数学导学案华师大版初三数学九年级数学下册全册导学案.docx
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数学导学案华师大版初三数学九年级数学下册全册导学案
1
二次函数导学案
26.1二次函数及其图像
26.1.1二次函数
九年级下册编号01
【学习目标】
1.了解二次函数的有关概念．
2.会确定二次函数关系式中各项的系数。
3.确定实际问题中二次函数的关系式。
【学法指导】
类比一次函数，反比例函数来学习二次函数，注意知识结构的建立。
【学习过程】
一、知识链接：
1.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就
说y是x的，x叫做。
2.形如___________y0）k（的函数是一次函数，当______0时，它是函数；形如
0）k（的函数是反比例函数。
二、自主学习：
1．用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y（㎡）与长方形的长x（m）之间的函数关系式
为。
分析：
在这个问题中，可设长方形生物园的长为x米，则宽为米，如果将面积记为y平方
米，那么y与x之间的函数关系式为y=，整理为y=.
2.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式
_______________________．
3.用一根长为40cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积S与它的半径r之间的函数关系式
是。
4.观察上述函数函数关系有哪些共同之处？
。
5.归纳：
一般地，形如，（,,abca是常数，且）的函数为二次函数。
其中x是
自变量，a是__________，b是___________，c是_____________．
三、合作交流：
（1）二次项系数a为什么不等于0？
答：
。
2
（2）一次项系数b和常数项c可以为0吗？
答：
.
四、跟踪练习
1．观察：
①
2
6yx；②
2
35yx；③y＝200x
2
＋400x＋200；④
3
2yxx；⑤
2
1
3yx
x
；⑥
2
2
1yxx．这六个式子中二次函数有。
（只填序号）
2.
2
（1）31
mm
ymxx
是二次函数，则m的值为______________．
3.若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为
2
52stt，则当t＝4秒时，该物体所经
过的路程为。
4.二次函数
2
3yxbx．当x＝2时，y＝3，则这个二次函数解析式为．
5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上
修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏
围住（如图）．若设绿化带的BC边长为xm，绿化带的面积为ym
2
．求y与
x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
26.1.2二次函数
2
yax的图象
九年级下册编号02
【学习目标】
1．知道二次函数的图象是一条抛物线；
3
2．会画二次函数y＝ax
2
的图象；
3．掌握二次函数y＝ax
2
的性质，并会灵活应用．（重点）
【学法指导】
数形结合是学习函数图象的精髓所在，一定要善于从图象上学习认识函数.
【学习过程】
一、知识链接：
1.画一个函数图象的一般过程是①；②；③。
2.一次函数图象的形状是；反比例函数图象的形状是.
二、自主学习
（一）画二次函数y＝x
2
的图象．
列表：
x?
－3－2－10123?
y＝x
2
?
?
在图（3）中描点，并连线
1.思考：
图
（1）和图
（2）中的连线正确吗？
为什么？
连线中我们应该注意什么？
答：
2.归纳：
①由图象可知二次函数
2
xy的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，
即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做线；
②抛物线
2
xy是轴对称图形，对称轴是；
③
2
xy的图象开口_______；
x
y
12341234
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
（1）
x
y
12341234
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
（2）
x
y
12341234
1
2
1
2
3
4
5
6
7
8
O
（3）
4
④与的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线
2
xy的顶点坐标是；
它是抛物线的最点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最值等于0.
⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈趋势；即
x0时，y随x的增大而。
（二）例1在图（4）中，画出函数
2
2
1
xy，
2
xy，
2
2xy的图象．
解：
列表：
x?
－4－3－2－101234?
2
2
1
xy?
?
归纳：
抛物线
2
2
1
xy，
2
xy，
2
2xy的图
象的形状都是；顶点都是__________；对称轴都是
_________；二次项系数a_______0；开口都；顶点
都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．
归纳：
抛物线
2
2
1
xy，
2
xy，
2
2xy
的的图象的形状都是；顶点都是__________；对称轴都
是_________；二次项系数a_______0；开口都；顶
点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”）．
例2请在图（4）中画出函数
2
2
1
xy，
2
xy，
2
2xy的图象．
列表：
x?
-4-3-2-101234…
2
2
1
xy?
…
x?
－2-1.5－1-0.500.511.52?
2
2xy?
?
x
y
1234512345
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
（4）
5
x?
－3－2－10123?
2
xy?
?
三、合作交流：
归纳：
抛物线
2
axy的性质
图象（草图）
对称
轴
顶点
开口方
向
有最高或
最低点
最值
a＞0
当x＝____时，y
有最_______值，
是______．
a＜0
当x＝____时，y
有最_______值，
是______．
2.当a＞0时，在对称轴的左侧，即x0时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，
即x0时y随x的增大而。
3．在前面图（4）中，关于x轴对称的抛物线有对，它们分别是哪些？
答：
。
由此可知和抛物线
2
axy关于
x轴对称的抛物线是。
4．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越___________；当a＜0时，a越大，抛物线的开口越
_________；因此，a越大，抛物线的开口越________。
四、课堂训练
x?
