完整版平面向量的实际背景及基本概念.docx

完整版平面向量的实际背景及基本概念.docx

《完整版平面向量的实际背景及基本概念.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《完整版平面向量的实际背景及基本概念.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

完整版平面向量的实际背景及基本概念

平面向量的实际背景及基本概念

向量的物理背景与概念

向量的几何表示

相等向量与共线向量

教学目标

1.理解向量的有关概念及向量的几何表示.（重点）

2.理解共线向量、相等向量的概念.（难点）

3.正确区分向量平行与直线平行.（易混点）

［基础初探］

教材整理1向量及其几何表示

阅读教材P74〜P75例1以上内容，完成下列问题.

1.向量与数量

（1）向量：

既有大小，又有方向的量叫做向量.

（2）数量：

只有大小，没有方向的量称为数量.

2.向量的几何表示

（1）带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：

起点、方—向、长度.

（2）向量可以用有向线段表示.向量的大小，也就是向量AB的长度（或称模），记作圈.向量也可以用字母a,b,c,…表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如aB,cD.

o徴休监0—1

判断（正确的打“，错误的打“X”）

（1）向量可以比较大小.（）

⑵坐标平面上的x轴和y轴都是向量.（）

（3）某个角是--个向量.（）

（4）体积、面积和时间都不是向量.（）

解：

因为向量之间不可以比较大小，故

（1）错；x轴、y轴只有方向，没有大小，故

（2）错；因为角只有大小没有方向，故（3）错；因为体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以⑷正确.

【答案】

（1）x

（2）x（3）x⑷"

教材整理2向量的有关概念

阅读教材P75第十八行以下至P76例2以上内容，完成下列问题.

零向量

长度为0的向量，记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

平行向量

（共线向量）

方向相冋或相反的非零向量

向量a、b平行，记作a/b规疋：

零向量与任一向量平行

相等向量

长度相等且方向相同的向量向量a与b相等，记作a=b

判断（正确的打“，错误的打“X”）

（1）单位向量都平行.（）

（2）零向量与任意向量都平行.（）

（3）若a//b,b//c,贝卩a//c.（）

（4）|AB|=|BA|.（）

解：

（1）错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行；

（2）

正确，零向量的方向是任意的，故零向量与任意向量都平行；（3）错

误，若b=0,则（3）不成立；（4）正确.故只有⑵（4）正确.

【答案】

（1）x⑵V（3）x⑷"

［小组合作型］

向量的有关概念

►订判断下列命题是否正确，请说明理由：

（1）若向量a与b同向，且|a|>|b|,则a>b;

⑵若向量|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反；

⑶对于任意向量|a|=|b|,若a与b的方向相同，贝Sa=b；

（4）由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；

（5）向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.

解答本题应根据向量的有关概念，注意向量的大小、方向两个要

素.

（1）不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所以两个向量不能比较大小.

（2）不正确.由|a|=|b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的方向关系.

⑶正确.因为|a|=|b|,且a与b同向，由两向量相等的条件，可

得a=b.

（4）不正确.依据规定：

0与任意向量平行.

（5）不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向不定.

求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意；零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.

［再练一题］

1.给出下列命题：

1若|a|=|b|,则a=b或a=—b;

2向量的模一定是正数；

3起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；

4向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直线上.

其中正确命题的序号是.

解：

①错误.由|a=|b仅说明a与b模相等，但不能说明它们方向的关系.

2错误.0的模|0=0.

3正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向，是可以任意移动的.

4错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并不要求两个向量aB、CD必须在同一直线上.

【答案】③

向量的表示及应用

►5某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10'2米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点.

（1）作出向量AB,bC,CD；

⑵求AD的模.【导学号：

00680033】

可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.可把AD放在直角三角形中求得|AD|.

解：

⑴作出向量AB,bC,Cd，如图所示：

（2）由题意得，壬CD是直角三角形，其中/BDC=90°BC=102米，CD=10米，所以BD=10米.△ABD是直角三角形，其中ZABD=90°,AB=5米，BD=10米，所以AD=,52+（10）2=55（米）,所以|AD|=5.5米.

1.向量的两种表示方法：

（1）几何表示法：

先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的长度确定向量的终点.

（2）字母表示法：

为了便于运算可用字母a,b,c表示，为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终点表示向量，如AB,CD,EF等.

2.两种向量表示方法的作用：

（1）用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为

用向量处理几何问题打下了基础.

