数值分析实验报告插值逼近.docx
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数值分析实验报告插值逼近
实验报告：
函数逼近&插值多项式补充
问题1：
对于给函数
，取点
，k取0，1，…，n。
n取10或20。
试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。
问题2：
对于给函数
在区间[-1，1]上取xi=-1+0.2i（i=0,1,2,…,10），试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。
实验目的：
通过编程实现牛顿插值方法和函数逼近，加深对多项式插值的理解。
应用所编程序解决实际算例。
实验要求：
1．认真分析问题，深刻理解相关理论知识并能熟练应用；
2．编写相关程序并进行实验；
3．调试程序，得到最终结果；
4．分析解释实验结果；
5．按照要求完成实验报告。
实验原理：
详见《数值分析第5版》第二章、第三章相关内容。
实验内容：
（1）问题1：
这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。
当n=10时，代码为：
clearall
clc
k=0:
10;
n=length（k）;
x1=cos（（2*k+1）/2/n*pi）;
y1=1./（1+25.*x1.^2）;
f=y1（:
）;
forj=2:
n
fori=n:
-1:
j
f（i）=（f（i）-f（i-1））/（x1（i）-x1（i-j+1））;
end
end
symsFxp;
F
（1）=1;p
（1）=y1
（1）;
fori=2:
n
F（i）=F（i-1）*（x-x1（i-1））;
p（i）=f（i）*F（i）;
end
symsP
P=sum（p）;
P10=vpa（expand（P）,5）;
x0=-1:
0.001:
1;
y0=subs（P,x,x0）;
y2=subs（1/（1+25*x^2）,x,x0）;
plot（x0,y0,x0,y2）
gridon
xlabel（'x'）
ylabel（'y'）
由此我们可以得到P10（x）=-46.633*x^10+3.0962e-14*x^9+130.11*x^8-7.2714e-14*x^7-133.44*x^6+7.1777e-14*x^5+61.443*x^4-1.5805e-14*x^3-12.477*x^2-1.6214e-16*x+1.0
并可以得到牛顿插值多项式在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比，得Fig.1。
Fig.1牛顿插值多项式（n=10）函数和原函数图形
当n=20，将上述代码中的“k=0:
10;”改为“k=0:
20;”即可。
由此我们可以得到P20（x）=6466.6*x^20+8.0207e-13*x^19-34208.0*x^18-3.5038e-12*x^17+77754.0*x^16-99300.0*x^14+3.7253e-9*x^13+78236.0*x^12-39333.0*x^10+12636.0*x^8-4.6566e-10*x^7-2537.3*x^6+306.63*x^4-21.762*x^2+1.0
并可以得到牛顿插值多项式在[-1，1]上的图形，并和原函数进行对比，得Fig.2。
Fig.2牛顿插值多项式（n=20）函数和原函数图形
回顾一下实验一的结果（见Fig.3），我们不难发现，仅仅是改变了x的取值，结果发生了很大的变化。
实验一中，插值多项式与原函数产生了很大的偏差，并且随着分的段数的增加，其误差不断变大，但是在本次实验中，我们不难发现，虽然多项式依旧存在震荡现象，但是误差小了很多，而且随着分的段数的增加，插值多项式曲线与原函数曲线已经十分接近了。
Fig.3实验一结果
这个例子说明：
采用切比雪夫节点替代等距节点可以消除龙格现象。
（2）问题2：
分析问题，发现在这个问题中，我们已经知道了原函数，同时它也告诉我们所需取的11个点的值，所以这里可以用两种方法进行函数逼近得到拟合曲线。
首先采用最小二乘法来考虑这个问题，编写代码如下（这里没有直接调用polyfit函数）：
clearall
clc
n=3;
x1=-1:
0.2:
1;
y1=1./（1+25.*x1.^2）;
symsSGdax;
fori=1:
n+1;
forj=1:
n+1;
G（i,j）=sum（x1.^（i+j-2））;
end
end
fori=1:
n+1;
d（i）=sum（x1.^（i-1）.*y1）;
end
a=G^-1*d';
fori=1:
n+1
X（i）=x^（i-1）;
end
S=vpa（X*a,5）
x0=-1:
0.001:
1;
y0=subs（S,x,x0）;
y2=subs（1/（1+25*x^2）,x,x0）;
plot（x0,y0,x0,y2）
gridon
xlabel（'x'）
