湘教版初中八年级数学下册教学案导学案 全套导学.docx
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湘教版初中八年级数学下册教学案导学案全套导学
黎家坪镇中心学校八年级数学（下册）教案
1
1.1多项式的因式分解
教学目标
1．了解分解因式的意义，以及它与整式乘法的相互关系．
2．感受因式分解在解决相关问题中的作用．
3．通过因式分解培养学生逆向思维的能力。
重点与难点
重点：
理解分解因式的意义，准确地辨析整式乘法与分解因式这两种变形。
难点：
对分解因式与整式关系的理解
教学过程
一、创设情境，导入新课
1回顾整式乘法和乘法公式
填空：
计算：
（1）2ab（3a+4b-1）=_________,
（2）（a+2b）（2a-b）=__________
（3）（x-2y）（x+2y）=__________;（4）=_____________
（5）=________
2你会解方程：
吗？
估计学生会想到两种做法：
（1）一是用平方根的定义，
（2）二是：
解：
（x+1）（x-1）=0,根据两个因式相乘等于0，
必有一个因式等于0，得到：
x+1=0或者x-1=0,因此：
得x=1或-1
指出：
把叫因式分解，为什么要把一个多项式因式分解呢？
这
节课我们来学习这个问题。
二合作交流，探究新知
1因式的概念
（1）说一说：
6=2?
___,
（2）指出：
对于6与2，有整数3使得6=2?
3，我们把2叫6的一个因数，同理,3也是6
的一个因数。
类似的：
对于整式与x+2,有整式x-1使得，我们把x+2叫多
项式的一个因式，同理，x-2也叫多项式的一个因式。
你能说说什么叫因式吗？
黎家坪镇中心学校八年级数学（下册）教案
2
一般地，对于两个多项式f与g,如果有多项式h使得f=gh,那么我们把g叫f的一个
因式，同样，h也是f的一个因式。
（3）考考你：
你能说出下面多项式有什么因式吗？
Aab+ac,BCD
2因式分解的概念
（1）指出;一般地，把一个含字母的多项式表示成若干个均含字母的多项式的乘积的形式，
称为把这个多项式因式分解。
（2）考考你：
下面变形叫因式分解吗？
E=F=
说明：
因式分解的对象是含有字母的多项式因此A不是因式分解，因式分解的目的是把含
字母的多项式化成均含字母的乘积的形式，因此B不是，因为不是多项式。
D中等号
右边不是乘积形式，因式分解是对一个多项式进行变形，不改变它的结果，因此F不是因式
分解。
3为什么要对一个多项式进行因式分解呢？
看书P3
4尝试练习
你能根据
（1）2ab（3a+4b-1）=_________,
（2）（a+2b）（2a-b）=__________
（3）（x-2y）（x+2y）=__________;（4）=_____________
（5）=________
对下面多项式进行因式分解吗？
（1），
（2），（3），（4）
5因式分解与整式乘法有什么区别和联系？
整式乘法：
把乘积形式化和差形式，因式分解：
把和差形式化成乘积形式；
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3
考考你：
判断下列各式哪些是整式乘法?
哪些是分解因式?