（2）用字母表示法表示向量，便于向量的运算.

［再练一题］

2.一辆汽车从点A出发，向西行驶了100公里到达点B,然后又改变方向，向西偏北50°的方向行驶了200公里到达点C,最后又改变方向，向东行驶了100公里达到点D.

（1）作出向量AB,BC,CD;

⑵求|AD|.

解:

（1）如图所示.

⑵由题意知AB与CD方向相反，二AB与CD共线，

•••在四边形ABCD中，AB//CD,

又V|AB|=|CD|,

•四边形ABCD为平行四边形，

Z.|AD|=|BC|=200（公里）.

［探究共研型］

相等向量与共线向量

探究1向量a,b共线，向量b,c共线，向量a与c是否共线？

向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若b=

0,则向量a与c不一定共线.

探究2两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合?

不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是相等向量，与起点和终点位置无关.

例

（1）（2016潍坊高一检测）如图2—1—1,在等腰梯形ABCD

中.

1AB与CD是共线向量；

2AB=CD；3AB>CD•以上结论中正确的个数是（）

A.0B.1

C.2D.3

（2）下列说法中，正确的序号是

1若AB与CD是共线向量，则A,B,C,D四点必在一条直线上;

2零向量都相等；

3任一向量与它的平行向量不相等;

4若四边形ABCD是平行四边形，则AB=DC;

5共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.

可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断.

解：

①因为AB与CD的方向不相同，也不相反，所以AB与CD不共线，即①不正确；②由①可知②也不正确；③因为两个向量不能比较大小，所以③不正确.

（2）因为向量AB与Cd是共线向量，它们的基线不一定是同一个，

所以A,B,C,D也不一定在一条直线上，所以①错误；因为零向量的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以②正确；因为平行向量的方向可以相同且大小也可以相等，所以任一向量与它的平

行向量可能相等，即③错误；画出图形，可得AB=DC,所以④正确;由共线向量的定义可知：

共线的向量，始点不同，终点可能相同，所以⑤不正确.

【答案】

（1）A⑵②④

相等向量与共线向量需注意的四个问题：

（1）相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.

（2）两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重合.

⑶平行（共线）向量无传递性（因为有0）.

⑷三点A,B,C共线？

AB,AC共线.

［再练一题］

3.如图2-1—2所示，0是正六边形ABCDEF的中心.

图2—1—2

1分别写出图中与0A,OB,0C相等的向量;

2与0A的长度相等、方向相反的向量有哪些？

解：

①与OA相等的向量有eF,DO,CB；与OB相等的向量有DC,

EO,FA;与OC相等的向量有FO,ED,AB.

2与OA的长度相等、方向相反的向量有Ob,BC,AO,FE.

［构建体系］

•儿;•的罚31jilj世地鵠念

I讨

■冬|；i[：

|1

XU

屮.

的

实

"■

1.下列说法中正确的个数是（

①身高是一个向量;

②/AOB的两条边都是向量;

3温度含零上和零下温度，所以温度是向量;

4物理学中的加速度是向量.

A.0B.1

C.2D.3

解：

只有④中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量，①②

3错误.④正确.

【答案】B

2.在下列判断中，正确的是（）

1长度为0的向量都是零向量；

2零向量的方向都是相同的；

3单位向量的长度都相等；

4单位向量都是同方向；

5任意向量与零向量都共线．

A.①②③B.②③④

C.①②⑤D.①③⑤

解：

由定义知①正确，②由于零向量的方向是任意的，故两个零向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然③、⑤正确，④不正确，故选D.

【答案】D

3.（2016三明市期末）设ei,e是两个单位向量，则下列结论中

正确的是（）

A.ei=e2B.ei“e2

C.|ei|=|e2|D.以上都不对

解：

单位向量的模都等于1个单位，故C正确.

【答案】C

4.在下列命题中：

①平行向量一定相等；②不相等的向量一定

不平行；③共线向量一定相等；④相等向量一定共线；⑤长度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一个非零向量的两个向量是共线向量.正确的命题是.

解：

由向量的相关概念可知④⑥正确.

【答案】④⑥

5.如图2－1－3所示，四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，找出与向量AB相等的向量.

解：

由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知DC,ED与AB的长度相等且方向相同，所以与向量AB相等的向量为DC和ED.

学业分层测评

［学业达标］

一、选择题

1.下列说法正确的个数是（）

（1）温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；

（2）零向量没有方向；

（3）非零向量的单位向量是唯一的.

