北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合同步训练1附答案.docx

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北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合同步训练1附答案

2021年北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明单元综合同步训练1（附答案）

1．如图，在△ABC中，AB＝AC，AE平分∠BAC，DE垂直平分AB，连接CE，∠B＝70°．则∠BCE的度数为（　　）

A．55°B．50°C．40°D．35°

2．到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC（　　）的交点．

A．三边中线B．三条角平分线

C．三边上高D．三边垂直平分线

3．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线分别交BC于点E、F，若∠BAC＝112°，则∠EAF为（　　）

A．38°B．40°C．42°D．44°

4．如图，在△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AE＝5cm，△ABD的周长为26cm，则△ABC的周长为（　　）

A．32B．29C．38D．36

5．如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，点O是边BC上任意一点，则点O分别到AB，AC边的距离之和等于（　　）

A．5B．7.5C．9D．10

6．等腰三角形一腰上的高与另一腰所在直线的夹角为30°，则这个等腰三角形的顶角为（　　）

A．60°或120°B．30°或150°C．30°或120°D．60°

7．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论：

①∠FCD＝45°，②AE＝EC，③S△ABF：

S△AFC＝BD：

CD，④若BF＝2EC，则△FDC周长等于AB的长．正确的是（　　）

A．①②B．①③C．①④D．①③④

8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以点A，B为圆心，大于

AB长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线MN分别交AB，AC于点D，E，连结CD，BE，下列结论错误的是（　　）

A．AD＝CDB．BE＞CDC．∠BEC＝∠BDCD．BE平分∠CBD

9．如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H，则下列结论：

①∠APB＝135°；②BF＝BA；③PH＝PD；④连接CP，CP平分∠ACB，其中正确的是（　　）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

10．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝　　．

11．如图，在△ABC中，AF平分∠BAC，AC的垂直平分线交BC于点E，∠B＝70°，∠FAE＝19°，则∠C＝　　度．

12．如图：

∠DAE＝∠ADE＝15°，DE∥AB，DF⊥AB，若AE＝10，则DF等于　　．

13．如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，则PD＝　　．

14．如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AC＝6．沿DE折叠，使得点A与点B重合，则折痕DE的长为　　．

15．如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝12，CF＝3，则AC＝　　．

16．如图，△ABC中，∠BAC＝100°，DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线，则∠DAE等于　　度．

17．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是　　．

18．如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为　　．

19．如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB＝8，AC＝4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED＝CB，当点E运动　　秒时，△DEB与△BCA全等．

20．如图：

AB∥CD，GN平分∠BGH，HN平分∠DHG，点N到直线AB的距离是2，则点N到直线CD的距离是　　．

21．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC、BD，若S四边形ABCD＝18，则BD的最小值为　　．

22．如图，AB＝AC，∠BAC＝90°，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，且BD＞CE．

求证：

BD＝EC+ED．

23．如图，OE平分∠AOB，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C、D．

（1）求证∠1＝∠2；

（2）求证：

OE是线段CD的垂直平分线．

24．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，M、N分别是AC、BD的中点，猜一猜MN与BD的位置关系，再证明你的结论．

25．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，AE是BC边上的中线，过C作CF⊥AE，垂足为F，过B作BD⊥BC交CF的延长线于D．

（1）求证：

AE＝CD；

（2）若AC＝12cm，求BD的长．

26．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：

BE垂直平分CD．

27．已知：

如图，△ABC的角平分线BE、CF相交于点P．求证：

点P在∠A的平分线上．

28．如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G．

（1）求∠CEF的度数；

（2）求证：

△EFG是等腰三角形．

29．如图所示，△ABC中，AB＝AC，E在AC上，D在BA的延长线上，且AD＝AE，连接DE．求证：

DE⊥BC．

30．如图，已知AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，求证：

AD垂直平分EF．

31．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、BC、AC上，且四边形OECF是正方形．

（1）求证：

点O在∠BAC的平分线上；

（2）若AC＝5，BC＝12，求OE的长．

32．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC，AM⊥BC于点M交BE于点G，AD平分∠MAC，交BC于点D，交BE于点F．求证：

