空间向量知识点归纳期末复习doc.docx

1、空间向量知识点归纳期末复习doc空间向量期末复习知识要点:1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。2. 空间向量的运算。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。运算律：加法交换律：a + h =b +ci加法结合律：（N + T） + E = N + 0 + e）数乘分配律：= +3. 共线向量。（1） 如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线 向量或平行向量，&平行于5 ,记作all

2、b o当我们说向量N、T共线（或a/b ）时，表示万、5的有向线段所在的直线可能是同 一直线，也可能是平行直线。（2） 共线向量定理：空间任意两个向量万、b （方工6）, allb存在实数2,使a=kb o4. 共面向量（1） 定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共面的。（2） 共面向量定理：如果两个向量方,5不共线，与向量刁,5共面的条件是存在实数 xyp = xa-yb。5. 空间向量基本定理：如果三个向量a.b.c不共面，那么对空间任一向量存在一个 唯一的有序实数组x,y,z ,使0 = xN + y5 + zC。若三向量万不共面，我们把a.b.

3、c叫做空间的一个基底，a,b,c叫做基向量，空 间任意三个不共而的向量都可以构成空间的一个基底。推论：设O ,A,B,C是不共面的四点，则对空间任一点P,都存在唯一的三个有序实数 x, y, z ,使 OP = xOA + yOB + zOC。6. 空间向量的数量积。（1） 空I可向量的夹角及其表示：已知两非零向量a.b ,在空间任取一点0,作 0A = a,0B = b ,则厶叫做向量N与方的夹角，记作且规定OMa9b7T, 显然有 丽=歸；若 云伍=仝,则称万与5互相垂直，记作：N丄方。（2） 向量的模：设0A = a，则有向线段刃的长度叫做向量万的长度或模，记作：ao（3） 向量的数量积

4、：已知向量丽,贝ij|5|-|6|-cos5叫做乳方的数量积，记作a-b ,即方5 = a-h-coso(4) 空间向量数量积的性质： 3-e =| 5 | cos o 万丄 h a -h = 0 o a= a a o(5) 空间向量数量积运算律：(25)-b = 2(3-b) = a-(Ab) o a b =b -a (交换律)。a-(b+c) = a-b + a-c (分配律)。7. 空I可向量的坐标运算：(1) .向量的直角坐标运算(2) a b = (a】 -ba2 -b2,a3-b3)；e(4) a 9 b = aAb + a2b2 + a3b3 ；设a = (aa29a3)f b

5、=(bx,b2,b3)则(1) a +b =(勺 +勺卫2 +2，。3 +伏);(3) 入万=(加，加2,加3)(入WR)； , , (2) 设 A(xpypZj) , B(x2,y2,z2),则 AB = OB-OA= (x2-x,y2-y,z2-z).丄 丄(3) .设a = (X,必，Z), b = (x2,y2,z2),贝】J7 9 ? 2_ = a a =石 + 片 + Zj丄 丄 丄 ii i 丄 丄 丄丄aPb a = b(b HO)； d 丄 boab = 0o xx2 + yy2 + z,z2 = 0 .夹角公式 设云=(坷“吗),方=(4,2厶)， 则cos = /砒+警+

6、小+ q； + ci； Jb； + b； + b；(5).异面直线所成角丨兀內+儿儿+么乓!J*/ + J/, + 可2 &： + 旳？ + Z?2(6).直线和平面所成的角的求法则有 sin 0 = |cos | =I心I iikr两向暈0与證的夹角为0,如图所示，设直线/的方向向量为0，平面G的法向量为弘 直线/与平面G所成的角(1)如图，AB, CQ是二面角a1中的两个面内与棱/垂直的直线，则二面角的大小0=乔，CD). (2)如图，Hz，心分别是二面角a-l-fi的两个半平面a, ”的法向量，则二面角的大 小&= 51，刃2或兀51，兀22. 已知 a = (2,4,5), b=(3,

7、 x, y),若 ab,贝9( )A. x=6,尹=15 B. x=3, y= 2C. x=3,y=15 D.兀=6, y= 23. 已知空间三点/(0,2,3), 5(-2,1,6), C(l, -1,5).若阀=羽,且a分别与乔，花垂 直，则向量。为()A. (1,1,1)B. (-1, -1, -1)C. (1,1,1)或(一1, 1, 1)D. (1, 1,1)或(-1,1, -1)4. 若 a=(2, 一3,5), *=(-3,1, 一4),贝也一2切= .5. A如图所示，已知正四面体ABCD 4E=*B, CF=CD,则直线DE和3F所成角的余弦值为4.A/258解析 Va-2f

