概率论教学课件 3-3.ppt
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广广东东工工业业大大学学第三节第三节数学期望数学期望3.3.1随机变量的数学期望随机变量的数学期望3.3.2随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望3.3.3方差方差广广东东工工业业大大学学3.3.33数学期望数学期望引例：
引例：
试问哪个试问哪个射手技术射手技术较好较好?
甲乙两射手进行打靶练习，各发甲乙两射手进行打靶练习，各发100100枚子弹，他们打中的枚子弹，他们打中的环数及次数如下：
环数及次数如下：
X甲甲8910频数频数Nk306010X乙乙8910频数频数Nk353530甲的平均环数甲的平均环数环数为环数为的的频率频率概率代替频率概率代替频率广广东东工工业业大大学学3.3.13.3.1随机变量的数学期望随机变量的数学期望广广东东工工业业大大学学关于定义的几点说明关于定义的几点说明1.1.2.2.3.3.广广东东工工业业大大学学例例两人比赛打靶，谁的技术比较好？
两人比赛打靶，谁的技术比较好？
甲射手甲射手乙射手乙射手试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?
广广东东工工业业大大学学解：
解：
甲射手甲射手乙射手乙射手广广东东工工业业大大学学例例1818（二项分布的数学期望）（二项分布的数学期望）解：
解：
广广东东工工业业大大学学例例1919（泊松分布的数学期望）（泊松分布的数学期望）解：
解：
广广东东工工业业大大学学例例2020解：
解：
以及以及广广东东工工业业大大学学例例2020广广东东工工业业大大学学应用示例应用示例例例2121（一种博彩方式）（一种博彩方式）解：
解：
广广东东工工业业大大学学大致地可说：
每平均玩大致地可说：
每平均玩216216次，下注者必将输次，下注者必将输1717元。
元。
故这一游戏规则对下注者来说是不公平的。
故这一游戏规则对下注者来说是不公平的。
广广东东工工业业大大学学例例2222（风险型决策问题）（风险型决策问题）决策论或称决策分析，是决策论或称决策分析，是2020世纪发展起来的数学模型世纪发展起来的数学模型和方法，它帮助人们在复杂情况下从可能采取的行动中作和方法，它帮助人们在复杂情况下从可能采取的行动中作出选择、决策。
在所谓解决出选择、决策。
在所谓解决风险型决策风险型决策问题时，一类方法问题时，一类方法就是依据数学期望来作为判别标准。
请看例题：
就是依据数学期望来作为判别标准。
请看例题：
一生产厂对其产品的市场需求将会增长满怀希望。
目一生产厂对其产品的市场需求将会增长满怀希望。
目前员工以每周前员工以每周4040小时满负荷工作，为满足预期的市场新需小时满负荷工作，为满足预期的市场新需求，业务主管领导在考虑是否要采用员工超时工作的应急求，业务主管领导在考虑是否要采用员工超时工作的应急措施或添置、更新设备的办法来增加产量。
市场部的专家措施或添置、更新设备的办法来增加产量。
市场部的专家们预测对产品需求增加们预测对产品需求增加1515的可能性是的可能性是6060，但同时指出，但同时指出，经济可能恶化，有实际需求下降经济可能恶化，有实际需求下降55的可能，其概率是的可能，其概率是4040。
领导们要在此不甚确定的情况下作出决策，从三种可。
领导们要在此不甚确定的情况下作出决策，从三种可以采取的行动中选定一个行动方案，已知有关的数据见下以采取的行动中选定一个行动方案，已知有关的数据见下列表：
列表：
广广东东工工业业大大学学这是一个在对自然状态的信息不甚确切的，但又知其这是一个在对自然状态的信息不甚确切的，但又知其概率分布的情况下，要作出决策的问题，常称这类问题为概率分布的情况下，要作出决策的问题，常称这类问题为风险型决策风险型决策，以别于在确知信息条件下的决策以及连概率，以别于在确知信息条件下的决策以及连概率分布也不知道的分布也不知道的非确定型决策非确定型决策。