线段BF垂直平分线段AD．

33．如图，在△ABC中，BD是∠ABC的平分线，过点C作CE⊥BD，交BD的延长线于点E，∠ABC＝60°，∠ECD＝15°．

（1）直接写出∠ADB的度数是　　；

（2）求证：

BD＝AB；

（3）若AB＝2，求BC的长．

参考答案

1．解：

连接BE，

∵AB＝AC，AE平分∠BAC，

∴EB＝EC，

∴∠EBC＝∠ECB，

∵∠ABC＝70°，AC＝AB，

∴∠ACB＝∠ABC＝70°，

∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝40°，

∵AE平分∠BAC，

∴∠BAE＝20°，

∵DE垂直平分AB，

∴AE＝EB，

∴∠ABE＝∠BAE＝20°，

∴∠BCE＝∠EBC＝∠ABC﹣∠ABE＝70°﹣20°＝50°，

故选：

B．

2．解：

到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形的三边垂直平分线的交点，

故选：

D．

3．解：

∵∠BAC＝112°，

∴∠C+∠B＝68°，

∵EG、FH分别为AB、AC的垂直平分线，

∴EB＝EA，FC＝FA，

∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，

∴∠EAB+∠FAC＝68°，

∴∠EAF＝44°，

故选：

D．

4．解：

∵DE是边AC的垂直平分线，

∴DA＝DC，AC＝2AE＝10，

∵△ABD的周长为26，

∴AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝26，

∴△ABC的周长＝AB+BC+AC＝26+10＝36（cm），

故选：

D．

5．解：

连接AO，

∵在△ABC中，AB＝AC＝6，该三角形的面积为15，

∴三角形ABC的面积

＝△ABO的面积+△ACO的面积

＝

＝

＝

＝15，

解得：

OE+OF＝5，

故选：

A．

6．解：

当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；

当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．

故选：

A．

7．解：

∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，

∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边，

∴S△ABF：

S△AFC＝BD：

CD，

∴③正确；

∵∠ABC＝45°，

∴AD＝BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，

而∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴△BDF≌△ADC，

∴FD＝CD，

∴∠FCD＝∠CFD＝45°，

∴①正确；

若AE＝EC，BE⊥AC，可得AB＝BC，与题意不符合，

故②错误．

若BF＝2EC，根据①得BF＝AC，

∴AC＝2EC，

即E为AC的中点，

∴BE为线段AC的垂直平分线，

∴AF＝CF，BA＝BC，

∴AB＝BD+CD＝AD+CD＝AF+DF+CD＝CF+DF+CD，

即△FDC周长等于AB的长，

∴④正确．

故选：

D．

8．解：

由题可得，DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，AD＝BD，故A选项正确；

∵Rt△ABC中，点D是AB的中点，

∴CD＝AD，

∵DE⊥AB，

∴Rt△ADE中，AE＞AD，

∴BE＞CD，故B选项正确；

∵∠BEC是等腰△ABE的外角，

∴∠BEC＝2∠A，

∵∠BDC是等腰△ACD的外角，

∴∠BDC＝2∠A，

∴∠BEC＝∠BDC，故C选项正确；

∵当∠A＝30°时，∠ABE＝30°＝∠CBE，

∴当∠A＝30°时，BE平分∠ABC，

而∠A不一定为30°，

∴BE不一定平分∠CBD，故D选项错误．

故选：

D．

9．解：

在△ABC中，∵∠ACB＝90°，

∴∠BAC+∠ABC＝90°，

又∵AD、BE分别平分∠BAC、∠ABC，

∴∠BAD+∠ABE＝

（∠BAC+∠ABC）＝45°，

∴∠APB＝135°，故①正确．

∴∠BPD＝45°，

又∵PF⊥AD，

∴∠FPB＝90°+45°＝135°，

∴∠APB＝∠FPB，

又∵∠ABP＝∠FBP，BP＝BP，

∴△ABP≌△FBP，

∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF，故②正确．

在△APH和△FPD中，

∵∠APH＝∠FPD＝90°，∠PAH＝∠BAP＝∠BFP，PA＝PF，

∴△APH≌△FPD，

∴PH＝PD，故③正确．

∵△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，

∴点P到AB、AC的距离相等，点P到AB、BC的距离相等，

∴点P到BC、AC的距离相等，

∴点P在∠ACB的平分线上，

∴CP平分∠ACB，故④正确．

故选：

D．

10．解：

∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，

