百师联盟届高三开学摸底联考新高考卷数学试题 含答案.docx
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百师联盟届高三开学摸底联考新高考卷数学试题含答案
百师联盟2021届高三开学摸底联考新高考卷
数学试卷
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：
本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数的虚部为（）
A.-1B.1C.D.
2.已知集合，，则集合的子集个数为（）
A.32B.31C.16D.15
3.已知函数的图象如图所示，则的解析式可能为（）
A.B.C.D.
4.已知平面，直线，，，满足，，且，互为异面直线，则“且”是“”的（）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
5.我国历法中将一年分春、夏、秋、冬四个季节，每个季节六个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨.某大学美术学院的甲、乙、丙、丁四个同学接到绘制二十四节气的彩绘任务，现四位同学抽签确定各自完成其中一个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是（）
A.B.C.D.
6.已知，向量，，若，则实数（）
A.B.C.-2D.2
7.的展开式的常数项为-160，则实数（）
A.2B.-2C.1D.-1
8.已知，则（）
A.B.
C.D.
二、多项选择题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9.下表为2019年某煤炭公司1~10月份的煤炭生产量，
月份
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
产量（单位：
万吨）
23
25
24
17.5
17.5
21
26
29
30
27
则下列结论正确的是（）
A.极差为12.5万吨B.平均值为24万吨C.中位数为24万吨D.众数为17.5万吨
10.正方体的棱长为2，用一个平面截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则下列结论正确的是（）
A.这两部分的表面积也相等B.截面可以是三角形
C.截面可以是五边形D.截面可以是正六边形
11.如图是函数的部分图象，若在内有且只有一个最小值点，的值可以为（）
A.B.C.1D.2
12.双曲线的焦点在圆上，圆与双曲线的渐近线在第一、二象限分别交于点、，点满足（其中为坐标原点），则（）
A.双曲线的一条渐近线方程为B.双曲线的离心率为
C.D.的面积为6
三、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若，则________.
14.若直线与圆有且仅有一个公共点，则实数的值为________.
15.在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投入资金的20%，每月月底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续.预计2020年小王的农产品加工厂的年利润为________元.（取，）
16.已知函数在上有三个零点，则实数的取值范围为________.
四、解答题：
共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知三角形的内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角；
（2）若，角的角平分线交于点，，求的长.
18.（12分）
在①，，成等差数列，②，，成等比数列，③，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.注：
如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.
已知为数列的前项和，，，且________.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
19.（12分）
如图，在三棱锥中，侧面是边长为2的等边三角形，，分别为，的中点，过的平面与侧面交于.
（1）求证：
；
（2）若平面平面，，求直线与平面所成角的正弦值.
20.（12分）
已知椭圆的离心率为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若，分别为椭圆的上，下顶点，过点且斜率为的直线交椭圆于另一点（异于椭圆的右顶点），交轴于点，直线与直线相交于点.
求证：
直线的斜率为定值.
21.（12分）
随着电子商务的发展，人们的购物习惯也在改变，几乎所有的需求都可以通过网络购物来解决，同时顾客的评价也成为电商的“生命线”.某电商平台在其旗下的所有电商中随机抽取了50家，对电商的顾客评价，包括商品符合度、物流服务、服务态度、快递包装等方面进行调查，并把调查结果转化为顾客的评价指数，得到了如下的频率分布表：
评价指数
频数
10
将表中的频率作为概率，并且估计出顾客评价指数在65及以上的电商占全体电商的80%.
（1）求，的值；
（2）画出这50家电商顾客评价指数的频率分布直方图；
（3）平台将对全体电商进行业务培训，预计培训后，原顾客评价指数在、和的电商的顾客评价指数将分别提高20、10、5.现从这50家电商中随机抽取两家，经培训后，记其顾客评价指数提高值的和为，求的分布列和期望.
22.（12分）
已知.
（1）求的极值；
（2）若函数有两个极值点，，且（为自然对数的底数）恒成立，求实数的取值范围.
百师联盟2021届高三开学摸底联考新高考卷
数学答案及评分意见
1.B【解析】，故虚部为1.