－2-1.5－1-0.500.511.52?
2
2xy?
?
6
1．函数
2
7
3
xy的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________
时，有最_________值是_________．
2.函数
2
6xy的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x＝___________
时，有最_________值是_________．
3.二次函数
2
3xmy的图象开口向下，则m___________．
4.二次函数y＝mx
2
2
m
有最高点，则m＝___________．
5.二次函数y＝（k＋1）x
2
的图象如图所示，则k的取值范围为___________．
6．若二次函数
2
axy的图象过点（1，－2），则a的值是___________．
7．如图，抛物线①
2
5xy②
2
2xy③
2
5xy④
2
7xy开口从小到大排列是
___________________________________；（只填序号）其中关于x轴对称的两条抛物线是
和。
8．点A（
2
1
，b）是抛物线
2
xy上的一点，则b=；过点A作x轴的
平行线交抛物线另一点B的坐标是。
9．如图，A、B分别为
2
axy上两点，且线段AB⊥y轴于点（0,6），若AB=6，
则该抛物线的表达式为。
10.当m=时，抛物线
mm
xmy
2
）1（开口向下．
11.二次函数
2
axy与直线32xy交于点P（1，b）．
（1）求a、b的值；
（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小．
26.1.3二次函数khxay
2
的图象
（一）
九年级下册编号03
【学习目标】
1．知道二次函数kaxy
2
与
2
axy的联系．
7
2.掌握二次函数kaxy
2
的性质，并会应用；
【学法指导】
类比一次函数的平移和二次函数
2
axy的性质学习，要构建一个知识体系。
【学习过程】
一、知识链接：
直线12xy可以看做是由直线xy2得到的。
练：
若一个一次函数的图象是由xy2平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。
解：
由此你能推测二次函数
2
xy与2
2
xy的图象之间又有何关系吗？
猜想：
。
二、自主学习
（一）在同一直角坐标系中，
画出二次函数
2
xy，
1
2
xy，1
2
xy的
图象．
2．可以发现，把抛物线
2
xy向______平移______个单位，就得到
抛物线1
2
xy；把抛物线
2
xy向_______平移______个单
位，就得到抛物线1
2
xy.
3．抛物线
2
xy，1
2
xy，1
2
xy的形状_____________．开口大小相同。
三、知识梳理：
（一）抛物线kaxy
2
特点：
x?
－
3
－
2
－
1
0123?
1
2
xy?
?
1
2
xy?
?
1.填表：
开口方
向
顶点
对称
轴
有最高
（低）点
增减性
2
xy
1
2
xy
1
2
xy
x
y
y=x
2
1
O
8
1.当0a时，开口向；当0a时，开口；
2.顶点坐标是；
3.对称轴是。
（二）抛物线kaxy
2
与
2
yax形状相同，位置不同，kaxy
2
是由
2
yax
平移得到的。
（填上下或左右）
二次函数图象的平移规律：
上下。
（三）a的正负决定开口的；a决定开口的，即a不变，则抛物线的形状。
因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a值。
三、跟踪练习：
1.抛物线
2
2xy向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；
抛物线
2
2xy向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．
2．抛物线23
2
xy向上平移3个单位后的解析式为，它们的形状__________，当
x=时，y有最值是。
3．由抛物线35
2
xy平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是，是把原抛物线向
平移个单位得到的。
4.写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线
2
xy的方向相反，形状相同的抛物线解析
式____________________________．
5.抛物线14
2
xy关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．
6.二次函数kaxy
2
0a的经过点A（1，-1）、B（2，5）.
⑴求该函数的表达式；
⑵若点C（-2，m）,D（n，7）也在函数的上，求m、n的值。
26.1.3二次函数khxay
2
的图象
（二）
九年级下册编号04
【学习目标】
1．会画二次函数
2
）（hxay的图象；
2.知道二次函数
2
）（hxay与
2
axy的联系．
9
3.掌握二次函数
2
）（hxay的性质，并会应用；
【学习过程】
一、知识链接：
1.将二次函数
2
2xy的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为。
2.将抛物线14
2
xy的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为。
二、自主学习
画出二次函数
2
）1（xy，
2
）1（xy的图象；先列表：
x?
－4－3－2－101234?
2
）1（xy?
?
2
）1（xy?
?