（1）.=（x+2y）（x-2y）
（2）.2x（x-3y）=2-6xy
（3）.=-10a+1（4）.+4x+4=（5）.（a-3）（a+3）=-9
（6）。
-4=（m+4）（m-4）（7）.2πR+2πr=2π（R+r）
三应用迁移，巩固提高
1简单的因式分解
例1把下列多项式因式分解
（1），
（2），（3），（4）（5）
2因式分解在解方程中的应用
例2解下列方程：
（1），
（2）
四课堂练习，巩固提高
1.指出下列各式中从左到右的变形哪个是分解因式？
（1）x
2
－2=（x+1）（x－1）－1
（2）（x－3）（x+2）=x
2
－x—6
（3）3m
2
n－6mn=3mn（m－2）（4）ma+mb+mc=m（a+b）+mc（5）a
2
－4ab+4b
2
=（a－2b）
2
2把下列各式因式分解
（1），
（2）,（3）
五反思小结，拓展提高
1这节课重点内容是什么？
这节课重点是因式分解的概念，
2什么叫因式分解？
因式分解与整式的乘法有什么区别？
六作业P4
七教学后记
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4
1.2提公因式法
教学目标：
会确定多项式中各项的公因式，会用提公因式法分解多项式的因式。
重、难点：
重点：
用提公因式法分解因式。
难点：
确定多项式中的公
因式。
教学过程
一创设情境，导入新课
1如图，我们学校篮球场的面积是ma+mb+mc,长为a+b+c,宽为多少呢？
这个问题实际上就是求（am+bm+cm）÷（a+b+c）=______
为了解决这个问题请你先思考：
2如图，某建筑商买了一块宽为m的矩形地皮，被分成了三块矩形宽度
分别是a,b,c,这块地皮的面积是多少？
提问：
把ma+mb+mc写成m（a+b+c）叫什么运算？
怎样分解因式？
这节课我们来学习第一个方法-------提公因式法
二合作交流，探究新知
1公因式的概念
（1）式子：
am,bm,cm,是由哪些因式组成的？
指出：
其中m是他们的公共的因式，叫公因式
（2）你能指出下面多项式中各项的公因式吗？
（5）
2提公因式法
把ma+mb+mc分解成：
ma+mb+mc=m（a+b+c）,用到什么依据？
这种因式分解有什么特点？
用到了乘法分配律，特点：
把各项的公因式提出放到括号外面，叫提公因式法。
3应用举例
例1把因式分解
强调：
（1）公因式确定后，另一个因式怎么确定？
（2）某一项全部提出后，还有因数“1”
例2把因式分解。
强调：
（1）首项系数是负数时，取其绝对值找最大公因数。
（2）首项为负时，最好提出负号。
例3把因式分解强调：
公因式确定的方法：
（1）系数：
取各系数的最大公约数。
如果绝对值较大，可以分解质因数求最大公因数；求
48、36的最大功因数48=，36=，那么就是他们的最大公约数
（2）对于字母，取各项都有的，指数最低的。
如：
与，取做为公因式的字
母因式
（3）公因式确定后，另一个因式可以用多项式除以公因式。
考考你：
1.ax+ay-axy在分解因式时,应提取的公因式（）
A.aB.aC.axD.ay
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5
2.下列分解因式正确的个数为（）
（1）5y+20y=5y（y+4y）
（2）ab-2ab+ab=ab（a-2b）
（3）a
2
+3ab-2ac=-a（a+3b-2c）（4）-2x-12xy+8xy=-2x（x+6y-4y）
A.1B.2C.3D.4
三应用迁移，巩固提高
1提公因式法在计算方面的应用
例4如图，a=4.6cm,b=1.3cm,求阴影部分的面积。
2提公因式法在证明中的应用
例5必能被45整除吗？
试说明理由。
四课堂练习，巩固提高P81,2,3
五反思小结，拓展提高。
这节课我们学习了因式分解的什么方法？
应注意什么？
六作业P10A12
（1）---（3）B2,3
七教学后记
黎家坪镇中心学校八年级数学（下册）教案
6
1.2用提公因式分解因式
（2）
教学目标
1使学生进一步掌握公因式为多项式的因式分解；2渗透类比、转化的思想。
重点、难点：
重点：
公因式为多项式的因式分解
难点：
公因式不明显而需要转化才能找到时的因式分解。
教学过程
一创设情境，导入新课
1复习检查
（1）-8abc的公因式是_______,
师：
