空间向量知识点归纳期末复习doc.docx

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空间向量期末复习

知识要点:

1.空间向量的概念：

在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。

注：

（1）向量一般用有向线段表示•同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。

（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。

2.空间向量的运算。

定义：

与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。

运算律：

⑴加法交换律：

a+h=b+ci

⑵加法结合律：

（N+T）+E=N+0+e）

⑶数乘分配律：

=+

3.共线向量。

（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，&平行于5,记作allbo

当我们说向量N、T共线（或a//b）时，表示万、5的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。

（2）共线向量定理：

空间任意两个向量万、b（方工6）,allb存在实数2,使a=kbo

4.共面向量

（1）定义：

一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。

说明：

空间任意的两向量都是共面的。

（2）共面向量定理：

如果两个向量方,5不共线，"与向量刁,5共面的条件是存在实数x^y\^p=xa-\-yb。

5.空间向量基本定理：

如果三个向量a.b.c不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使0=xN+y5+zC。

若三向量万不共面，我们把｛a.b.c｝叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空间任意三个不共而的向量都可以构成空间的一个基底。

推论：

设O,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数x,y,z,使OP=xOA+yOB+zOC。

6.空间向量的数量积。

（1）空I'可向量的夹角及其表示：

已知两非零向量a.b,在空间任取一点0,作0A=a,0B=b,则厶叫做向量N与方的夹角，记作且规定OMa9b＞＜7T,显然有＜丽＞=＜歸＞；若＜云伍＞=仝,则称万与5互相垂直，记作：

N丄方。

（2）向量的模：

设0A=a，则有向线段刃的长度叫做向量万的长度或模，记作：

\a\o

（3）向量的数量积：

已知向量丽,贝ij|5|-|6|-cos＜5^＞叫做乳方的数量积，记

作a-b,即方・5=\a\-\h\-coso

（4）空间向量数量积的性质：

①3-e=|5|coso②万丄h<^=>a-h=0o③\a^=a•ao

（5）空间向量数量积运算律：

©（25）-b=2（3-b）=a-（Ab）o②ab=b-a（交换律）。

@a-（b+c）=a-b+a-c（分配律）。

7.空I'可向量的坐标运算：

（1）.向量的直角坐标运算

（2）a—b=（a】-b^a2-b2,a3-b3）；

—e

（4）a9b=aAb}+a2b2+a3b3；

设a=（a^a29a3）fb=（bx,b2,b3）则

（1）a+b=（勺+勺卫2+〃2，。

3+伏）;

（3）入万=（加]，加2,加3）（入WR）；

•,•,•

（2）•设A（xpypZj）,B（x2,y2,z2）,则AB=OB-OA=（x2-x{,y2-y},z2-z}）.

丄丄

（3）.设a=（X],必，Z]）,b=（x2,y2,z2）,贝】J

7——9?

2

_=a•a=石+片+Zj

丄丄丄iii丄丄丄丄

aPba=^b（bHO）；d丄boa・b=0ox}x2+y}y2+z,z2=0•

⑷.夹角公式设云=（坷“吗）,方=（4,2厶），则cos=/砒+警+小

+q；+ci；Jb；+b；+b；

（5）.异面直线所成角

丨兀內+儿儿+么乓!

J*/+J/,+可2•&：

+旳？

+Z?

2

（6）.直线和平面所成的角的求法

则有sin0=|cos〃|=

I心Ii«ikr

两向暈0与證的夹角为0,

如图所示，设直线/的方向向量为0，平面G的法向量为弘直线/与平面G所成的角

（1）如图①，AB,CQ是二面角a・1中的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小0

=〈乔，CD）.

