相加减;B中,a2a3=a5,故错误,C中a12a2=a12-2=a10,故错误.D是正确的.2.（2016青岛中考）计算aa5-（2a3）2的结果为（）A.a6-2a5B.-a6C.a6-4a5D.-3a6【解析】选D.本题考查同底数幂的乘法,积的乘方,合并同类项.aa5-（2a3）2=a6-4a6=-3a6.3.（2015安顺中考）计算:

（-3）2013=_.【解析】（-3）2013答案:

9【方法指导】底数互为倒数（或负倒数）的两个幂相乘:

（1）若指数相同,则直接逆用积的乘方.即am=

（1）m.

（2）若指数不相同,则先逆用同底数幂的乘法,把指数较大的幂写成两个同底数幂的积,构成

（1）中的情况再进行计算.考点四整式乘除【考情分析】整式的乘除及乘法公式的层级为了解、理解并能应用,在各地的中考考查中均有体现,特别是乘法公式的应用是一个重要的考向,考查的方式为直接应用公式或法则计算,公式的变形应用,公式的几何背景及计算几何图形的面积等,以选择题、填空题的形式呈现,整式的化简求值多以解答题的形式考查.命题角度1:

整式的乘除【典例4】（2015福州中考）计算（x-1）（x+2）的结果是_.【思路点拨】根据多项式乘以多项式的法则计算.【自主解答】（x-1）（x+2）=x2+2x-x-2=x2+x-2.答案:

x2+x-2命题角度2:

乘法公式的应用【典例5】（2015邵阳中考）已知a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为（）A.3B.4C.5D.6【思路点拨】应用完全平方公式,找到a2+b2与（a+b）2及ab之间的关系,代入数值整体求值.【自主解答】选C.a2+b2=（a+b）2-2ab=9-4=5.【母题变式】（改变问法）本题条件不变,求a-b的值.提示:

利用（a-b）2=（a+b）2-4ab,整体代入求值,然后再开方.得a-b=1.命题角度3:

化简求值【典例6】（2015随州中考）先化简,再求值:

（2+a）（2-a）+a（a-5b）+3a5b3（-a2b）2,其中ab=-.【思路点拨】化简后整体代入求值.【自主解答】原式=4-a2+a2-5ab+3ab=4-2ab,当ab=-时,原式=4+1=5.【母题变式】（变换条件）其中a,b的值是关于x的一元二次方程2x2-mx-1=0的两个根.提示:

根据根与系数的关系得到ab=-.化简后整体代入求值得5.【名师点津】整式的乘法运算中的四点注意

（1）单项式乘多项式就是运用乘法分配律将其转化成单项式乘单项式,再把所得的积相加.

（2）在运算时,要注意每一项的符号.（3）单项式乘多项式,积的项数与多项式的项数一样.（4）不要漏乘多项式中的项,特别是多项式中含有+1或-1的项.【题组过关】1.（2016威海中考）下列运算正确的是（）A.x3+x2=x5B.a3a4=a12C.（-x3）2x5=1D.（-xy）3（-xy）-2=-xy【解析】选D.x3与x2不能合并,故A错误.a3a4=a3+4=a7,故B错误.（-x3）2x5=x6x5=x,故C错误.（-xy）3（-xy）-2=（-xy）3-2=（-xy）1=-xy.故D正确.2.（2015淄博中考）已知则x2+xy+y2的值为（）A.2B.4C.5D.7【解题指南】把x2+xy+y2表示成（x+y）2-xy,代入求值.【解析】选B.原式=（x+y）2-xy=5-1=4.【知识拓展】完全平方公式的常见变形

（1）a2+b2=（a+b）2-2ab.

（2）a2+b2=（a-b）2+2ab.（3）（a+b）2=（a-b）2+4ab.（4）（a-b）2=（a+b）2-4ab.3.（2015广元中考）下列运算正确的是（）A.（-ab2）3（ab2）2=-ab2B.3a+2a=5a2C.（2a+b）（2a-b）=2a2-b2D.（2a+b）2=4a2+b2【解析】选A.A.（-ab2）3（ab2）2=-a3-2b6-4=-ab2,故本选项正确;B.3a+2a=（3+2）a=5a,故本选项错误;C.（2a+b）（2a-b）=4a2-b2,故本选项错误;D.（2a+b）2=4a2+4ab+b2,故本选项错误.4.（2016巴中中考）已知:

a+b=3,ab=2,则（a-b）2=_.【解析】（a-b）2=a2-2ab+b2=a2-2ab+b2+4ab-4ab=a2+2ab+b2-4ab=（a+b）