强调找公因式的方法
（2）分解因式：
①am+bm②15
强调：
如果多项式中各项有公因式，一定要提出公因式。
找公因式是关键，如果把多项式
am+bm中的m换成：
（x-2）得到a（x-2）+b（x-2）又怎样分解因式呢？
板书课题：
用提公因式法分解因式
（2）
二合作交流，探究新知
1公因式为多项式的因式分解
（1）am+bm中的m换成（x-2）得到a（x-2）+b（x-2中的公因式是什么？
怎样分解因式
（2）若再将a换成2b-3得到：
（2b-3）（x-2）+b（x-2）公因式是什么？
怎样分解因式？
（3）am+bm中的m换成：
得到，公因式是什么？
怎样分解因式？
（4）若再把a换成（a+c）,b换成（a-c）得到：
公因式是什么？
怎样分解因式？
从上面问题我们看到公因式有的是单项式，有的是多项式，我们要练就“火眼金睛”发现多
项式的公因式。
2公因式不明显的因式分解
（1）你知道下面多项式有什么关系吗？
有式子怎样表达它们的关系？
①a+b与b+a②a-b与b-a③与④
（2）下面多项式有公因式吗？
如果有怎样分解因式呢？
①a（x-2）+b（2-x）②a+b③a-b
三应用迁移，巩固提高
1多项式为公因式的因式分解
例1把-12分解因式。
例2把多项式（a+b-c）（a-b+c）-（b+c-a）（c-a-b）分解因式
黎家坪镇中心学校八年级数学（下册）教案
7
例3把分解因式
2多项式因式分解的应用
例4已知x,y都是正的整数，且x（x-y）-y（y-x）=12,求x和y
例5解方程：
2x（3x-1）+（2x-2）（1-3x）=28
四课堂练习，巩固提高P101,2
五反思小结：
这节课你有什么收获？
师强调：
不明显的公因式要注意变形成为多项式。
六教学后记
黎家坪镇中心学校八年级数学（下册）教案
8
1.3公式法
（1）
教学目标
1使学生掌握用平方差公式分解因式；
2理解多项式中如果有公因式要先提公因式，了解实数范围内与有理数范围内分解因式的区
别。
重点、难点
重点：
用平方差公式分解因式。
难点：
当公式中的字母取多项式时的因式分解。
教学过程
一创设情境，导入新课
1复习检查：
（1）分解因式：
（1）5x
（2）（a+b）（a-b）=___________,这是什么运算?
（3）怎样分解因式：
？
=（a+b）（a-b），是用平方差公式分解的，我们把它公式法。
这节课我们来学习用公式法分解因式。
板书课题
二合作交流，探究新知。
1用平方差分解因式
（1）把公式=（a+b）（a-b）中的字母a改为2x字母b改为y得到什么样的多项式？
怎样把分解因式？
，
（2）把公式=（a+b）（a-b）中的字母a改为5x字母b改为得到什么样的多项式？
怎样分解多项式？
（3）把公式=（a+b）（a-b）中的字母a改为x+y字母b改为2y得到什么样的多项
式?
怎样把多项式分解因式？
（4）把公式=（a+b）（a-b）中的字母a改为x+y字母b改为x-y+1得到什么样的多
项式?
怎样把多项式分解因式？
2模仿练习：
请你把公式=（a+b）（a-b）中的字母a、b任意改为数、字母、单
项式或者多项式，然后把这些多项式分解因式。
通过这样的训练，你会多用平方差公式分解
因式更加熟练，一定要重视哟！
3平方差公式的识别下面多项式是否适合用平方差公式分解因式？
（1），
（2），（3）
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9
师：
一个多项式是否适合用平方差公式分解因式，怎样辨别呢？
三应用迁移，巩固提高
1用平方差公式分解因式
例1分解因式。
（1），
（2）9（3）
2综合运用平方差公式和提公因式法分解因式。
例2把分解因式。
3有理数范围和实数范围内分解因式。
交流：
怎样把分解因式？
估计学生会有两种想法：
一是：
=，二是：
=
这两种解法有什么区别？
前者结果中系数没有无理数，后者结果中出现无理数。
我们把前面的因式分解叫在有理
数范围内分解因式，后者叫在实数范围内分解因式。
如果没有特别说明，因式分解只在有理数范围内进行。
4应用迁移，巩固提高
例3某校打算对操场的圆形跑道上铺塑胶路面，已知跑道外圆半径R=30.5m,内圆半径
r=24.5m,求需要的塑胶总面积。
（π取3.14，结果精确到0.1）
四课堂练习，巩固提高P14练习题1，2，3