（2）如图②③，Hz，心分别是二面角a-l-fi的两个半平面a,”的法向量，则二面角的大小&=51，刃2〉或兀—51，兀2〉・

2.已知a=（2,4,5）,b=（3,x,y）,若a〃b,贝9（）

A.x=6,尹=15B.x=3,y=2

C.x=3,y=15D.兀=6,y=2

3.已知空间三点/（0,2,3）,5（-2,1,6）,C（l,-1,5）.若阀=羽,且a分别与乔，花垂直，则向量。

为（）

A.（1,1,1）

B.（-1,-1,-1）

C.（1,1,1）或（一1,—1,—1）

D.（1,—1,1）或（-1,1,-1）

4.若a=（2,一3,5）,*=（-3,1,一4）,贝也一2切=.

5.

A

如图所示，

已知正四面体ABCD4E=*B,CF=^CD,则直线DE和3F所成角的余弦值为

4.A/258

解析Va-2ft=（8,-5,13）,・•・\a~2b\=^82+（-5）2+132=^258.

5土

亠13

解析因四面体ABCD是正四面体，顶点/在底面BCQ内的射影为△BCQ的垂心，所以有BC丄D4,ABLCD.设正四面体的棱长为4,

则亦赤=（貶+拆）•（茹+屁）

=O+BGAE+CF-DA+O

=4XlXcos120°+lX4Xcos120。

=一4,

BF=DE=y^^+12-2X4X1Xcos60°=匹,

_4_

=1?

所以异面直线DE与3F的夹角0的余弦值为:

cos0=

6.如图所示，在平行六面体ABCD-A}B\C\DX屮，设AA}=a,AB=b,AD=c,M,N,P分别是AA]fBC,GD的中点，试用a,dc表示以下各向量：

⑴乔；

（2）4^；

（3）MP+NC,.

解：

（1）VP是CQi的中点，

:

.AP=AA{+孫+D^P

一1

=a+AD+^Z）]Ci

=a+c+^AB

=a+c+如.

（2）・.・N是3C的中点，

：

.A^N=A^A+AB+BN=-a+b+^BC

1一1

=~a+b+^AD=—a+b+^c.

（3）TM是曲i的中点,

:

.MP=MA+JP=*命+~AP

=-*a+（d+c+*»=*a+如+c,又NC}=7jC+CC{^BC+AA,

=〒D+AA}pc+a,

~MP+NC、=©+如+c）+（a+*c）

313

=严+卫+㊁c.

7.己知直三棱柱ABC-A[BlC[中，N4BC为等腰直角三角形，ZBAC=90。

且AB=AAifD,E,F分别为BS，CiC,BC的中点.

（1）求证：

DE〃平面MC；

（2）求证：

3|F丄平面/EF.

证明：

以/为原点，4B,AC,所在直线为x轴，尹轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,令力〃=/川=4,则力（0,0,0）,E（0,4,2）,F（2,2,0）,3（4,0,4）,D（2,0,2）,4（0,0,4）,

Al

（1）D£=（-2A0）,平面的法向量为AA}=（0,0,4）,

'：

~DE~AAX=0,DEG平而ABC,

•••DE〃平面ABC.

（2）8f=（_2,2,-4）,EF=（2,-2,-2）,

乔・EF=（-2）X2+2X（-2）+（-4）X（-2）=0,

•••B、F丄EF,B、F丄EF,

乔•乔=（-2）X2+2X2+（-4）X0=0,

：

.B^F丄乔，：

.B}F丄/F.

•••4FCEF=F,:

・B\F丄平面AEF.

8•如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC丄平面ABCD,PC=2.在

四边形ABCD中，Z^=ZC=90°,AB=4,CD=\,点M在刖上,

（1）CM〃平面PAD；

（2）平面刃B丄平面PAD.

证明：

以C为坐标原点，C8为X轴，CQ为y轴，CP为Z轴建立如图所示的空间直角坐标系C・xyz.

•:

PC丄平面ABCD,

:

.乙PBC为PB与平面ABCD所成的角,

•••ZPBC=30°,

9：

PC=2,•••BC=2EPB=4,

・・・Q（0,l,0）,BQ晶0,0）,A（2y/3t4,0）,尸（0,0,2）,

•••丽=（0,-1,2）,DA=（2^3,3,0）,

CM=

o,I）

⑴设〃=（x，“z）为平面刊D的一个法向量,

—y+2z=0,

2伍+3y=0,

令丁=2,得"=（—^3,2,1）.