∴AD＝BD，AE＝CE，

∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，

∵∠B＝40°，∠C＝45°，

∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，

∴∠BAD+∠CAE＝85°，

∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，

故答案为：

10°

11．解：

∵DE是AC的垂直平分线，

∴EA＝EC，

∴∠EAC＝∠C，

∴∠FAC＝∠EAC+19°，

∵AF平分∠BAC，

∴∠FAB＝∠EAC+19°，

∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，

∴70°+2（∠C+19°）+∠C＝180°，

解得，∠C＝24°，

故答案为：

24．

12．解：

过D作DM⊥AC，

∵∠DAE＝∠ADE＝15°，

∴∠DEC＝30°，AE＝DE，

∵AE＝10，

∴DE＝10，

∴DM＝5，

∵DE∥AB，

∴∠BAD＝∠ADE＝15°，

∴∠BAD＝∠DAC，

∵DF⊥AB，DM⊥AC，

∴DF＝DM＝5．

故答案为：

5．

13．解：

作PE⊥OB于E，

∵∠BOP＝∠AOP，PD⊥OA，PE⊥OB，

∴PE＝PD（角平分线上的点到角两边的距离相等），

∵∠BOP＝∠AOP＝15°，

∴∠AOB＝30°，

∵PC∥OA，

∴∠BCP＝∠AOB＝30°，

∴在Rt△PCE中，PE＝

PC＝

×4＝2（在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半），

∴PD＝PE＝2，

故答案是：

2．

14．解：

由题意可得，BE平分∠ABC，DE＝CE

又∠A＝30°，AC＝6

可得DE＝

AE

∴DE＝

（6﹣DE）

则DE＝2．

故答案为2．

15．解：

∵EF是AB的垂直平分线，

∴FA＝BF＝12，

∴AC＝AF+FC＝15．

故答案为：

15．

16．解：

∵DF、EG分别是AB、AC的垂直平分线

∴

（1）DA＝DB，则∠B＝∠DAF，设∠B＝∠DAF＝x度

（2）EA＝EC，∠C＝∠EAG，设∠C＝∠EAG＝y度

因为∠BAC＝100°

所以x+y+∠DAE＝100°

根据三角形内角和定理，x+y+x+y+∠DAE＝180°

解得∠DAE＝20°．

17．解：

∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，

∴DF＝DE＝2，

∴S△BCD＝

•BC×DF＝

×4×2＝4

故答案为：

4．

18．解：

连接DE，

∵在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE＝2，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝2，

∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，

∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，

∴FC＝

EC＝1，

故EF＝

＝

，

∵G为EF的中点，

∴EG＝

，

∴DG＝

＝

．

故答案为：

．

19．解：

①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED，

∵AC＝4，

∴BE＝4，

∴AE＝8﹣4＝4，

∴点E的运动时间为4÷2＝2（秒）；

②当E在BN上，AC＝BE时，

∵AC＝4，

∴BE＝4，

∴AE＝8+4＝12，

∴点E的运动时间为12÷2＝6（秒）；

③当E在线段AB上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，

这时E在A点未动，因此时间为0秒；

④当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE，

AE＝8+8＝16，

点E的运动时间为16÷2＝8（秒），

故答案为：

0，2，6，8．

20．解：

作NP⊥AB于P，NQ⊥EF于Q，NR⊥CD于R，

∵GN平分∠BGH，NP⊥AB，NQ⊥EF，

∴NQ＝NP＝2，

∵HN平分∠DHG，NQ⊥EF，NR⊥CD，

∴NR＝NQ＝2，

故答案为：

2．

21．解：

∵AB＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，

∴AB2+AD2＝BD2，BC2+CD2＝BD2，

∴2AB2＝BD2，

∵S四边形ABCD＝S△ABD+S△BCD，

∴18＝

+S△BCD，

∴当S△BCD值最大时，BD最小，

∵（CD﹣BD）2≥0

∴CD2+BD2≥2BD×CD

∴

BD×CD≤

∴S△BCD≤

∴当S△BCD＝

时，BD的长度最小，

∴18＝

∴BD＝6故答案为：

6

22．证明：

∵∠BAC＝90°，CE⊥AE，BD⊥AE，

∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠BAD+∠DAC＝90°，∠ADB＝∠AEC＝90°．