解：
解：
对于风险型决策问题，无论采用怎样的决策都带一定对于风险型决策问题，无论采用怎样的决策都带一定风险，如对本例而言，若采用第一种决策，即既不增加风险，如对本例而言，若采用第一种决策，即既不增加工时也不添加设备，一旦出现市场需求增加时就失去了工时也不添加设备，一旦出现市场需求增加时就失去了更多获利的可能。
更多获利的可能。
自然状态利润行动对产品需求有5的减少（概率0.4）对产品需求有15的增加（概率0.6）维持现状（A1）30万34万超时工作（A2）29万42万增添设备（A3）25万44万广广东东工工业业大大学学处理风险型决策有多种判据可依，其中常用的一种就是处理风险型决策有多种判据可依，其中常用的一种就是期望值判据。
即比较各种行动所产生效益期望值的大小作期望值判据。
即比较各种行动所产生效益期望值的大小作出决策。
对于本例，有出决策。
对于本例，有自然状态利润行动对产品需求有5的减少（概率0.4）对产品需求有15的增加（概率0.6）维持现状（A1）30万34万超时工作（A2）29万42万增添设备（A3）25万44万广广东东工工业业大大学学故若用期望值判据，则公司领导将决定采取员工超时故若用期望值判据，则公司领导将决定采取员工超时工作的应急措施。
在这里，对自然状态的各种概率估计工作的应急措施。
在这里，对自然状态的各种概率估计是很重要的。
如果在上表的数据中，若对前景持更乐观是很重要的。
如果在上表的数据中，若对前景持更乐观的态度，认为出现需求增长的概率是的态度，认为出现需求增长的概率是0.80.8，那么依同样的，那么依同样的判据就会作出不同的决定，事实上，这时有判据就会作出不同的决定，事实上，这时有于是，公司领导将会对这一情况决定增添新设备。
于是，公司领导将会对这一情况决定增添新设备。
广广东东工工业业大大学学例例2323（一项验血新技术）（一项验血新技术）设要在某地区进行癌症普查，为此要检查每个人的血液。
设要在某地区进行癌症普查，为此要检查每个人的血液。
由于参加普查的人数很多，若按传统办法一个个地检查，由于参加普查的人数很多，若按传统办法一个个地检查，非常耗时，希望寻求快捷方法。
于是有这样的想法：
将若非常耗时，希望寻求快捷方法。
于是有这样的想法：
将若干个人干个人（如如k个人个人）的血液混合后再检查，若结果没有问题，的血液混合后再检查，若结果没有问题，就说明这就说明这k个人全没问题；若有问题，就将这个人全没问题；若有问题，就将这k个人逐一检个人逐一检查，以确定是谁出了问题。
直观想象，由于癌症发病率较查，以确定是谁出了问题。
直观想象，由于癌症发病率较低，在低，在k不大时，多数情况下不大时，多数情况下k个人只需验一次血就够了，个人只需验一次血就够了，所以平均说来，用这种方法进行验血大大降低了验血的工所以平均说来，用这种方法进行验血大大降低了验血的工作量。
试对这一想法作具体分析。
作量。
试对这一想法作具体分析。
广广东东工工业业大大学学解：
解：
广广东东工工业业大大学学广广东东工工业业大大学学例例2424（一个复杂决策问题：
求职面试问题一个复杂决策问题：
求职面试问题）设想你在求职过程中得到了三个公司发给你的面试通知，设想你在求职过程中得到了三个公司发给你的面试通知，为简单记，假定每个公司都有三类不同的空缺职位：
一般为简单记，假定每个公司都有三类不同的空缺职位：
一般的、好的和极好的，其工资分别为年薪的、好的和极好的，其工资分别为年薪2.52.5万、万、33万万和和44万。
估计能得到这些职位的概率分别为万。
估计能得到这些职位的概率分别为0.40.4、0.30.3和和0.20.2，有，有0.10.1的概率将得不到任何职位。
由于每家公司都的概率将得不到任何职位。
由于每家公司都要要求你在面试结束时表态接受或拒绝所提供的职位。