2.A【解析】，则集合的子集个数为.
3.D【解析】由图象可知：
该函数为奇函数，定义域为，并且在上单调递增，和为偶函数，排除A，B；为奇函数，在上单调递减，排除C；为奇函数，定义域为，并且在上单调递增，故选D.
4.A【解析】因为，互为异面直线，且，则平面内必存在两条相交直线分别与，平行，又因为且，所以；若，则且，所以“且”是“”的充要条件.
5.B【解析】甲从春、夏、秋、冬四个季节中选一个季节的6幅彩绘绘制，故甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率为，故选B.
6.D【解析】由得，即，因为，所以.
7.B【解析】的展开式的通项，令，得，所以，解得，故选B.
8.A【解析】设，，因为，所以，则为减函数，所以，根据幂函数的性质可得，故.即.
9.ABD【解析】极差为万吨，A正确；平均值为
万吨，B正确；中位数为万吨，C错误.众数为17.5万吨，D正确，故选ABD.
10.AD【解析】平面截这个正方体，把该正方体分为体积相等的两部分，则平面一定过正方体的中心，所以这两部分的表面积也相等，根据对称性，截面不会是三角形、五边形，但可以是正六边形（如图）.故选AD.
11.BC【解析】由图可知：
，即，又，所以，因为在有且只有一个最小值点，可得解得.故选BC.
12.ABD【解析】如图：
设双曲线的焦距为，与轴交于点，由题可知，则，由得点为三角形的重心，可得，即，，，，，解得.双曲线的渐近线方程为，，的坐标为，，故选ABD.
13.【解析】.
14.4或-16【解析】由题，圆心到直线的距离，解得或.
15.40000【解析】设一月月底小王手中有现款为元，月月底小王手中有现款为，月月底小王手中有现款为，则，即，所以数列是以6000为首项，1.2为公比的等比数列，，即元.年利润为元.
16.【解析】函数在上的零点个数即为函数与的图象的交点个数，函数的图象如图，则必有，当时，必有一个交点；当时，设过原点的直线与的切点为，则，则切线方程为，将代入得，即，所以，又由得，结合图象可知，实数的取值范围为.
17.【解析】
（1）因为，由正弦定理可得
，
即，即，
因为，所以，故，
因为，所以.
（2）由
（1）可知
又；所以，，可得，
所以，
在中，由余弦定理可得，
即，
解得.
18.【解析】
（1）由已知，时，.两式相减得到，
即，因为，所以数列是公比为的等比数列，从而.
选①，，成等差数列，
由，，成等差数列，可得，即，解得，所以.
选②，，成等比数列，
，，成等比数列，即，，成等比数列，，解得，所以.
选③，
，即，解得，所以.
（2）.
则.
19.【解析】
（1）因为，分别为，的中点，所以，
又平面，平面，所以平面，
因为平面平面，
所以.
（2）因为平面平面，取中点，
连接，，因为是等边三角形，所以，
所以平面，故，又因为，
所以，以为坐标原点，分别以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
令，得，，所以，
，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
20.【解析】
（1）设椭圆的焦距为，则①，
②，又③，
由①②③解得，，，
所以椭圆的标准方程为.
（2）证明：
易得，，直线的方程为，因为直线不过点，所以，
由，得，
所以，从而，，
直线的斜率为，故直线的方程为.
令，得，
直线的斜率.
所以直线的斜率为定值.
21.【解析】
（1）由题可得
解得，.
（2）频率分布直方图如右图：
（3）由题可能的值为10，15，20，25，30，40，
；；
；；
；；
所以分布列为：
10
15
20
25
30
40
所以.
22.【解析】
（1）由题，函数的定义域为，，
①当时，，所以在上单调递增，无极值，
②当时，令，得（舍），
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以当时，有极小值，无极大值.
（2）函数的定义域为，，
，令，即，
当时，即时，无极值；
当时，得，
当时，设的两根为，，则且，
①时，不存在两个正根，不存在两个极值点.
②当时，
解得；
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，当时，有两个极值点，，
且，，
，
令，，
当时，，在上单调递减，
又，
所以实数的取值范围为.
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