计算固体10-2_精品文档.ppt

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10.2不连续性的处理不连续性的处理在许多实际问题中,可能要碰到未知函数或它的导数是不连续的.例如,有裂纹的物体,裂纹两边的位移是不连续的,在复合材料中,沿两种材料的界面,位移的导数是不连续的.在无网格法中,已经提出了一些处理不连续性的近似方法.10.2.1函数不连续的处理方法函数不连续的处理方法处理函数不连续的方法有三种：

（一）可视性准则（visibilitycriterion）在构造无网格法中采用可视性准则94,95是无网格近似中引入不连续性的最简单方法.在可视性准则中,在构造权函数时,物体的边界和内部不连续的面都被看成是不透明的界面.在考虑权函数的影响区时,把某点A到节点B的连线看作光线,如果这光线碰到不可穿透的界面,则该光线中止.B点不包括在影响区内.参看图10.3,DA为一条裂纹,位移不连续线中止于裂纹顶点A,一般节点I的影响区如图中所示,因为在阴影区的点到的光线横过连续线,所以,阴影区要从点的初始影响区中去掉.图10.3节点I和节点J的影响区采用可视性准则的不足之处是对于在不连续线顶点附近的形函数产生在区域中的近似不连续性.例如图10.3中的节点J,其权函数和形函数在真实的不连续线DA处具有不连续性,代表了期望的间断,然而对于位于不连续尖端附近的I而言,这种准则产生的间断就不太合理,因为在AB也将间断.此外,不连续顶点附近其他节点的不连续也引起形函数的不连续.因此,在域中的近似也将是不连续的.在伽辽金法中,这种情况是不希望的.但是,Krysl等人94的计算结果表明,这种不连续性并不导致不收敛,最后仍得到收敛的结果.另外,对于非凸的边界,可视性准则也不能很好处理.