五反思小结，拓展提高用平方差公式分解因式，关键是会识别一个多项式是否适合用公
式，如果适合什么式子相同于公式中的字母a,什么式子相当于公式中的字母b。
六作业P171B1,2
七教学后记
黎家坪镇中心学校八年级数学（下册）教案
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1.3公式法
（2）
教学目标
1使学生掌握完全平方公式并会利用完全平方公式分解因式；
2培养学生的逆向思维能力。
重点、难点
重点：
会用完全平方公式分解因式难点：
识别一个多项式是否适合完全平方公式。
教学过程
一创设情境，导入新课
1检查学习效果分解因式
（1）；
（2）4
2=_________,=__________这叫什么运算？
怎样多项式：
、分解因式？
这节课我们来学习公式法
（2）
二合作交流，探究新知
1理解平方差公式的结构，并会用平方差公式分解因式
（1）我们把式子中的字母a改为x,b改为2，得到的多项式是什么？
怎样把
分解因式？
+4x改为-4x又怎样分解因式呢？
（2）我们把式子中的字母把a改为x，b改为，得到的多项式是什么？
怎
样把分解因式呢？
-3x改为+3x呢？
（3）我们把式子中的字母a改为2x,b改为2，得到什么样的多项式？
怎样把
分解因式？
-12x改为+12x呢？
（4）我们把式子中的字母a改为，b不变，得到什么样的多项式？
怎样把
分解因式？
（5）我们把式子中的字母a改为（x+y）,字母b改为6得到什么样的多项式？
怎样把分解因式？
通过上面的讨论，我们看到公式中的字母可以代替一个数、一个字母、甚至一个单项式
或一个多项式，关键是要知道多项式是否适合完全平方公式，如果适合，什么相当于字母a，
什么相当于字母b.
2公式的识别
（1）下面多项式是否适合完全平方式分解因式？
（1），
（2）+2m-1（3）（4）
黎家坪镇中心学校八年级数学（下册）教案
11
（2）填空：
①,②
③④
三应用迁移，巩固提高
1用完全平方公式分解因式
例1把下面多项式分解因式
（1）
（2），（3）（4）
2提公因式法和公式法的综合运用
例2把多项式分解因式
3分解因式的应用
例3若一个三角形的三条边a、b、c满足
试判断这个三角形的形状
四课堂练习，巩固提高P17练习，1，2
五反思小结，拓展提高
1完全平方公式有什么特点？
2用完全平方公式分解因式关键是先识别一个多项式是否适合完全平方公式，如果适合，什
么相当于a,什么相当于b.
六作业P17A2,3B3
七教学后记
黎家坪镇中心学校八年级数学（下册）教案
12
因式分解小结与复习
教学目标:
1.知识与技能:
掌握运用提公因式法、公式法分解因式,培养学生应用因式分解解决问题
的能力.
2.过程与方法:
经历探索因式分解方法的过程,培养学生研讨问题的方法,通过猜测、推理、
验证、归纳等步骤,得出因式分解的方法.
3.情感态度与价值观:
通过因式分解的学习,使学生体会数学美,体会成功的自信和团结合
作精神,并体会整体数学思想和转化的数学思想.
教学重、难点:
用提公因式法和公式法分解因式.
教具准备:
多媒体课件（小黑板）
教学方法:
活动探究法
教学过程:
一、引入:
在整式的变形中,有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式,这种变形就
是因式分解.什么叫因式分解?
二、知识详解
知识点1因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个多项式因式分解,也叫做
把这个多项式分解因式.
【说明】
（1）因式分解与整式乘法是相反方向的变形.
例如:
（2）因式分解是恒等变形,因此可以用整式乘法来检验.
怎样把一个多项式分解因式?
知识点2提公因式法
多项式ma+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m,我们把因式m叫做这个多项式的
公因式.ma+mb+mc=m（a+b+c）就是把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式,其中一个因式
是各项的公因式m,另一个因式（a+b+c）是ma+mb+mc除以m所得的商,像这种分解因式的
方法叫做提公因式法.例如:
x
2
-x=x（x-1）,8a
2
b-4ab+2a=2a（4ab-2b+1）.