ylabel（'y'）
我们可以得到一个三次多项式：
S3=1.1665e-16*x^3-0.57518*x^2-9.4553e-17*x+0.48412。
同时我们也可以得到它与原函数的图形，如图Fig.4。
Fig.4最小二乘法n=3的结果
我们发现得到的结果和原函数产生了巨大的误差。
首先观察得到的多项式，我们发现它的3次项系数非常小，原因是原函数是一个偶函数，这将导致奇次项系数基本为0。
这里我们调整n，对结果进行观察，取n=4，6，8，10，20。
我们可以得到Fig.5-Fig.9。
S4=1.4852*x^4+1.3703e-16*x^3-2.0604*x^2-1.1769e-16*x+0.65522
S6=-4.633*x^6+4.0789e-14*x^5+8.4769*x^4-5.28e-14*x^3-4.5969*x^2+1.3229e-14*x+0.78461
S8=20.466*x^8-3.8972e-12*x^7-43.601*x^6+6.9014e-12*x^5+30.817*x^4-3.4363e-12*x^3-8.5318*x^2+4.2796e-13*x+0.88802
S10=-220.94*x^10-5.1978e-9*x^9+494.91*x^8+1.0649e-8*x^7-381.43*x^6-6.9693e-9*x^5+123.36*x^4+1.6139e-9*x^3-16.855*x^2-9.6021e-11*x+1.0
S20=-318.82*x^20+74.132*x^19+43.205*x^18-83.871*x^17+91.867*x^16+68.562*x^15+29.364*x^14-56.393*x^13+260.42*x^12-32.957*x^11+79.822*x^10+1.8279*x^9-139.85*x^8+49.564*x^7-121.95*x^6-23.918*x^5+90.922*x^4+3.1437*x^3-15.933*x^2-0.090653*x+1.0
Fig.5最小二乘法n=4的结果
Fig.6最小二乘法n=6的结果
Fig.7最小二乘法n=8的结果
Fig.8最小二乘法n=10的结果
Fig.9最小二乘法n=20的结果
不难发现，拟合结果并不理想，当n=8时与原函数较为接近，而当n取其他值时，都有着比较大的误差，说明采用最小二乘法考虑这个问题并不是一个十分好的方法，对yi进行适当变形可能可以得到更好的结果。
同时，由于知道f（x），这道题我们也可以采用最佳平方逼近的方法，编写代码如下：
clearall
clc
symsSHadx;
n=3;
fori=1:
n+1
d（i）=int（x^（i-1）/（1+25*x^2）,x,-1,1）;
end
fori=1:
n+1
forj=1:
n+1
H（i,j）=int（x^（i+j-2）,x,-1,1）;
end
end
a=H^-1*d';
fori=1:
n+1
X（i）=x^（i-1）;
end
S=vpa（X*a,5）
x0=-1:
0.001:
1;
y0=subs（S,x,x0）;
y2=subs（1/（1+25*x^2）,x,x0）;
plot（x0,y0,x0,y2）
gridon
xlabel（'x'）
ylabel（'y'）
由此我们可以得到一个三次多项式，（事实上这是一个二次多项式）：
S3=0.50923-0.70366*x^2，同时我们也可以得到该多项式与原函数的图像，见Fig.10。
Fig.10最佳平方逼近n=3的结果
不然发现采用这种方法有着和最小二乘法相同的问题，同样我们这里也对n取不同的值进行观察，取n=4，6，8，10，20。
我们可以得到Fig.11-Fig.15。
S4=1.8689*x^4-2.3055*x^2+0.66942
S6=-4.9969*x^6+8.6828*x^4-4.5768*x^2+0.77758
S8=13.392*x^8-29.995*x^6+23.105*x^4-7.199*x^2+0.85042
S10=-35.931*x^10+98.491*x^8-100.08*x^6+46.465*x^4-9.8945*x^2+0.89942
S20=5023.5*x^20-26343.0*x^18+59469.0*x^16-75642.0*x^14+59603.0*x^12-30157.0*x^10+9844.2*x^8-2038.8*x^6+259.82*x^4-19.945*x^2+0.9862
Fig.11最佳平方逼近n=4的结果
Fig.12最佳平方逼近n=6的结果
Fig.13最佳平方逼近n=8的结果
Fig.14最佳平方逼近n=10的结果
Fig.15最佳平方逼近n=20的结果
显然，当知道原函数的情况下，当n取较大值时，多项式结果可以很好的逼近原函数。
实验感想：
通过本次实验，我对插值函数和函数逼近有了更加清晰的认识。
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