2
18.（14分）已知各项均为正数的数列{an}满足a26，1log2anlog2an1，
nN.
（1）求数列{a}的通项公式及前n项和Sn；
n
2
a
n
（2）若n（），求数列{bn}的前n项和Tn.
blog2nN
9
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19.（12分）某校从初三年级体育加试百米测试成绩中抽取100个样本，所有样
本成绩全部在11秒到19秒之间.现将样本成绩按如下方式分为四组：
第一组[11，
13），第二组[13,15），第三组[15，17），第四组[17,19]，题19图是根据上述分组
得到的频率分布直方图.
（1）若成绩小于13秒被认定为优秀，求该样本
在这次百米测试中成绩优秀的人数；
（2）是估算本次测试的平均成绩；
（3）若第四组恰有3名男生，现从该组随机抽
取3名学生，求所抽取的学生中至多有1名女
生的概率.
20.（12分）已知正弦型函数f（x）Hsin（x），其中常数H0，0，
0，若函数的一个最高点与其相邻的最低点的坐标分别是，3，
212
7
12
，3.
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）在△ABC中A为锐角，且f（A）0.若AB3,BC33,求△ABC的面积
S.
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21.（10分）某学校计划购买x咯篮球和y个足球.
2xy5
（1）若x，y满足约束条件
xy2，问该校计划购买这两种球的总数最多是
x7
多少个？
2xy5
（2）若x，y满足约束条件，已知每个篮球100元，每个足球70元，
xy2
x7
求该校最少要投入多少元？
22.（10分）某辆汽车以x千米/小时x60,120的速度在高速公路上匀速行驶，
每小时的耗油量为
1
5
x
k
3600
x
升，其中k为常数.若该汽车以120千米/小
时的速度匀速行驶时，每小时的耗油量是12升.
（1）求常数k值；
（2）欲使每小时的耗油量不超过8升，求x的取值范围；
（3）求该汽车匀速行驶100千米的耗油量y（升）的最小值和此时的速度.
2y
2
x
23.（14分）已知椭圆C：
1和直线l:
yxm，直线l与椭圆C交于A,B
23
两点.
（1）求椭圆C的准线方程；
（2）求△ABO（O为坐标原点）面积S的最大值；
（3）如果椭圆C上存在两个不同的点关于直线l对称，求m的取值范围.
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江苏省2018年普通高校对口单招文化统考
数学试题答案及评分参考
一、单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
题号12345678910
答案BCDCBCCADA
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分）
11.612.
2
5
5
13.4814.515.a4
三、解答题（本大题共8小题，共90分）
16.（8分）
解：
（1）由题意知：
2a32,·····························2分
即1a5.··········································2分
（2）因为1a5，所以
2x273，······················2分
13
3
于是2x13，故x1.·······························2分
17.（10分）
解：
（1）因为当x20，即x0时，····························1分
g（x）12，···········································1分
所以定点A的坐标为（2,12）.·························1分
（2）因为f（x）是奇函数，
所以f
（2）f
（2），·································2分
于是（42m）12，即m4.·······················2分
（3）由题意知：
773311
f（）f
（2）f（）f
（2）f（）f（）
222222
1
（32.···························3分
2）
2
18.（14分）
a
n1
解：
（1）由题意知log2an1log2an1，得2
a
n
，
a
2
所以数列{an}是公比q=2，a3的等比数列，·······2分
1
2
于是
an132n，·····························3分
aq
n1
1
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S
n
n
（312）n
3（2
12
1）.