归纳：
（1）
2
）1（xy的开口向，对称轴
是直线，顶点坐标是。
图象有最点，即x=时，y有最
值是；
在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大
而；在对称轴的右侧，即x时
y随x的增大而。
2
）1（xy可以看作由
2
xy向平移
个单位形成的。
（2）
2
）1（xy的开口向，对称轴是直
线，顶点坐标是，图象有最点，即x=时，y有最值是；
在对称轴的左侧，即x时，y随x的增大而；在对称轴的右侧，即x时
y随x的增大而。
2
）1（xy可以看作由
2
xy向平移个单位形成的。
三、知识梳理
（一）抛物线
2
）（hxay特点：
1.当0a时，开口向；当0a时，开口；
x
y
y=x
2
1
–1–2–3–4–5–6–712345678
–1
–2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
10
2.顶点坐标是；3.对称轴是直线。
（二）抛物线
2
）（hxay与
2
yax形状相同，位置不同，
2
）（hxay是由
2
yax
平移得到的。
（填上下或左右）
结合学案和课本第8页可知二次函数图象的平移规律：
左右，上下。
（三）a的正负决定开口的；a决定开口的，即a不变，则抛物线的形状。
因为平移
没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a值。
四、课堂训练
1．抛物线
2
23yx的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x
时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。
2.抛物线
2
2
（1）yx的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x
时，y随x的增大而减小；当x时，y随x的增大而增大。
3.抛物线
2
21yx的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；
4.抛物线
2
5yx向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
5.抛物线
2
4yx向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________．
6．将抛物线
21
2
3
yx向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________．
7．抛物线
2
42yx与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为________．
8.写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线
2
2yx都相同的二次函数解析式
_______________．
26.1.3二次函数khxay
2
的图象（三）
九年级下册编号05
【学习目标】1．会画二次函数的顶点式khxay
2
的图象；
2．掌握二次函数khxay
2
的性质；
【学习过程】
一、知识链接：
11
1.将二次函数
2
-5yx的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为。
2.将抛物线
2
yx的图象向左平移3个单位后的抛物线的解
析式为。
二、自主学习
在右图中做出
2
12yx的图象：
观察：
1.抛物线
2
12yx开口向；
顶点坐标是；对称轴是直线。
2.抛物线
2
12yx和
2
yx的形状，位
置。
（填“相同”或“不同”）
3.抛物线
2
12yx是由
2
yx如何平移得到的？
答：
。
三、合作交流
平移前后的两条抛物线a值变化吗？
为什么？
答：
。
四、知识梳理
结合上图和课本第9页例3归纳：
（一）抛物线
2
（）+yaxhk的特点：
1.当0a时，开口向；当0a时，开口；
2.顶点坐标是；3.对称轴是直线。
（二）抛物线
2
（）+yaxhk与
2
yax形状，位置不同，
2
（）+yaxhk是由
2
yax
平移得到的。
二次函数图象的平移规律：
左右，上下。
（三）平移前后的两条抛物线a值。
五、跟踪训练
1.二次函数2）1（
2
1
2
xy的图象可由
2
2
1
xy的图象（）
A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
x
y
y=x
2
123412345
1
2
3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
O
12
2.抛物线
21
65
3
yx开口，顶点坐标是，对称轴是，当x＝
时，y有最值为。
3.填表：
4.函数
2
231yx的图象可由函数
2
2yx的图象沿x轴向平移个单位，再沿y
轴向平移个单位得到。
5.若把函数
2
523yx的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式
为。
6.顶点坐标为（－2，3），开口方向和大小与抛物线
2
1
2
yx相同的解析式为（）
A．
21
23
2
yxB．
21
23
2
yx
C．
21
23
2
yxD．
21
23
2
yx
7.一条抛物线的形状、开口方向与抛物线
2
2yx
相同，对称轴和抛物线
2
2yx相同，且顶
点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.
26.1.3二次函数khxay
2
的图象（四）
九年级下册编号06
【学习目标】
会用二次函数khxay
2
的性质解决问题；
【学习过程】
一、知识链接：
1.抛物线
2
2（+1）3yx开口向，顶点坐标是，对称轴是，当x＝
时，y有最值为。
当x时，y随x的增大而增大.
2
3yx
2
3yx
2
2（3）yx
2
4（5）3yx
开口方向
顶点
对称轴
13
2.抛物线
2
2（+1）3yx是由
2
2yx如何平移得到的？
答：
。
二、自主学习
1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？
分析：
如何设函数解析式？
写出完整的解题过程。
2.仔细阅读课本第10页例4：
分析：
由题意可知：
池中心是，水管是，点是喷头，
线段的长度是1米，线段的长度是3米。
由已知条件可设抛物线的解析式为。
抛物线的解析
式中有一个待定系数，所以只需再确定个点的坐标即可，这个点
是。
求水管的长就是通过求点的坐标。
二、跟踪练习：
如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6
米，底部宽度为12米.AO=3米，现以O点为原点，OM所在直线为
x轴建立直角坐标系.
（1）直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；
（2）求出这条抛物线的函数解析式；
三、能力拓展
1.知识准备
如图抛物线
2
14yx与x轴交于A,B两点，交y轴于点D，抛物
线的顶点为点C
（1）求△ABD的面积。
（2）求△ABC的面积。
（3）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为4时，求所有符合条件
的点P的坐标。
（4）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为8时，求所有符合条件的点P的坐标。
（5）点P是抛物线上一动点，当△ABP的面积为10时，求所有符合条件的点P的坐标。
x
y
1123
1
1
2
3
D
C
B
O
A
x
y
B
P
A
M
O
x
y
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