那求你在面试结束时表态接受或拒绝所提供的职位。
那么么你应遵循什么策略来应答呢？
你应遵循什么策略来应答呢？
解：
极端的情况当然容易处理，如果有一家公司聘你担任极解：
极端的情况当然容易处理，如果有一家公司聘你担任极好的职位，当然就不再去下一家公司面试了，而若一家公司好的职位，当然就不再去下一家公司面试了，而若一家公司不聘你，当然也必然要到下一家公司去面试了。
对于其他情不聘你，当然也必然要到下一家公司去面试了。
对于其他情况，作任何决定都是冒风险的，一种办法是采用使期望收益况，作任何决定都是冒风险的，一种办法是采用使期望收益得到最大值的行动。
把可用数据列成表格，有：
得到最大值的行动。
把可用数据列成表格，有：
广广东东工工业业大大学学结果概率一般：
2.5万0.4好的：
3万0.3极好：
4万0.2没有工作：
00.1但是当用期望值准则对第一次面试作决策时就碰到了困难，但是当用期望值准则对第一次面试作决策时就碰到了困难，比如第一次面试结果虽落聘，但有可能在以后的面试中获得比如第一次面试结果虽落聘，但有可能在以后的面试中获得职位，因而这个（落聘）结果是带有不确定性的。
这几乎是职位，因而这个（落聘）结果是带有不确定性的。
这几乎是复杂决策问题的共同特征：
在将来的决策作出之前，当前决复杂决策问题的共同特征：
在将来的决策作出之前，当前决策的结果是不能估算的。
有一种避开这个可能的方法，那就策的结果是不能估算的。
有一种避开这个可能的方法，那就是先分析未来的决策，称为逆推法。
是先分析未来的决策，称为逆推法。
先考虑你尚未接受职位而要去进行最后一次（现在是第三先考虑你尚未接受职位而要去进行最后一次（现在是第三次）面试，则可以确定公司提供工资的期望值为：
次）面试，则可以确定公司提供工资的期望值为：
2.52.50.40.4330.30.3440.20.2000.10.12.7（2.7（万万）广广东东工工业业大大学学知道了第三次面试的期望值，就能倒推，以决定第二次面知道了第三次面试的期望值，就能倒推，以决定第二次面试应采取的行动。
无疑肯定会接受极好的职位；若没有职位试应采取的行动。
无疑肯定会接受极好的职位；若没有职位也肯定去进行第三次面试。
但若向你提供一般的工作，那么也肯定去进行第三次面试。
但若向你提供一般的工作，那么你就必须在接受这一工作（期望值你就必须在接受这一工作（期望值2.52.5万元）和不接受该工作万元）和不接受该工作而去碰第三次面试的运气（期望值而去碰第三次面试的运气（期望值2.72.7万元）这两者间作出选万元）这两者间作出选择。
由于后者具有较大的期望值，故这就是你应采取的行动。
择。
由于后者具有较大的期望值，故这就是你应采取的行动。
另外，若第二家公司能给你一个好职位，那么其期望值较高另外，若第二家公司能给你一个好职位，那么其期望值较高（33万元对万元对2.72.7万元），故应接受并放弃第三次面试。
万元），故应接受并放弃第三次面试。
综述第二次面试的决策应是：
接受好的或极好的职位，拒综述第二次面试的决策应是：
接受好的或极好的职位，拒绝一般的职位。
在该决策下，第二次面试的期望值就有绝一般的职位。
在该决策下，第二次面试的期望值就有第二次面试结果工资期望值概率一般：
进行第三次面试2.7万0.4好的：
接受3万0.3极好：
接受4万0.2没有工作：
进行第三次面试2.7万0.1广广东东工工业业大大学学第二次面试结果工资期望值概率一般：
进行第三次面试2.7万0.4好的：
接受3万0.3极好：
接受4万0.2没有工作：
进行第三次面试2.7万0.1期望值为：
期望值为：
现在可以回到第一次面试，如果提供一般职位，所面临的现在可以回到第一次面试，如果提供一般职位，所面临的选择是接受（期望工资为选择是接受（期望工资为2.52.5万元）或拒绝（进行下一次面试，万元）或拒绝（进行下一次面试，期望工资是期望工资是3.053.05万元），为了高的期望值，应采取拒绝一般的万元），为了高的期望值，应采取拒绝一般的工作。