A.0B.1

C.2D.3

解：

（1）中温度和功不是向量；

（2）零向量的方向不确定，而不是没有方向，所以

（1）

（2）错误.

【答案】B

2.下列结论正确的是（）

A.向量必须用有向线段来表示

B.表示一个向量的有向线段是唯一的

c.有向线段AB和BA是同一向量

D.有向线段AB和BA的大小相等

解：

向量除了可以用有向线段表示以外，还可用坐标或字母表示，所以选项A错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为同一个向量，而与它的具体位置无关，所以表示一个向量的有向线段不是唯一的，选项B错误；有向线段AB和BA的方向相反，大小相等，不为同一向量，所以选项C错误、D正确.

【答案】D

3.给出下列四个命题：

①若|a|=0,则a=0;②若|a|=|b|,则a=b或a=-b;③若a//b,则|a|=|b|;④若a=0,则一a=0.

其中的正确命题有（）

A.1个B.2个

C.3个D.4个

解：

对于①，前一个零是实数，后一个应是向量0•对于②，两个向量的模相等,只能说明它们的长度相等,它们的方向并不确定.对于③，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等.只有④正确.故选A.

【答案】A

4.数轴上点A、B分别对应一1、2,则向量AB的长度是（）

A.-1B.2

解：

易知|AB|=2-（-1）=3,故选D.

【答案】D

5.（2016长春^一中期末）若且BA=CD，则四边形

ABCD的形状为（）

A.平行四边形B.矩形

C.菱形D.等腰梯形

解：

由BA=Cd知四边形为平行四边形；

由|AB|=|AD|知四边形ABCD为菱形.故选C.

【答案】C

二、填空题

6.已知A,B,C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向

量，与BC是共线向量，则m=.

解:

因为A,B,C三点不共线，所以AB与BC不共线，又因为m//AB且m//BC,所以m=0.

【答案】0

7.给出以下五个条件：

①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相反；

4|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位向量.其中能使a/b成立的是

解：

共线向量指的是方向相同或相反的向量,它只涉及方向,不涉及大小.很明显仅有①③④.

【答案】①③④

三、解答题

8.0是正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED,0CFB都是

正方形，在如图2—1—4所示的向量中:

图2—1—4

（1）分别找出与AO,B0相等的向量；

（2）找出与A0共线的向量；

（3）找出与A0模相等的向量；

（4）向量A0与CO是否相等？

解：

（1）A0=BF,E30=AE.

（2）与AO共线的向量有：

BF,CO,DE.

（3）与AO模相等的向量有：

Co,Do,BO,BF,Cf,Ae,De.

（4）向量AO与CO不相等，因为它们的方向不相同.

9.如图2—1—5所示，已知四边形ABCD中，M,N分别是BC,

AD的中点，又AB=DC且CN=MA,求证：

DN=Mb.

图2—1—5

【证明】因为AB=DC,

所以|AB|=|DC且AB//DC,

所以四边形ABCD是平行四边形,

所以|DA|=|CB|且DA//CB.

又因为dA与CB的方向相同，

所以CB=DA.

同理可证，四边形CNAM是平行四边形，

所以CM=NA.

因为|cB|=|DA|,|cM|=|imA|

所以|iMB|=|dN|.

又DN与MB的方向相同，

所以dN=MB.

[能力提升]

1.已知向量a,b是两个非零向量，AO,BO分别是与a,b同方向的单位向量，则以下各式正确的是（）

a.AO=BOb.AO=BO或AO=ob

c.AO=oBd.AO与BO的长度相等

解：

因为a与b方向关系不确定且az0,b^O,

又AO与a同方向，

BO与b同方向，

所以AO与BO方向关系不确定，所以A,B,C均不对.

又AO与BO均为单位向量，

所以|AO|=|bO|=1.

【答案】D

2.已知飞机从A地按北偏东30°方向飞行2000km到达B地,再从B地按南偏东30°方向飞行2000km到达C地，再从C地按西南方向飞行10002km到达D地.画图表示向量AB,BC,CD，并指出向量AD的模和方向.

解：

以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方向建立直角坐标系.

据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象限，向量AlB,BC,Cd如图所示，

由已知可得，

△ABC为正三角形，所以AC=2000km.

又/ACD=45°,CD=1000.2km.

所以△ADC为等腰直角三角形，

所以AD=10002km，/CAD=45°.

故向量AD的模为10002km,方向为东南方向.