探究交流
下列变形是否是因式分解?
为什么?
（1）3x
2
y-xy+y=y（3x
2
-x）;
（2）x
2
-2x+3=（x-1）
2
+2;
（3）x
2
y
2
+2xy-1=（xy+1）（xy-1）;（4）x
n
（x
2
-x+1）=x
n+2
-x
n+1
+x
n.
典例剖析师生互动
例1用提公因式法将下列各式因式分解.
（1）-x
3
z+x
4
y;
（2）3x（a-b）+2y（b-a）;
分析:
（1）题直接提取公因式分解即可,
（2）题首先要适当的变形,再把b-a化成-（a-b）,然后
再提取公因式.
小结：
运用提公因式法分解因式时,要注意下列问题:
（1）因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并,而且每个括号内不能再分解.
（2）如果出现像
（2）小题需统一时,首先统一,尽可能使统一的个数少。
这时注
意到（a-b）
n
=（b-a）
n
（n为偶数）.
黎家坪镇中心学校八年级数学（下册）教案
13
（3）因式分解最后如果有同底数幂,要写成幂的形式.
学生做一做把下列各式分解因式.
（1）（2a+b）（2a-3b）+（2a+5b）（2a+b）;
（2）4p（1-q）
3
+2（q-1）
2
知识点3公式法
（1）平方差公式:
a
2
-b
2
=（a+b）（a-b）.即两个数的平方差,等于这两个数的和与这个数的差的
积.例如:
4x
2
-9=（2x）
2
-3
2
=（2x+3）（2x-3）.
（2）完全平方公式:
a
2
±2ab+b
2
=（a±b）
2
.其中,a
2
±2ab+b
2
叫做完全平方式.即两个数的平方
和加上（或减去）这两个数的积的2倍,等于这两个数的和（或差）的平方.例
如:
4x
2
-12xy+9y
2
=（2x）
2
-2?
2x?
3y+（3y）
2
=（2x-3y）
2
.
探究交流
下列变形是否正确?
为什么?
（1）x
2
-3y
2
=（x+3y）（x-3y）;
（2）4x
2
-6xy+9y
2
=（2x-3y）
2
;（3）x
2
-2x-1=（x-1）
2
.
例2把下列各式分解因式.
（1）（a+b）
2
-4a
2
;
（2）1-10x+25x
2
;（3）（m+n）
2
-6（m+n）+9.
分析:
本题旨在考查用完全平方公式分解因式.
学生做一做把下列各式分解因式.
（1）（x
2
+4）
2
-2（x
2
+4）+1;
（2）（x+y）
2
-4（x+y-1）.
综合运用
例3分解因式.
（1）x
3
-2x
2
+x;
（2）x
2
（x-y）+y
2
（y-x）;
分析:
本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.
小结解因式分解题时,首先考虑是否有公因式,如果有,先提公因式;如果没有公因式是
两项,则考虑能否用平方差公式分解因式.是三项式考虑用完全平方式,最后,直到每一个因式
都不能再分解为止.
探索与创新题
例4若9x
2
+kxy+36y
2
是完全平方式,则k=.
分析:
完全平方式是形如:
a
2
±2ab+b
2
即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和（或差）.
三、学生做一做若x
2
+（k+3）x+9是完全平方式,则k=.
四、课堂小结
用提公因式法和公式法分解因式,会运用因式分解解决计算问题.
各项有"公"先提"公",首项有负常提负,某项提出莫漏"1",括号里面分到"底"。
自我评价知识巩固
1.若x
2
+2（m-3）x+16是完全平方式,则m的值等于（）
A.3B.-5C.7.D.7或-1
2.若（2x）
n
-81=（4x
2
+9）（2x+3）（2x-3）,则n的值是（）
A.2B.4C.6D.8
3.分解因式:
4x
2
-9y
2
=.
4.已知x-y=1,xy=2,求x
3
y-2x
2
y
2
+xy
3
的值.
5.把多项式1-x2+
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