·······························3分
2n12
a（32）
2n2
（2）因为nlog222，·······2分
n
blog2logn
22
99
所以数列{
b}是首项为0，公差为2的等差数列，·········2分
n
2n22
于是Tnn.·····························2分
nn
2
19.（12分）
解：
（1）由频率分布直方图可得成绩优秀的人数为
0.1×2×100=20.······································4分
（2）因为12×0.1+14×0.15+16×0.2+18×0.05=7.4，·············2分
所以本次测试的平均成绩为7.4×2=14.8秒.··············2分
（3）由频率分布直方图得第四组有100×0.05×2=10人，其中由7名女
生，3名男生.·········································1分
设“所抽取的3名学生中至多有1名女生”记作事件A
321
CCC11
337
所求事件的概率为P（A）.·················3分
3
C60
10
20.（12分）
解：
（1）由题意知H3，········································1分
因为
T
2
7
12
122
2
，所以T,即2
T
，··········1分
于是f（x）3sin（2x），把点（,3）
代入可得
12
3
，
即f）.·································2分
（x）3sin（2x
3
（2）由kx2k
22
232
，························2分
5
解得kxk
1212
，kZ,
5
f（x）的单调递增区间为k，k，kZ.······2分
1212
（3）由f）0,A为锐角，得
（A）3sin（2A
3
A，··········1分
3
2
9AC271
在△ABC中，，解得AC6.·······1分
cos
6AC2
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193
故.
S36sin····························2分
232
21.（10分）
解：
（1）设该校一共购买z个球，则目标函数是zxy，··········1分
作出约束条件所表示的平面区域（答21图），
解方程组
2x
x
y
7
5
得
x
y
7
9
，···········2分
图中阴影部分是问题的可行域，根据题意
xN,yN,
从图中看出目标函数在点A（7,9）处取得最大值，
即maxz=7+9=16个，
所以该校最多一共可购买16个球.········3分
（2）设该校需要投入w元，则目标函数是
w100x70y，·························1分
约束条件的可行域是答21图中不包含边界的部分，根据xN,yN,
容易得到满足条件的整数点只有三个，分别是（5,4），（6,5），（6,6），
·························································2分
显然点（5,4）是最优解，此时minw=100×5+70×4=780元，
所以该校最少投资780元.··································1分
22.（10分）
13600
解：
（1）由题意知：
12（120k），解得k90.···········3分
5120
13600
（2）由题意知（x90）8，··························2分
5x
2x
化简得13036000
x，
解得40x90，·····································1分
因为x[60,120]，
故x的范围是60x90.······························1分
（3）由题意知
y
100
x
1
5
（
x
90
3600
x
）
·····························1分
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201
（
90
x
3600
）
2
x
111
令t,t（,）
x12060
，
2t
则72000180020
yt
当
135
t时，即x80千米/小时，最低耗油量y8.75升.
804
···················································2分
23.（14分）
22
解：
（1）易知3b，得c1，·······················2分
a，2
2
a
所以准线方程为y3.·····················2分
c
yxm
（2）联立方程组
2y2
x
23
2mxm
，化简得54260
x2，
1
2
由24m1200得5m5
设（,）（,）
Ax1y，Bxy，
122
则
4m
xx，
12
5
2
2m6
xx，
12
5
于是|AB|=
11|
x
1
x|
2
2
2
16m
2
20（2m
5
6）
43
5
5
2
m，·························2分
又原点O到直线yxm的距离
|m|
d，············1分
2
所以
S
1
2
43
5
5
|m|6
2||5
mm
5
2
2
m
6
5
（5
22
265mm6
2265mm6
m）m，
522
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当
10
m时，等号成立，
2
即△ABO面积的最大值为
6
2
.·····················3分
（3）M（x3,y3），N（x4,y4）是椭圆上不同的两点，它们关于直线l
对称，所以直线MN的方程可设为yxn，
yxn
2nxn2
2y，化简得5x4260，
2
x
联立方程组1
23
2n2
n，解得5n5，·····1分
于是16401200
4n
x，
x
又5
34
6n
y，
y-x3nx4n
34
5
2n3n
因此MN的中点坐标）
P（,，点P必在直线l上，
55
n
m，····························1分
代入直线方程得5
又5n5，
55
m.·······························2分
所以5
5
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