完整版平面向量的实际背景及基本概念.docx

1、完整版平面向量的实际背景及基本概念平面向量的实际背景及基本概念向量的物理背景与概念向量的几何表示相等向量与共线向量教学目标1 .理解向量的有关概念及向量的几何表示.（重点）2. 理解共线向量、相等向量的概念.（难点）3. 正确区分向量平行与直线平行.（易混点）基础初探教材整理1向量及其几何表示阅读教材P74P75例1以上内容，完成下列问题.1 .向量与数量（1） 向量：既有大小，又有方向的量叫做向量.（2） 数量：只有大小，没有方向的量称为数量.2.向量的几何表示（1） 带有方向的线段叫做有向线段.它包含三个要素：起点、方 向、长度.（2） 向量可以用有向线段表示.向量的大小，也就是向量AB的

2、 长度（或称模），记作圈.向量也可以用字母a, b, c,表示，或用 表示向量的有向线段的起点和终点字母表示，例如 aB, cD. o徴休监01判断（正确的打“，错误的打“X” ）（1）向量可以比较大小.（ ）坐标平面上的x轴和y轴都是向量.（ ）（3） 某个角 是- -个向量.（ ）（4） 体积、面积和时间都不是向量.（ ）解：因为向量之间不可以比较大小，故（1）错；x轴、y轴只有方 向，没有大小，故（2）错；因为角只有大小没有方向，故（3）错；因为 体积、面积和时间只有大小没有方向，都不是向量，所以 正确.【答案】（1）x （2） x （3）x 教材整理2向量的有关概念阅读教材P75第十八

3、行以下至P76例2以上内容，完成下列问题.零向量长度为0的向量，记作0单位向量长度等于1个单位的向量平行向量（共线向量）方向相冋或相反的非零向量向量a、b平行，记作a / b 规疋：零向量与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量 向量a与b相等，记作a = b判断（正确的打“，错误的打“X” ）（1） 单位向量都平行.（）（2） 零向量与任意向量都平行.（ ）（3） 若 a/ b, b/ c,贝卩 a/ c.（ ）（4） |AB|= |BA|.（）解：(1)错误，长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量，单位向 量有无数多个且每个都有确定的方向，故单位向量不一定平行； (2)正确，零向量的

4、方向是任意的，故零向量与任意向量都平行； (3)错误，若b= 0,则(3)不成立；(4)正确.故只有 (4)正确.【答案】(1)x V (3)x 小组合作型向量的有关概念订 判断下列命题是否正确，请说明理由：(1)若向量a与b同向，且|a|b|,则ab;若向量|a|= |b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反；对于任意向量|a| = |b|,若a与b的方向相同，贝S a= b；(4)由于0方向不确定，故0不与任意向量平行；(5)向量a与向量b平行，则向量a与b方向相同或相反.解答本题应根据向量的有关概念， 注意向量的大小、方向两个要素.(1)不正确.因为向量由两个因素来确定，即大小和方向，所

5、以 两个向量不能比较大小.(2)不正确.由|a|= |b|只能判断两向量长度相等，不能确定它们的 方向关系.正确.因为|a|= |b|,且a与b同向，由两向量相等的条件，可得 a= b.(4)不正确.依据规定：0与任意向量平行.(5)不正确.因为向量a与向量b若有一个是零向量，则其方向 不定.求解向量的平行问题时不可忽视零向量的大小为零，方向任意； 零向量与任一向量平行；所有的零向量相等.再练一题1.给出下列命题：1若 |a|=|b|,则 a= b 或 a= b;2向量的模一定是正数；3起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；4向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在同一直

6、线 上.其中正确命题的序号是 .解：错误.由|a= |b仅说明a与b模相等，但不能说明它们方 向的关系.2错误.0的模|0= 0.3正确.对于一个向量只要不改变其大小和方向， 是可以任意移 动的.4错误.共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可.并 不要求两个向量aB、CD必须在同一直线上.【答案】 向量的表示及应用 5 某人从A点出发向东走了 5米到达B点，然后改变方向 按东北方向走了 10 2米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了 10米到达D点.(1)作出向量AB, bC, CD；求AD的模.【导学号：00680033】可先选定向量的起点及方向，并根据其长度作出相关向量.可把 AD

7、放在直角三角形中求得|AD|.解：作出向量AB, bC, Cd，如图所示：(2)由题意得，壬CD是直角三角形，其中/ BDC= 90 BC= 10 2 米，CD = 10米，所以BD = 10米. ABD是直角三角形，其中ZABD =90,AB= 5 米，BD = 10 米，所以 AD = , 52 +( 10) 2= 5 5(米), 所以|AD|= 5 .5米.1.向量的两种表示方法：(1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后 根据向量的长度确定向量的终点.(2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a, b, c表示，为了联系 平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点

