24.1.4圆周角.ppt

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24.1.4圆周角周角回回忆忆1.什么叫圆心角什么叫圆心角?

.OAB顶点在圆心的角叫圆心角顶点在圆心的角叫圆心角2.圆心角、弧、弦三个量之间关圆心角、弧、弦三个量之间关系的一个结论，这个结论是什么系的一个结论，这个结论是什么？

在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一在同圆（或等圆）中，如果圆心角、弧、弦有一组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别组量相等，那么它们所对应的其余两个量都分别相等。

相等。

探探究究.OA问题：

将圆心角顶点向上移，直至与问题：

将圆心角顶点向上移，直至与O相交于点相交于点C?

观察得到的观察得到的ACB有什么特征？

有什么特征？

C顶点在圆上顶点在圆上两边都与圆相交两边都与圆相交这样的角叫这样的角叫圆周角。

圆周角。

B问题探讨：

问题探讨：

判断下列图形中所画的判断下列图形中所画的P是否为圆周角？

并说明理由。

是否为圆周角？

并说明理由。

PPPP不是不是是是不是不是不是不是顶点不顶点不在圆上。

在圆上。

顶点在圆上，顶点在圆上，两边和圆相两边和圆相交。

交。

两边不和两边不和圆相交。

圆相交。

有一边和圆有一边和圆不相交。

不相交。

.CABO如如图，连接接AO，BO，得到，得到圆心角心角AOB。

可以可以发现ACB与与AOB对着同一条着同一条弧弧AB，它，它们之之间存在什么关系？

存在什么关系？

测量量发现：

ACB=AOB即同弧所对的即同弧所对的圆周角度数圆周角度数等于这条弧所对的等于这条弧所对的圆心圆心角角度数度数的一半的一半探探究究也可以看成经过折叠而成也可以看成经过折叠而成折痕与圆周角的关系折痕与圆周角的关系.你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？

你能画出同弧所对的圆周角和圆心角吗？

你能证明你的发现你能证明你的发现（即同弧所对的圆周角度数等于（即同弧所对的圆周角度数等于这条弧所对的圆心角的一半）这条弧所对的圆心角的一半）吗？

吗？

ABCOABCOABCO分析论证分析论证1.首先考虑一种特殊情况：

首先考虑一种特殊情况：

当当圆心心（O）在在圆周角周角（BAC）的一的一边（BA）上上时,圆周角周角BAC与与圆心角心角BOC的大小关系的大小关系.ABCOOA=OCA=C又又BOC=ACBOC=2A即即A=BOC分析论证分析论证你能你能证明第明第2种情况种情况吗？

ABCOD提示：

作射提示：

作射线AO交交O于于D。

转化化为第第1种情况种情况证明：

由第证明：

由第1种情况得种情况得即即BAC=BOCBADBODCADCODBADCADBODCOD分析论证分析论证你能你能证明第明第3种情况种情况吗？

证明：

作射明：

作射线AO交交O于于D。

由第由第1种情况得种情况得即即BAC=BOCBADBODCADCODCADBADCODBODABCOD问题解决：

问题解决：

综上所述：

我们得到：

综上所述：

我们得到：

同弧所对的同弧所对的圆周角度圆周角度数数等于这条弧所对的等于这条弧所对的圆心角的一半圆心角的一半ABCOABCOABCO即即BAC=BOC圆周角定理：

在同圆或等圆中在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

推论推论：

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，：

在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦一定相等。

那么它们所对的弧相等，所对的弦一定相等。

思考思考：

定理中的：

定理中的“同弧或等弧同弧或等弧”能否改为能否改为“同弦或等弦同弦或等弦”？

如图，在如图，在O中，若中，若AMB=CMD，则则是否相是否相等？

等？

BAO.70x1、求圆中角、求圆中角x的度数。

的度数。

AO.x1202、如图，在直径为如图，在直径为AB的半圆中，的半圆中，O为圆心，为圆心，C、D为半圆上的两点，为半圆上的两点，CAD=260，则，则COD=_3512052练一练练一练3、如、如图，在，在O中，中，ABC=50，则AOC等于（等于（）A、50；B、80；C、90；D、100ACBOD4、如、如图，ABC是等是等边三角形，三角形，动点点P在在圆周的劣弧周的劣弧AB上，且不上，且不与与A、B重合，重合，则BPC等于（等于（）A、30；B、60；C、90；D、45CABPB练习：