8、t=(8, -5,13), a2b =82 + (-5)2+ 132 =258.5 土亠13解析 因四面体ABCD是正四面体，顶点/在底面BCQ内的射影为BCQ的垂心，所 以有BC丄D4, ABLCD.设正四面体的棱长为4,则亦赤=(貶+拆)(茹+屁)= O+BGAE+CF-DA+O=4XlXcos 120+lX4Xcos 120。=一4,BF= DE=y+12-2 X 4 X 1 X cos 60 =匹,_4_=1?所以异面直线DE与3F的夹角0的余弦值为:cos 0=6. 如图所示，在平行六面体 ABCD-ABCDX 屮，设 AA =a, AB =b, AD=c, M, N, P分别是AA

9、f BC, GD的中点，试用a, d c表示以下各向量：乔；(2)4；(3) MP+ NC,.解：(1)VP是CQi的中点，:.AP = AA+ 孫 + DP一 1 =a+ AD +Z)Ci=a+c+AB=a+c+如.(2).N是3C的中点，：.AN = AA + AB + BN= -a+b+BC1 一 1= a+b+AD =a+b+c.(3) TM是曲i的中点,:.MP = MA+JP =*命 + AP=-*a+(d+c+*=*a+如+c, 又 NC=7jC + CC BC + AA,=D + AA pc+a,MP + NC、=+如+ c) + (a+*c)3 1 3=严+卫+c.7. 己知

10、直三棱柱ABC-ABlC中，N4BC为等腰直角三角形，ZBAC=90。,且AB=AAif D, E, F分别为BS，CiC, BC的中点.(1) 求证：DE平面 MC；(2) 求证：3|F丄平面/EF.证明：以/为原点，4B, AC, 所在直线为x轴，尹轴，z轴，建立如图所示的空间 直角坐标系 A-xyz,令力=/川=4,则力(0,0,0), E(0,4,2), F(2,2,0), 3(4,0,4), D(2,0,2), 4(0,0,4),Al(1) D =(-2A0),平面 的法向量为 AA =(0,0,4),：DE AAX =0, DEG平而 ABC,DE平面 ABC.(2) 8f =(_

11、2,2, -4), EF =(2, -2, -2),乔 EF =(-2)X2 + 2X(-2) + (-4)X(-2) = 0, B、F 丄 EF, B、F丄EF,乔乔=(-2)X2 + 2X2 + (-4)X0 = 0,：.BF 丄乔，：.BF丄/F.4FCEF=F,:BF丄平面 AEF.8如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC丄平面ABCD, PC=2.在四边形 ABCD 中，Z=ZC=90, AB=4, CD=,点 M 在刖上,(1)CM平面 PAD；(2)平面刃B丄平面PAD.证明：以C为坐标原点，C8为X轴，CQ为y轴，CP为Z轴建立如图所示的空间直角 坐标系Cxyz.:PC丄平面A

12、BCD,:.乙PBC为PB与平面ABCD所成的角, ZPBC= 30,9：PC=2, BC=2E PB=4,Q(0,l,0), BQ晶 0,0), A(2y/3t 4,0),尸(0,0,2),丽=(0, -1,2), DA =(23, 3,0),CM =,o, I)设 = (x，“ z)为平面刊D的一个法向量,y+2z=0,2伍+3y=0,令丁=2,得=(3, 2,1).*：n CM =-3(0,0,0), J(2,0,0), 8(2,2,0), C(0,2,0),耳(2,2,2).可=(2,0,0),画=(2,0,2),cos可，西=巴 迅=半1 1 | DA | CB, | 27T；直线力

13、D和直线所成角为才.(2)证明：取3Q的中点F,得F(l,l,l),连接EF.TE 为力3 的中点，(2,1,0),A EF =(-1,0,1), 5C =(0,2,0),丽反=0, EF CB =0,:.EF丄DC, EF丄 CB.:DCCCB = C, EF丄平面BCD.又TEFU平面EB、D,平面EBQ丄平面BCD.10. 如图，直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平 面互相垂直.AB/CD, MB丄BC, AB=2CD=2BC, EA丄EB.求证：MB丄DE；(2)求直线EC与平而ABE所成角的正弦值；线段以上是否存在点F,使EC平面FBD?若存在，求出徐理由.解：(1)证明：

14、取力3的中点O,连接EO, DO. 因为EB=EA,所以EO丄MB.因为四边形ABCD为直角梯形.AB=2CD=2BC, AB丄 BC,所以四边形OBCD为正方形，所以丄OD 因为 EOODO=O,所以力丄平面EOD,所以力3丄ED.(2)因为平面/BE丄平面ABCD,且EO丄4B, 所以EO丄平面ABCD,所以EO丄ODA若不存在，请说明由OB, OD, OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形,所以 OA = OB=OD=OE,设 OB=1,所以 0(0,0,0), 1,0,0), 3(1,0,0), C(1 丄0),D(0,l,0), E(0