（二）衍射法（Diffractionmethod）这里介绍的衍射法96仅能用于中心对称的权函数,这种权函数只有一个变量.与常规的权函数不同之处在于对于可视性法则不可见点的的计算,如图10.4所示,对于可视性法则不可见点,相应的的计算公式为图10.4a.不连续线顶点附近节点的衍射法b.不连续线附近的影响区其中这样,由所确定的影响区就可绕过不连续线的尖端,权函数和形函数的不连续只是在真实的不连续线处.衍射法同样可以用于多连体的非凸边界.（三）透射法（transparencymethod）透射法96是用变化的透射度来将不连续顶端的函数加以光滑.在顶端,不连续线被看成是完全透过的,随着与顶端距离的增加,不连续线的透射性逐渐减小,直至消失.当计算点到节点的射线与不连续线相交时（参看图10.5）,权函数的参数修正为图10.5透射法中紧支域半径的计算其中,是节点紧支域的半径,是交点与不连续线顶端之间的距离,参数为不再发生透射的位置.10.2.2场函数导数不连续性场函数导数不连续性的处理方法的处理方法当偏微分方程的系数是空间变量的不连续函数时,则它的解沿着不连续线（二维）或不连续面（三维）一般有不连续导数.例如,在多种材料的问题中,在不同材料的界面处,位移的导数是不连续的.在有限元中,材料的界面被取为单元的边界,而在无网格法中没有单元界面,因此,处理不连续导数要困难一些.Cordes等人96用Lagrange乘子法来处理不连续导数问题.在导数不连续的界面两侧分别加以近似,再用Lagrange乘子来满足界面处应满足的连续条件.Krongauz等人97则用跳跃函数来处理导数不连续问题.以一维情况为例,假设在处导数是不连续的.设其中是产生不连续导数的函数,被称为跳跃项,是它的强度,在伽辽金法中为待求的量.为了使计算的高效率和可程序化,要有紧支域,还应该与上式中第一部分使用的移动最小二乘近似的基函数线性无关.为了快速的收敛,这个函数要能再生Heaviside阶梯函数.已经提出了两种函数形式其中.其中第一种形式的优点在于它能精确地插值导数为Heaviside阶梯函数的场函数.但是,在推广到二维情况时,它没有紧支域,因此,在二维的情况下,它的形式修正为其中是一维形函数,用线的弧长表示,是控制不连续性强度的节点参数.10.3离散化方程和数值积分方法离散化方程和数值积分方法为了讨论无网格法中的离散化方法和数值积分方法,将以简单的泊松方程为例,其控制方程和边界条件为在域内在边界上在边界上其中为边界上的外法线.10.3.1配点法配点法考虑在域内有个节点,它们的近似为可以用前面所述的任一种近似方法得到形函数.在配点法中,离散方程不用于边界上的节点,因此,只能要求在上的节点上满足方程,离散化方程为在内在上在上上述方程是个方程的方程组,未知数为.上述方法可用于任何一种无网格法.应当指出,在泊松方程中,插值需要连续条件.在移动最小二乘法中,权函数也必须是连续.用核函数近似法时,离散方程为在二维情况下,上式可写为在最初的核函数法文献上所给出的离散方程与此不同,推导方法如下,将基本方程的两边乘以权函数,然后在区域上积分,左边用分部积分二次在上式中去掉两个边界条件有关的项,用离散法代替积分后就得到两种离散方程组的差别在于右边项,上式中的右边项采用加权形式.配点法的实现是直接的,在任意点,需要决定包含节点的影响区内的节点,在泊松方程的离散过程中,只要计算在节点（即）处所有相关节点的形状函数的二阶导数,因此,计算过程是很快的.现在还不知道它是否是稳定的,它仅有零阶一致性.其收敛性尚待研究.10.3.2伽辽金法伽辽金法伽辽金法在前面已经介绍过,它是加权余量法的一种.目前在无网格法中也较常采用,经常称为无单元伽辽金法（element-freeGalerkinmethod）.伽辽金法是积分形式下满足基本微分方程和自然边界条件,也称弱形式（weakform）.基本方程和边界条件的积分形式为其中是近似函数（trialfunction）,也即前面近似方法中的近似函数,是试函数（testfunction）.这里采用的名称是无网格中通用的名称，但与加权余量法中的名称不同无单元伽辽金法与有限元法相似,若选定某一种形函数的形式,即,将代入上式即得到离散方程其中为待求的未知量.上述两个积分都需要用数值积分的方法来计算.在无网格法中,计算离散化中的积分是主要的难点之一.在用伽辽金法时,可采用下面两种方法97.

（一）背景网格（backgroundmesh）在背景网格法中,象有限元法一样把求解区域划分为网格（图10.6）,积分就在每个单元中进行.这种有限元网格可用网格生成软件形成.网格只有在积分中起作用,所以称为背景网格.图10.6单元积分图10.7胞元积分