8、与终点表示 向量，如AB, CD, EF等.2.两种向量表示方法的作用：(1)用几何表示法表示向量，便于用几何方法研究向量运算，为用向量处理几何问题打下了基础.(2)用字母表示法表示向量，便于向量的运算.再练一题2.一辆汽车从点A出发，向西行驶了 100公里到达点B,然后 又改变方向，向西偏北50的方向行驶了 200公里到达点C,最后 又改变方向，向东行驶了 100公里达到点D.(1)作出向量AB, BC, CD;求|AD|.解: (1)如图所示.由题意知AB与CD方向相反，二AB与 CD共线，在四边形ABCD中，AB/CD,又 V |AB|= |CD|,四边形ABCD为平行四边形，Z.|AD

9、|= |BC|= 200(公里).探究共研型相等向量与共线向量探究1向量a, b共线，向量b, c共线，向量a与c是否共线？向量a与c不一定共线，因为零向量与任意向量都共线，若 b =0,则向量a与c不一定共线.探究2两个相等的非零向量的起点与终点是否都分别重合?不一定.因为向量都是自由向量，只要大小相等，方向相同就是 相等向量，与起点和终点位置无关.例 （1）（2016潍坊高一检测）如图21 1,在等腰梯形ABCD中.1AB与 CD是共线向量；2AB= CD；3ABCD以上结论中正确的个数是（ ）A . 0 B. 1C. 2 D. 3（2）下列说法中，正确的序号是 1若AB与CD是共线向量，

10、则A, B, C, D四点必在一条直线上;2零向量都相等；3任一向量与它的平行向量不相等;4若四边形ABCD是平行四边形，则AB= DC;5共线的向量，若始点不同，则终点一定不同.可借助几何图形性质及向量相关概念进行判断.解：因为AB与CD的方向不相同，也不相反，所以 AB与CD不 共线，即不正确；由可知也不正确；因为两个向量不能比 较大小，所以不正确.（2）因为向量AB与Cd是共线向量，它们的基线不一定是同一个，所以A, B, C, D也不一定在一条直线上，所以 错误；因为零向量 的长度都为零，且其方向任意，所以零向量相等，所以 正确；因为 平行向量的方向可以相同且大小也可以相等， 所以任一

11、向量与它的平行向量可能相等，即错误；画出图形，可得 AB= DC,所以正确; 由共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，所 以不正确.【答案】（1）A相等向量与共线向量需注意的四个问题：（1） 相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量.（2） 两个向量平行与两条直线平行是两个不同的概念；两个向量 平行包含两个向量有相同基线，但两条直线平行不包含两条直线重 合.平行（共线）向量无传递性（因为有0）.三点A, B, C共线？ AB, AC共线.再练一题3.如图2- 1 2所示，0是正六边形ABCDEF的中心.图 2121分别写出图中与0A, OB, 0C相等的向量;2与0

12、A的长度相等、方向相反的向量有哪些？解：与OA相等的向量有eF , DO, CB；与OB相等的向量有DC,EO, FA;与OC相等的向量有FO, ED , AB.2与OA的长度相等、方向相反的向量有 Ob, BC, AO, FE.构建体系儿;的罚31 jilj世地鵠念I讨冬 |；i ：|1X U屮.的实1.下列说法中正确的个数是（身高是一个向量;/ AOB的两条边都是向量;3温度含零上和零下温度，所以温度是向量;4物理学中的加速度是向量.A . 0 B. 1C. 2 D. 3解：只有中物理学中的加速度既有大小又有方向是向量， 3错误.正确.【答案】 B2.在下列判断中，正确的是（ ）1长度为0

13、的向量都是零向量；2零向量的方向都是相同的；3单位向量的长度都相等；4单位向量都是同方向；5任意向量与零向量都共线A . B .C. D .解：由定义知正确，由于零向量的方向是任意的，故两个零 向量的方向是否相同不确定，故不正确.显然、正确，不正确， 故选 D.【答案】 D3.(2016三明市期末)设ei, e是两个单位向量，则下列结论中正确的是 ( )A . ei = e2 B. ei “ e2C. |ei|= |e2| D .以上都不对解：单位向量的模都等于1个单位，故C正确.【答案】 C4.在下列命题中：平行向量一定相等；不相等的向量一定不平行；共线向量一定相等；相等向量一定共线；长度相

14、等的 向量是相等向量；平行于同一个非零向量的两个向量是共线向 量.正确的命题是 .解： 由向量的相关概念可知 正确.【答案】 5.如图 21 3 所示，四边形 ABCD 是平行四边形，四边形 ABDE 是矩形，找出与向量AB相等的向量.解：由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDE是矩形，知DC, ED与AB的长度相等且方向相同，所以与向量 AB相等的向量为DC和 ED.学业分层测评学业达标一、选择题1.下列说法正确的个数是（）（1） 温度、速度、位移、功这些物理量都是向量；（2） 零向量没有方向；（3） 非零向量的单位向量是唯一的.A . 0 B. 1C. 2 D. 3解：（1）中温度和功