*：

nCM=-^3><2+2X0+1X2=0,

・•・〃丄而.又CMQ平面PAD,

:

.CM〃平面PAD.

（2）如图，取力尸的中点E,连接BE,

则E©,2,1）,匪=（一点2,1）.

•・・PB=AB,・・・BE丄PA.

又•:

~BEDA=（-a/3,2,1）（2萌，3,0）=0,

・・・BE丄DA.BE丄D4.

5LPAr}DA=Af:

.BE丄平面B4D.

又・：

BEU平面R4B,

・•・平面/MB丄平面PAD.

9.如图，在正方体人BCD・A\B、C\D\中，E为的中点.

（1）求直线/D和直线5C所成角的大小；

（2）求证：

平面EEQ丄平面B、CD.

DD\分别为x轴、尹轴、z轴,

解：

不妨设正方体的棱长为2个单位长度，以DA,DC,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz.

根据已知得：

£>（0,0,0）,J（2,0,0）,8（2,2,0）,C（0,2,0）,耳（2,2,2）.

⑴・・•可=（2,0,0）,画=（2,0,2）,・・・cos〈可，西〉=巴迅=半

11|DA||CB,|2

7T

・；直线力D和直线所成角为才.

（2）证明：

取3Q的中点F,得F（l,l,l）,连接EF.

TE为力3的中点，£（2,1,0）,

AEF=（-1,0,1）,5C=（0,2,0）,

・•・丽反=0,EFCB}=0,

:

.EF丄DC,EF丄CB\.

•:

DCCCB\=C,・・・EF丄平面B\CD.

又TEFU平面EB、D,・•・平面EBQ丄平面B\CD.

10.如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB//CD,MB丄BC,AB=2CD=2BC,EA丄EB.

⑴求证：

MB丄DE；

（2）求直线EC与平而ABE所成角的正弦值；

⑶线段以上是否存在点F,使EC〃平面FBD?

若存在，求出徐

理由.

解：

（1）证明：

取力3的中点O,连接EO,DO.因为EB=EA,所以EO丄MB.

因为四边形ABCD为直角梯形.

AB=2CD=2BC,AB丄BC,

所以四边形OBCD为正方形，所以丄OD因为EOODO=O,

所以力〃丄平面EOD,所以力3丄ED.

（2）因为平面/BE丄平面ABCD,且EO丄4B,所以EO丄平面ABCD,所以EO丄OD

A

若不存在，请说明

由OB,OD,OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

因为三角形EAB为等腰直角三角形,

所以OA=OB=OD=OE,

设OB=1,

所以0（0,0,0）,1,0,0）,3（1,0,0）,C（1丄0）,

D（0,l,0）,E（0,0,l）.所以丽=（1,1,-1）,平面ABE的一个法向量为筋=（0,1,0）.设直线EC与平面所成的角为0,

所以sin<9=|cos<£C,

OD）|=

\ECOD\_y[3

\EC\\OD\~3

即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为誓.

11.

P4=AB=2fBC

（12分）如图，在底面是矩形的四棱锥P—/BCD中，刃丄平面=4,E是PD的中点.

（1）求证：

平面PQC丄平面刊D

⑵求点B到平面PCD的距离.

y轴、z轴建立空

21.

⑴证明如图，

间直角坐标系，则依题意可知力（0,0,0）,3（0,2,0）,C（4,2,0）,£>（4,0,0）,P（0,0,2）.

・••励=（4,0,-2）,励=（0,-2,0）,场=（0,0,-2）.设平面PDC的一个法向量为n=（X.y,l）,

-2v=0

4x-2=0

所以平面尸CQ的一个法向量为仕，0,1）

•・•丹丄平面ABCD,:

.PALAB,

又'：

ABLAD,PA^AD=A9:

.AB丄平面刊D

・•・平面PAD的法向量为乔=（0,2,0）.

'：

n-AB=0,・•・聽丄乔

・•・平面PDC丄平面PAD.