对于好的职位，因其期望工资工作。
对于好的职位，因其期望工资33万元低于下一次面试的万元低于下一次面试的期望工资期望工资3.053.05万元，故也应放弃好的职位。
万元，故也应放弃好的职位。
这样，第一次面试时应采取的行动是：
只接受极好的职位，这样，第一次面试时应采取的行动是：
只接受极好的职位，否则就进行下一次面试。
于是，这个面试问题的总的应否则就进行下一次面试。
于是，这个面试问题的总的应2.72.70.40.4330.30.3440.20.22.72.70.10.13.05（3.05（万万）广广东东工工业业大大学学对策略就清楚了：
第一次面试只接受极好的职位，否则进行对策略就清楚了：
第一次面试只接受极好的职位，否则进行第二次面试；第二次面试可接受好的或极好的职位，否则进第二次面试；第二次面试可接受好的或极好的职位，否则进行第三次面试；第三次面试则接受能提供的任何职位。
与这行第三次面试；第三次面试则接受能提供的任何职位。
与这个策略相应的期望值，可用下列数据求出：
个策略相应的期望值，可用下列数据求出：
第一次面试结果工资期望值概率一般：
进行第二次面试3.05万0.4好的：
进行第二次面试3.05万0.3极好：
接受4万0.2没有工作：
进行第二次面试3.05万0.1期望值为：
期望值为：
3.053.050.40.43.053.050.30.3440.20.23.053.050.10.13.24（3.24（万万）可见，当你在求职时，收到三份面试通知较之于只收到一可见，当你在求职时，收到三份面试通知较之于只收到一份面试通知的价值，不仅提高了就业机会，而且也提高了工份面试通知的价值，不仅提高了就业机会，而且也提高了工资的期望值。
资的期望值。
广广东东工工业业大大学学3.3.23.3.2随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望广广东东工工业业大大学学广广东东工工业业大大学学3.3.2.13.3.2.1随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布例例2525解：
解：
广广东东工工业业大大学学广广东东工工业业大大学学广广东东工工业业大大学学3.3.2.23.3.2.2随机变量函数的数学期望随机变量函数的数学期望例例2525（续续）解：
解：
广广东东工工业业大大学学广广东东工工业业大大学学广广东东工工业业大大学学广广东东工工业业大大学学广广东东工工业业大大学学3.3.2.33.3.2.3数学期望的性质数学期望的性质性质性质11即常数的数学期望就是它本身；即常数的数学期望就是它本身；性质性质22性质性质33即常数因子可提出数学期望号之外；即常数因子可提出数学期望号之外；即和的数学期望等于数学期望的和。
即和的数学期望等于数学期望的和。
广广东东工工业业大大学学3.3.33.3.3方差方差广广东东工工业业大大学学方差具有下列性质：
方差具有下列性质：
性质性质11性质性质22性质性质33即常数即常数CC的方差为零；的方差为零；即随机变量取值经平移后，散即随机变量取值经平移后，散布程度不变；布程度不变；即常数因子提出方差号，要平方。
即常数因子提出方差号，要平方。
广广东东工工业业大大学学方差还有一个常用计算公式：
方差还有一个常用计算公式：
证明：
证明：
广广东东工工业业大大学学例例2626解：
解：
广广东东工工业业大大学学这样，就有这样，就有广广东东工工业业大大学学例例2727解：
解：
广广东东工工业业大大学学这样，就有这样，就有广广东东工工业业大大学学常见离散概率分布的数学期望与方差常见离散概率分布的数学期望与方差广广东东工工业业大大学学广广东东工工业业大大学学
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