15、不是向量；（2）零向量的方向不确定，而不是 没有方向，所以（1）（2）错误.【答案】 B2. 下列结论正确的是（ ）A .向量必须用有向线段来表示B .表示一个向量的有向线段是唯一的c.有向线段AB和BA是同一向量D .有向线段AB和 BA的大小相等解：向量除了可以用有向线段表示以外， 还可用坐标或字母表示， 所以选项 A 错误；向量为自由向量，只要大小相等，方向相同就为 同一个向量， 而与它的具体位置无关， 所以表示一个向量的有向线段 不是唯一的，选项B错误；有向线段AB和 BA的方向相反，大小相等， 不为同一向量，所以选项C错误、D正确.【答案】 D3.给出下列四个命题：若 |a| = 0

16、,则 a= 0;若 |a|=|b|,则 a= b 或 a=-b;若 a/ b, 则|a|= |b|;若 a= 0,则一a= 0.其中的正确命题有 ( )A. 1个 B. 2 个C. 3个 D. 4 个解：对于，前一个零是实数，后一个应是向量 0对于，两个 向量的模相等,只能说明它们的长度相等,它们的方向并不确定.对 于，两个向量平行，它们的方向相同或相反，模未必相等.只有 正确.故选 A.【答案】 A4.数轴上点A、B分别对应一1、2,则向量AB的长度是( )A.- 1 B. 2解：易知 |AB| = 2- （- 1）= 3,故选 D.【答案】 D5. （2016长春一中期末）若且BA = C

17、D，则四边形ABCD的形状为（ ）A .平行四边形 B .矩形C.菱形 D .等腰梯形解：由BA=Cd知四边形为平行四边形；由|AB|= |AD|知四边形ABCD为菱形.故选C.【答案】 C二、填空题6.已知A, B, C是不共线的三点，向量 m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则m = .解:因为A,B,C三点不共线，所以AB与BC不共线，又因为m/ AB 且 m / BC,所以 m = 0.【答案】 07.给出以下五个条件：a= b;|a|=|b|;a与b的方向相反；4|a|= 0或|b|= 0;a与b都是单位向量.其中能使a / b成立的是解：共线向量指的是方向相同或相反的向量,它

18、只涉及方向,不 涉及大小.很明显仅有 .【答案】 三、解答题8.0是正方形ABCD对角线的交点，四边形 OAED, 0CFB都是正方形，在如图21 4所示的向量中:图 214(1)分别找出与AO, B0相等的向量；(2)找出与A0共线的向量；(3)找出与A0模相等的向量；(4)向量A0与CO是否相等？解：(1)A0=BF, E30= AE.(2)与AO共线的向量有：BF, CO, DE.(3)与AO模相等的向量有：Co, Do, BO, BF, Cf, Ae, De.(4)向量AO与CO不相等，因为它们的方向不相同.9.如图2 1 5所示，已知四边形ABCD中，M , N分别是BC,AD的中点

19、，又AB= DC且CN=MA,求证：DN= Mb.图 215【证明】 因为AB= DC,所以 |AB|= |DC且 AB/ DC ,所以四边形ABCD是平行四边形,所以 |DA|=|CB|且 DA / CB.又因为dA与CB的方向相同，所以CB= DA.同理可证，四边形 CNAM 是平行四边形，所以CM = NA.因为|cB|= |DA|, |cM|=|imA|所以 |iMB|= |dN|.又DN与MB的方向相同，所以dN = MB.能力提升 1.已知向量a, b是两个非零向量，AO, BO分别是与a, b同 方向的单位向量，则以下各式正确的是 ( )a . AO= BO b . AO=BO或

20、AO= obc . AO= oB d . AO与BO的长度相等解：因为a与b方向关系不确定且az0, bO,又AO与a同方向，BO与b同方向，所以AO与BO方向关系不确定，所以A, B, C均不对.又AO与BO均为单位向量，所以 |AO|= |bO|= 1.【答案】 D2 .已知飞机从A地按北偏东30方向飞行2 000 km到达B地, 再从B地按南偏东30方向飞行2 000 km到达C地，再从C地按西 南方向飞行1 000 2 km到达D地.画图表示向量AB, BC, CD，并 指出向量AD的模和方向.解：以A为原点，正东方向为x轴正方向，正北方向为y轴正方 向建立直角坐标系.据题设，B点在第一象限，C点在x轴正半轴上，D点在第四象 限，向量AlB, BC, Cd如图所示，由已知可得，ABC为正三角形，所以 AC= 2 000 km.又/ACD = 45,CD = 1 000 .2 km.所以 ADC为等腰直角三角形，所以 AD = 1 000 2 km，/CAD = 45.故向量AD的模为1 000 2 km,方向为东南方向.