⑵解由⑴知平面PCD的一个单位法向量为侖=（平，0,芈j.

-n

'■T（4'O'°）梓'O'爭）1普'

・••点B到平面PCD的距离为攀.

12.如图所示，在多面体ABCD-AyBxCyD\中，上、下两个底面A}B}C}D}和力3CQ互

相平行，且都是正方形，DQ丄底面ABCD,AB=2A、B\=2DD\=2a.

（1）求界面直线与DDX所成角的余弦值；

（2）已知F是40的中点，求证：

Mi丄平面BCC\B\；

（3）在⑵的条件下，求二面角F-CCi-5的余弦值.

解：

以D为坐标原点，分别以D4,DC,DDi所在直线为兀轴、y轴、z轴建立如图所

C（0,2q,0）,D（0,0,a）,F（q,O,O）,

示的空间直角坐标系D-xyz,则A（2af0,0）,B（2a,2d,0）,

B\（a,a,a）,C）（0,a,a）.

（2”正明：

VBB}=（~a9

—a,a）,

FB、=（0,a,a）,

=（-267,0,0）,

・••异面直线/Bi与QDi所成角的余弦值为¥•

FB、・BB\=0,

耳祝=0,

•••FB』BB\,FB』BC・

•:

BB\CBC=B,・・・FBi丄平面BCC/i.

（3）由

（2）知，FB}为平面BCC\B\的一个法向量.

设n=（xlfzj为平面FCG的法向量,

Vcq=（0,-a,a）fFC=（-a,2a,0）f~ay\+qZ]=0,

~ax\+2ay\=0.

令尹1=1,则"=（2丄1）,

•・•二面角F-CCi-B为锐角,

・•・二面角F・CC\・B的余弦值为¥•

mBQ=0,

一即“

inCE=0,

x—2y—z=0f

—x+y—z=0.

消去x,得y+2z=0,

不妨令z=l,可得一个法

向量为加=（—3,—2,1）.

由

（1）次口，BC丄CE,

又CC]丄B]C],

可得5G丄平面CECl9故B.C.=（1,0,一1）为平

面CEC、的一个法向量.

于是cos{tn,EC〉

m-BQ

2a/7

7，

从而sin

S,昭>=罕

所以二面角B、・CE・C\的正弦值为警I

EM=（x,久+1,X）.可取AB=（0,0,2）为平面ADD}A}的一个法向量•设0为直线/M与平

'■'•

面ADM所成的角‘则sin0=|c°s|=摞隅=诃誌养旷回2爲+1•于是©昇2卄广寻解得所以AM=^'

法二：

⑴证明：

因为侧棱CC1丄底面力/iCQi,B]C]U平面AxBxC\D\,所以CCi丄5C].经计算可得B、E=^,B\C、=也,EC\=晶从而B^=BXC\+EC\,所以在△BXECX中，BiC\丄C\E,又CG,GEU平面CC、E,CC]QCE=C],所以5G丄平面CC\E.又CEU平面CC\E,故B\C」CE.

（2）过厲作0G丄CE于点G,连接GG.由

（1）知，B\C」CE,故CE丄平面B\C\G,得CE丄C|G,所以ZBiGCi为二面角B\・CE・C\的平面角.在ZkCCiE中，由CE=C\E=羽,CC|=2,可得C】G=爭.在RtZ\5C|G中，B】G=攀，所以sinZBg=^,

即二面角B\・CE・C\的正弦值为厚.

（3）连接D、E,过点M作MH丄ED于点H,可得加丄平®ADD}AXy连接/H,AM,则ZMAH为直线与平面ADDXAX所成的角.

、Qa/34

AM=x,从而在Rt△昇HM中，有MH=AH=〒£在RtACQiE中，CQ】=1,

ED\=y[i,得EH=y/2MH=jx.在中，Z4EH=\35。

AE=\,由AH2=AE2+EH2-2AEEHcos135°,

得徐—i+|x2+^x,整理得5,—2伍一6=0,解得所以线段的长为QI