（二）背景胞元结构（backgroundcellstructure）在这个方法中,也形成一个网格（图10.7）,但是,节点不一定与积分胞元的顶点一致,因此,称为背景胞元结构.在背景单元或背景胞元中的积分通常用高斯积分法来计算.积分公式可写为其中为求积点的数目,是求积点的坐标,是相应的权系数.10.3.3无网格局部彼得洛夫无网格局部彼得洛夫-伽辽金法伽辽金法前面的伽辽金法是应用整个区域上的弱形式来进行数值离散的.Atluri等人98则从微分方程在局部子域上的弱形式出发来建立无网格法的离散方程.它是真正的无网格法,在积分时不需要背景网格.局部子域完全在整体域的内部.通常,局部子域为球（三维）和圆（二维）.球或圆的中心为所研究点的位置.对于微分方程和边界条件在局部子域上的广义局部弱形式为其中是近似函数,是试函数,是子域的边界中有基本边界条件的边界.一般,是位于整体边界上的局部边界部分,是局部边界的其他部分,在这部分边界上没有指定基本边界条件.也即.假使子域完全位于整体域内,那么局部边界和总体边界没有相交,这时在上的边界积分为零.上式中的是罚参数,被用来满足基本边界条件.一般,因为用移动最小二乘法来近似变量时,不容易直接预先满足基本边界条件,所以这里用罚参数来满足这个边界条件.应用积分公式可将上式化为其中是子域边界的外法线上述方程式的成立与子域边界的大小和形状无关因此,可以选择简单而规则的子域,它的边界也是简单的对于在维空间定义的边值问题,最简单而规则的子域形状是维的球现在用彼得洛夫-伽辽金法来离散上述方程在通常的伽辽金法中,是在同一个空间中选择近似函数和试函数的,而在彼得洛夫-伽辽金法中是从不同的空间来选择近似函数和试函数的试函数并不需要在基本边界条件指定的边界上为零注意到自然边界条件和,上述方程可化为其中是子域上指定自然边界条件的那部分边界对于完全在整体域中的子域,子域的边界与整体域的边界不相交,则在和上的积分均为零为了简化上述方程,我们特定地选择试函数,它在边界上等于零,对于内节点,它的边界是圆弧,在移动最小二乘近似中,将权函数作为试函数,那么这个条件是很容易满足的这时,只要将局部子域的半径作为权函数的紧支域半径,那么试函数（即权函数）在半径为的圆上为零采用这种试函数并重新排列上述方程就得到下列对称的局部弱形式（localsymmetricweakform,简写为LSWF）对于任意一点,这个方程就象在维的球上处理局部边值问题球的半径将影响方程的解在上面的推导中,在局部子域和它的边界上,平衡方程和边界条件是满足的理论上,只要所有局部域的合成要复盖整体域,也即,那么在整体域和它的边界上,平衡方程和边界条件也是满足的但是,从Atluri等人98的计算表明,即使当所有局部域的合成并不完全复盖整体域,这个方法也能得到满意的结果因为在对称的局部弱形式中采用一个已知的试函数,对于一个点（因而是对一个局数域）应用对称的局部弱形式时,将得到一个含有的线性方程那么对整个域而言,上述方程可以得到与节点数相同的线性代数方程因此,在整体域中就需要有节点数相同的局部域将移动最二乘近似式代入上式就得到下列离散后的线性代数方程组其中前式中的是移动最小二乘近似法中的形函数.可以看出这个这个方法的系统刚度矩阵是带状的,但不是对称的这里所选的试函数是与移动最小二乘法中用来近似函数的权函数相同的这个方法是真正的无网格法,它只需要节点,而且节点可以是随意分布的,Atluri等人98的数值例子表明,用此法计算得到的待求函数和它的导数均有较高精度Zhu等人99提出的局部边界积分方程法（localboundaryintegralequationmethod）也是一种真正的无网格法这个方法与局部彼得洛夫-伽辽金法有些相似,采用局部子域的方法,不过是从局部子域上的边界积分方程出发,再用移动最小二乘近似来离散的详细的推导过程这里就不介绍了,感兴趣的读者可参看该论文10.4基本边界条件的实现基本边界条件的实现基本边界条件（essentialboundarycondition）是指已知函数值的边界条件,即第一类边界条件,也称狄里赫利（Dilichili）条件由于无网格法的近似函数不通过节点的变量,即因此,要满足基本边界条件比较困难,这也是无网格法中的一个难点现在已提出的解决方法有：

配点法和修正配点法、罚参数法、修正变分原理和与有限元耦合法10.4.1配点法和修正配点法配点法和修正配点法以平面弹性力学问题为例说明基本边界条件的实现平面弹性力学问题的势能为在用无网格法时,位移可写成无网格法中近似式的特点是在二维情况下,位移可写成其中其中是总节点数将前式代入势能式可得到矩阵形式表示的总势能根据最小势能原理可得其中在求解线性代数方程组以前,要将位移边界条件（即基本边界条件）代入,否则刚度矩阵是奇异的Mukherjee等人100提出用直接配点法来满足位移边界条件他们在已知位移的边界上采用配点条件,为已知的边界位移值实际上,在移动最小二乘近似中,并不是节点的最终位移向量,因此,在位移边界条件上,采用是不合适的,Zhu等人101提出了修正配点法,即在指定位移边界条件的地方用条件来代替,这样的处理方法与变分方程是一致的对于指定位移的所有边界节点