15、,0,l).所以丽=(1,1, -1), 平面ABE的一个法向量为筋 =(0,1,0). 设直线EC与平面所成的角为0,所以 sin9=|cos (4,0,0), P(0,0,2).励=(4,0, -2),励=(0, -2,0),场=(0,0, -2). 设平面PDC的一个法向量为n =(X. y,l),-2v=04x-2 = 0所以平面尸CQ的一个法向量为仕，0, 1)丹丄平面ABCD, :.PALAB,又 ：ABLAD, PAAD=A9 :.AB 丄平面刊 D平面PAD的法向量为乔=(0,2,0).：n-AB=0,聽丄乔平面PDC丄平面PAD.解 由知平面PCD的一个单位法向量为侖=(平，

16、0, 芈j.-n T(4 O )梓O爭)1 普点B到平面PCD的距离为攀.12. 如图所示，在多面体ABCD-AyBxCyD中，上、下两个底面ABCD和力3CQ互相平行，且都是正方形，DQ丄底面ABCD, AB=2A、B=2DD=2a.(1) 求界面直线与DDX所成角的余弦值；(2) 已知F是40的中点，求证：Mi丄平面BCCB；(3) 在的条件下，求二面角F-CCi-5的余弦值.解：以D为坐标原点，分别以D4, DC, DDi所在直线为兀轴、y轴、z轴建立如图所C(0,2q,0), D(0,0, a), F(q,O,O),示的空间直角坐标系D-xyz,则A(2af 0,0), B(2a,2d

17、,0),B(a, a, a), C)(0, a, a).(2”正明：V BB =(a9a, a),FB、=(0, a, a),=(-267,0,0),异面直线/ B i与QD i所成角的余弦值为FB、BB =0,耳祝=0,FBBB, FBBC:BBCBC=B, FBi丄平面 BCC/i.(3) 由(2)知，FB为平面BCCB的一个法向量.设n = (xlf zj为平面FCG的法向量,V cq =(0, -a, a)f FC =(-a,2a,0)f ay +qZ =0,ax+2ay=0.令尹1 = 1,则=(2丄1),二面角F-CCi-B为锐角,二面角FCCB的余弦值为m BQ =0,一 即“i

18、n CE =0,x2yz=0fx+yz=0.消去x,得y+2z=0,不妨令z=l,可得一个法向量为加=(3, 2,1).由(1)次口，BC 丄 CE,又 CC丄BC,可得5G丄平面CECl9故B.C. =(1,0, 一1)为平面CEC、的一个法向量.于是 cos tn, ECm- BQ2a/77 ，从而sinS,昭 =罕所以二面角B、CEC的正弦值为警IEM =(x,久+1, X).可取AB =(0,0,2)为平面ADDA的一个法向量设0为直线/M与平 面ADM所成的角则sin 0=|cs |=摞隅=诃誌养旷 回2爲+1于是昇2卄广寻解得所以AM=法二：证明：因为侧棱CC1丄底面力/iCQi,

19、 BCU平面 AxBxCD,所以 CCi 丄5C.经计算可得 B、E=, BC、=也,EC =晶 从而 B=BXC+EC,所以在 BXECX 中，BiC 丄 CE,又 CG, GEU平面 CC、E, CCQCE=C,所以 5G丄平面 CCE.又 CEU平面 CCE,故 BCCE.(2)过厲作0G丄CE于点G,连接GG.由(1)知，BCCE,故CE丄平面BCG,得 CE丄C|G,所以ZBiGCi为二面角BCEC的平面角.在ZkCCiE中，由CE=CE=羽, CC|=2,可得 C】G=爭.在 RtZ5C|G 中，B】G=攀，所以 sin ZBg=,即二面角BCEC的正弦值为厚.(3)连接D、E,过点M作MH丄ED于点H,可得加丄平 ADDAXy连接/H, AM, 则ZMAH为直线与平面ADDXAX所成的角.、Q a/34AM=x,从而在 Rt昇HM 中，有 MH=AH=在 RtACQiE 中，CQ】 = 1,ED=yi,得 EH=y/2MH=jx.在中，Z4EH= 35。, AE=,由 AH2=AE2+EH2- 2AEEHcos 135,得徐i +|x2+x, 整理得5,2伍一6 = 0,解得所以线段的长为QI