圆锥曲线03圆锥曲线综合1B级文科学生版.docx
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圆锥曲线03圆锥曲线综合1B级文科学生版
圆锥曲线综合1
内容
要求层次
重难点
圆锥曲线与方程
曲线与方程的对应关系
B
轨迹方程；圆锥曲线与向量综合；数学思想、方法
直线与圆锥曲线的位置关系
C
中点弦问题
1．1点差法
对于椭圆，设弦的两端点以及中点的坐标分别为、、，那么
两式相减，得
（注意，这里连结与是减号）
当时，两边同除，得
于是我们得到弦的中点坐标与弦所在直线的斜率的关系式：
特别的，当时，我们经常使用以下结论：
在这里，于是上式也即．
需要注意的是：
当与轴平行（没有斜率）时，，此时，；
当与轴平行（斜率为0）时，，此时，．
类似的，对于双曲线，有
；
对于抛物线，有
；
对于抛物线，有
．
1．2中点弦问题中的直线与圆锥曲线的位置关系
在实际应用中，由于关系式不依赖于弦端点的具体坐标，所以需要事先确定直线与圆锥曲线有两个不同的交点（这与利用弦心距和半径求圆的弦长时，需要首先保证弦的存在性类似）．下面我们来研究如何利用中点弦问题得到直线与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件．
设直线，将其与椭圆方程联立得，
其判别式
于是直线与圆锥曲线有两个不同交点等价于．
另一方面，若此时我们将与椭圆联立，可以得到“中点”满足的式子：
解得，
于是
因此利用中点弦问题的解法求出的点在椭圆内部是该直线与与圆锥曲线有两个不同交点的充要条件．
类似的，我们可以得到，在椭圆上与直线与圆锥曲线相切等价；在椭圆外与直线与圆锥曲线相离等价．
定点弦问题
2．1直线参数方程的引入与推广
2．1．1直线参数方程的引入
在这一小节，我们将暂时抛弃斜率、倾斜角、截距等概念，利用纯粹的向量引入平面直角坐标系下的直线，并将这一做法推广至空间．
平面上的直线可以由直线上的一点与表征该直线方向的方向向量（其中）确定．容易知道，平面上一点在直线上的充分必要条件就是向量与平行（共线），也即
（其中为实数）
根据平面向量的坐标运算法则，我们有
整理有
这就是平面上直线的参数方程，其中参数．
为了方便应用，我们经常取单位方向向量，其中为直线的倾斜角．这样做的好处在于此时，也就是说参数有鲜明的几何意义（参数所对应的点到定点的距离为），缺点在于不方便使用和运算．
在实际解题中，我们对直线方向的信息往往来自于直线的斜率，于是我们也经常取直线的方向向量为，此时参数所对应的点到定点的距离为，并且可以很方便的进行与圆锥曲线的联立．
2．1．2直线参数方程的推广
平面上的直线方程还可以通过直线上的一点和直线的法向量引入．容易知道，平面上一点在直线上的充分必要条件就是向量与垂直，也即
根据平面向量的坐标运算法则，我们有
整理有
记，那么就得到直线的一般形式．利用这一引入过程，我们可以很方便的推导出平面上点到直线的距离公式．事实上，（向量在向量方向上的投影长度）
而，，代入得
与利用方向向量推导平面上的直线方程类似，我们可以方便的推出空间直线的方程
其中为空间直线的方向向量，为该直线上的一点．
与利用法向量推导平面上的直线方程类似，我们可以方便的推出空间平面的方程
其中为空间平面的法向量，，为该空间平面上的一点．
而平面上点到直线的距离公式也可以类似的推广到空间上点到平面的距离公式
其中点坐标为，平面方程为．
2．2利用直线参数方程解定点弦问题
直线的参数方程为我们解决通过某定点的直线与圆锥曲线相交时出现的弦长或定比问题提供了解题途径．尤其是当这类问题不方便转化为、中的任何一个方向上研究时（当定点的横纵坐标均不为时），利用直线的参数方程与圆锥曲线方程联立往往可以起到大大简化运算的效果．
下面我们通过对第二节中的焦点弦长公式的推导展示这种联立过程．
对于通过定点（椭圆的左焦点）、倾斜角为的直线，我们写出直线的参数方程
将该方程代入椭圆方程可得
整理得
于是焦点弦长
在实际应用中，一定要特别注意参数的正负（这取决于参数对应的点与定点的位置关系）．另外，应该在重视熟练应用韦达定理化简问题的同时，掌握应用求根公式对问题进行化简的方法．
顶点弦问题
顶点弦问题的提出来源于圆锥曲线（除抛物线外）的一个重要性质：
圆锥曲线上的点与圆锥曲线的一对顶点、（对于圆，取直径的两端点）的连线斜率的乘积为定值．
对于椭圆，取其左右顶点，，那么对于
将椭圆方程变形，有
代入上式，有
．
类似的，我们可以得到对于双曲线，有；
对于圆，有．
题型一：
中点弦问题
【例1】（2010课标全国卷高考）已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为，则的方程为（）
A．B．C．D．
【例2】（西城·文·题18）已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为．
⑴求椭圆的方程；
⑵设直线与椭圆交与两点，点，且，求直线的方程．
【例3】（2010天津高考）已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4．
⑴求椭圆的方程；
⑵设直线与椭圆相交于不同的两点，，已知点的坐标为，点在线段的垂直平分线上，且，求的值．
【例4】（2010安徽）已知椭圆经过点，对称轴为坐标轴，焦点，在轴上，离心率．
⑴求椭圆的方程；
⑵求的角平分线所在直线的方程；
⑶在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？
若存在．请找出；若不存在，说明理由．
题型二：