练习：

如如图，点，点A、B、C、D在同一个在同一个圆上，四上，四边形形ABCD的的对角角线把把4个内角分成个内角分成8个角，个角，这些角中哪些是相等的角？

些角中哪些是相等的角？

D12345678ABC14273658解：

解：

问题1：

如：

如图，AB是是O的直径，的直径，请问：

C1、C2、C3的度数是的度数是。

ABOC1C2C3推论：

推论：

半圆（或直径）所对的半圆（或直径）所对的圆周角是圆周角是直角直角；90的圆周角的圆周角所对的弦是所对的弦是直径直径。

问题2：

若若C1、C2、C3是是直角，那么直角，那么AOB是是。

90180探究与思考：

内接多边形内接多边形如果一个多边形的所有顶点都在同如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做一个圆上，这个多边形叫做圆内接圆内接多边形多边形，这个圆叫做这个多边形的，这个圆叫做这个多边形的外接圆外接圆.如如图：

四：

四边形形ABCD是是O的的内接四内接四边形形，O是四是四边形形ABCD的的外接外接圆.利用圆周角定理：

我们可得利用圆周角定理：

我们可得圆内接四边形的对角互补。

圆内接四边形的对角互补。

在在同圆同圆中，中，同弦同弦所对的所对的圆周角圆周角相等或相等或互补互补2、如图，圆心角、如图，圆心角AOB=100，则，则ACB=。

OABCBAO.70x1、求圆中角、求圆中角x的度数。

的度数。

AO.x1203、如图，在直径为如图，在直径为AB的半圆中，的半圆中，O为圆心，为圆心，C、D为半圆上的两点，为半圆上的两点，CAD=260，则，则COD=_3512013052练一练练一练1、如、如图，在，在O中，中，ABC=50，则AOC等于（等于（）A、50；B、80；C、90；D、100ACBOD2、如、如图，ABC是等是等边三角形，三角形，动点点P在在圆周的劣弧周的劣弧AB上，且不上，且不与与A、B重合，重合，则BPC等于（等于（）A、30；B、60；C、90；D、45CABPB3、如、如图，A=50，ABC=60BD是是O的直径，的直径，则AEB等于（等于（）A、70；B、110；C、90；D、120B4、如、如图，ABC的的顶点点A、B、C都在都在O上，上，C30，AB2，则O的半径是的半径是。

ACBODECABO解：

解：

连接接OA、OBC=30，AOB=60又又OA=OB，AOB是等是等边三角形三角形OA=OB=AB=2，即半径，即半径为2。

2在在O中，一条弦的中，一条弦的长等于半径的等于半径的长，求求这条弦所条弦所对的的圆周角。

周角。

5、如、如图，AB是是O的直径，的直径，BD是是O的弦，延的弦，延长BD到点到点C，使使DC=BD，连接接AC交交O于点于点F，点，点F不与点不与点A重合。

重合。

AB与与AC的大小有什么关系？

的大小有什么关系？

为什么？

什么？

ACBDFO解：

解：

AB=AC。

证明：

明：

连接接AD又又DC=BD，AB=AC。

AB是直径，是直径，ADB=90，6.如如图，O的直径的直径AB为10cm，弦，弦AC为6cm，ACB的平分的平分线交交O于于D，求，求BC、AD、BD的的长.7.求证，如果三角形一边上的中线等于这条求证，如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

边的一半，那么这个三角形是直角三角形。