有限元(梁系)2014版.ppt

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拉压杆问题的回顾1、杆的基本概念：

杆-轴线为直线的细长构件，沿轴线承受拉（压）载荷；杆模型-平面假设将杆简化为一维问题，可由杆轴线代表；杆变形特点-只与轴向位移相关；拉压杆问题的回顾2、杆有限元的基本概念节点位移轴向位移，每节点1个自由度；节点力轴力；结构离散：

轴线划分为若干直线段；单元分析：

建立节点力与节点位移关系；节点平衡：

对每一节点，建立相关节点力与外力的平衡关系，得到一线性方程组；约束处理：

引入已知节点位移，使方程组可解第三章第三章梁系结构的有限元法梁系结构的有限元法梁的基本概念梁的基本概念梁-承受弯曲变形的杆形构件；梁模型-平面假设将梁简化成一维问题，可由截面上两中性轴交点的连线（梁轴线）代表；梁的变形特点既与挠度关联，也与弯角关联；（分别展示四种基本情况）；挠度与弯角的关联性：

弯角为挠度沿轴线方向的一阶导数（斜率，小变形）。

梁单元的基本概念节点位移-平面梁：

挠度和弯角，2自由度；广义平面梁：

增加1个轴向位移（拉压），3自由度；空间梁：

两向挠度和两向转角，4自由度；广义空间梁（略）；节点力按做功方式与节点位移一一对应，如：

挠度对应剪力，弯角对应弯矩，等等。

梁结构有限元法的基本步骤vv结结构构离离散散-梁梁结结构构离离散散为为若若干干个个单单元元，之之间间以以节节点相连，节点为相邻单元共有点相连，节点为相邻单元共有（连续性）；（连续性）；vv单单元元分分析析-建建立立单单元元节节点点力力与与节节点点位位移移的的关关系系；包包括括：

单单元元位位移移插插值值、应应变变与与应应力力分分析析，节节点点力力合成；合成；vv节节点点平平衡衡-对对于于每每一一节节点点，建建立立所所有有相相关关的的节节点点力与外力的平衡关系力与外力的平衡关系；得到一线性方程组；得到一线性方程组；vv约约束束处处理理引引入入已已知知节节点点位位移移（约约束束条条件件），使使上述方程组成为可解方程组；上述方程组成为可解方程组；vv求求解解节节点点位位移移，进进一一步步可可计计算算单单元元应应变变和和应应力力以以及约束节点力。

及约束节点力。

梁单元分析梁单元分析一、平面梁单元的位移函数1.1.梁单元的局部坐标系梁单元的局部坐标系l（e）ij设单元的位移函数为：

设单元的位移函数为：

有：

其中为待定系数确定待定系数：

l（e）ij把待定系数代入位移插值函数，有：

容易验证：

（3-1a），（3-1b）或（3-2a），（3-2b）称为平面梁单元的位移插值函数二、建立节点位移与节点力关系1、轴向节点力在局部坐标中：

2、弯矩节点力由由梁截面正应力合成梁截面正应力合成（简明推导简明推导）可得）可得：

对节点i（X=0）有：

对节点j（X=L）有：

3、剪切节点力由梁微元的平衡关系（由梁微元的平衡关系（由梁微元的平衡关系（由梁微元的平衡关系（简明推导简明推导简明推导简明推导）有：

）有：

）有：

）有：

在节点在节点i和和j分别有：

分别有：

三、梁单元的单元刚度矩阵1、单元刚度矩阵用矩阵形式把式用矩阵形式把式（3-33-3aa）-（3-3f3-3f）写在一起有：

写在一起有：

（3-4）（3344）式是用矩阵表示的）式是用矩阵表示的梁节点力与节点位移的关系梁节点力与节点位移的关系式（式（3-43-4）还可写成：

）还可写成：

（3-5）称为局部坐标下的节点力列向量称为局部坐标下的节点力列向量称为局部坐标下的节点位移列向量称为局部坐标下的节点位移列向量称为称为梁梁单元的元的单元元刚度矩度矩阵2、单元元刚度矩度矩阵的的性质性质（22）单刚对称称（33）单刚为奇异矩阵，其逆不存在）单刚为奇异矩阵，其逆不存在（11）单刚主元素）单刚主元素00为奇异矩阵的物理解释为奇异矩阵的物理解释位移约束引入的必要性位移约束引入的必要性梁系结构实例梁系结构实例1、直梁、直梁

（一）概要

（一）概要1、单元划分；、单元划分；2、约束条件（、约束条件（固支、简支固支、简支）；）；3、载荷处理（、载荷处理（集中力、分布力集中力、分布力）。

）。

（二）算例

（二）算例一端固支一端简支梁，简支端受已知弯矩一端固支一端简支梁，简支端受已知弯矩作用（一个单元）作用（一个单元）。

梁系结构实例梁系结构实例2、平面梁系、平面梁系1、节点力平衡的需求、节点力平衡的需求-单元节点力（在单元节点力（在局部坐标系中）向整体坐标系的变换；局部坐标系中）向整体坐标系的变换；2、单元分析的需求、单元分析的需求-节点位移（在整体节点位移（在整体坐标系中）向局部坐标系的变换；坐标系中）向局部坐标系的变换；3、结构对称性的利用结构对称性的利用（练习，（练习，作业作业3）。