定点弦问题
【例5】已知椭圆和抛物线有公共焦点，的中心和的顶点都在坐标原点，过点的直线与抛物线分别相交于A，B两点．
⑴写出抛物线的标准方程；
⑵若，求直线的方程；
⑶若坐标原点关于直线的对称点在抛物线上，直线与椭圆有公共点，求椭圆的长轴长的最小值．
【例6】如图，是抛物线：
上一点，直线过点且与抛物线交于另一点．
⑴若直线与过点的切线垂直，求线段中点的轨迹方程；
⑵若直线不过原点且与轴交于点，与轴交于点，试求的取值范围．
题型三：
顶点弦问题
【例7】已知点在双曲线（）的右支上（与不重合），分别为双曲线的左、右顶点，且，则（）
A．B．C．D．
【例8】（东城·文·题19）已知椭圆的短轴长为，且与抛物线有共同的焦点，椭圆的左顶点为，右顶点为，点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点．
⑴求椭圆的方程；
⑵求线段的长度的最小值；
⑶在线段的长度取得最小值时，椭圆上是否存在一点，使得的面积为，若存在求出点的坐标，若不存在，说明理由．
【例9】（西城·题19）如图，椭圆短轴的左右两个端点分别为，直线与轴、轴分别交于两点，与椭圆交于两点．
⑴若，求直线的方程；
⑵设直线的斜率分别为，若，求的值．
【例10】（2010年江苏理科18）如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点为、，右焦点为．设过点的直线与此椭圆分别交于点、，其中，，．
⑴设动点满足，求点的轨迹；
⑵设，，求点的坐标；
⑶设，求证：
直线必过轴的一定点（其坐标与无关）．
【例11】（2010北京）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，是动点，且直线与的斜率之积等于．
（Ⅰ）求动点的轨迹方程；
（Ⅱ）设直线和分别与直线交于点，，问：
是否存在点使得与的面积相等？
若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
高考数学的圆锥曲线题型变化多端，主要有几类题型，我们本讲主要说：
（1）中点弦问题
在韦达定理横行于圆锥曲线的解答题中，我们其实还有一种非常优秀的方法---点差法。
对于什么样的中点弦，我们会使用点差法，而点差法中我们需要注意的问题，比如斜率本身的限制等，我们需要特殊关注
（2）定点弦问题
弦上定比分点，或者定点分比问题，是我们常见的问题。
我们的目标就是避过复杂的运算方法，转化成横坐标或者纵坐标之间的比例，利用韦达定理处理的更加轻松。
（3）顶点弦问题
顶点似乎在圆锥曲线并不是那么实际的几何意义，其实并非如此，关于顶点很多问题都是在解析几何中需要讨论出来的，让我更加清晰的认识到顶点的重要．
【习题1】已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点、，则等于（ ）
A．B．C．D．
【习题2】（2009年海南宁夏高考）设已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点为，直线与抛物线相交于，两点．若的中点为，则直线的方程为_____________．
【习题3】设，两点在抛物线上，是的垂直平分线．当直线的斜率为时，在轴上截距的取值范围为_________．
【习题4】已知椭圆：
，试确定的取值范围，使得对于直线：
，椭圆上有不同的两点关于这条直线对称．
【习题5】椭圆的中心为坐标原点，焦点在轴上，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为，直线与轴交于点，与椭圆交于相异两点、，且
⑴求椭圆方程；⑵若的取值范围．
【习题6】（2006年东城一模）设分别是直线和上的两个动点，并且，动点满足．记动点的轨迹为，
⑴求轨迹的方程；
⑵若点的坐标为，、是曲线上的两个动点，且，求实数的取值范围．
【习题7】（2010年朝阳二模）已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆的离心率为，且经过点．过点的直线与椭圆相交于不同的两点．
⑴求椭圆的方程；
⑵是否存在直线，满足？
若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
【习题8】（2010年崇文二模）已知椭圆短轴的一个端点，离心率．过作直线与椭圆交于另一点，与轴交于点（不同于原点），点关于轴的对称点为，直线交轴于点．
⑴求椭圆的方程；
i.求的值．
【习题9】（2009年福建高考）已知直线经过椭圆的左顶点和上顶点．椭圆的右顶点为．点是椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点．
⑴求椭圆的方程；
⑵求线段的长度的最小值．
⑶当线段的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？
若存在，确定点的个数；若不存在，说明理由．
【习题10】（2010年东城二模）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切．
⑴求椭圆的方程；
⑵设，，是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点，连结交椭圆于另一点，证明直线与轴相交于定点；
⑶在⑵的条件下，过点的直线与椭圆交于，两点，求的取值范围．
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