∴∠ABD＝∠DAC．

∵在△ABD和△CAE中

，

∴△ABD≌△CAE（AAS）．

∴BD＝AE，EC＝AD．

∵AE＝AD+DE，

∴BD＝EC+ED．

23．证明：

（1）∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，

∴CE＝DE，

∴∠1＝∠2；

（2）在△OCE和△ODE中，

，

∴△OCE≌△ODE（HL），

∴OC＝OD，

又∵CE＝DE，

∴OE是线段CD的垂直平分线．

24．解：

MN⊥BD，

证明：

连接BM、DM，

∵∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，

∴BM＝

AC，DM＝

AC，

∴BM＝DM，又N是BD的中点，

∴MN⊥BD．

25．

（1）证明：

∵DB⊥BC，CF⊥AE，

∴∠DCB+∠D＝∠DCB+∠AEC＝90°．

∴∠D＝∠AEC．

又∵∠DBC＝∠ECA＝90°，

且BC＝CA，

在△DBC和△ECA中，

∵

∴△DBC≌△ECA（AAS）．

∴AE＝CD．

（2）解：

∵△CDB≌△AEC，

∴BD＝CE，

∵AE是BC边上的中线，

∴BD＝EC＝

BC＝

AC，且AC＝12cm．

∴BD＝6cm．

26．证明：

∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，

∴∠ACB＝∠BDE＝90°，

在Rt△BDE和Rt△BCE中，

，

∴Rt△BDE≌Rt△BCE，

∴ED＝EC，

∵ED＝EC，BD＝BC，

∴BE垂直平分CD．

27．证明：

如图，过点P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别为D、M、N，

∵BE平分∠ABC，点P在BE上，

∴PD＝PM，

同理，PM＝PN，

∴PD＝PN，

∴点P在∠A的平分线上．

28．

（1）解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠BEG＝∠AGC'＝48°，

由折叠的性质得：

∠CEF＝∠C'EF，

∴∠CEF＝

（180°﹣48°）＝66°；

（2）证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠GFE＝∠CEF，

由折叠的性质得：

∠CEF＝∠C'EF，

∴∠GFE＝∠C'EF，

∴GE＝GF，

即△EFG是等腰三角形．

29．证明：

如图，过A作AM⊥BC于M，

∵AB＝AC，

∴∠BAC＝2∠BAM，

∵AD＝AE，

∴∠D＝∠AED，

∴∠BAC＝∠D+∠AED＝2∠D，

∴∠BAC＝2∠BAM＝2∠D，

∴∠BAM＝∠D，

∴DE∥AM，

∵AM⊥BC，

∴DE⊥BC．

30．证明：

∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DE＝DF，

∴D在线段EF的垂直平分线上，

在Rt△ADE和Rt△ADF中，

，

∴Rt△ADE≌Rt△ADF，

∴AE＝AF，

∴A点在EF的垂直平分线上，

∵两点确定一条直线，

∴AD是线段EF的垂直平分线．

31．

（1）证明：

过点O作OM⊥AB，

∵BD是∠ABC的一条角平分线，

∴OE＝OM，

∵四边形OECF是正方形，

∴OE＝OF，

∴OF＝OM，

∴AO是∠BAC的角平分线，即点O在∠BAC的平分线上；

（2）解：

∵在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，

∴AB＝

＝

＝13，

设CE＝CF＝x，BE＝BM＝y，AM＝AF＝z，

∴

，

解得：

，

∴CE＝2，

∴OE＝2．

32．证明：

∵∠BAC＝90°，

∴∠ABC+∠C＝90°，

∵AM⊥BC，

∴∠AMB＝90°，

∴∠ABC+∠BAM＝90°，

∴∠C＝∠BAM，

∵AD平分∠MAC，

∴∠MAD＝∠CAD，

∴∠BAM+∠MAD＝∠C+∠CAD，

∵∠ADB＝∠C+∠CAD，

∴∠BAD＝∠ADB，

∴AB＝BD，

∵BE平分∠ABC，

∴BF⊥AD，AF＝FD，

即线段BF垂直平分线段AD．

33．解：

（1）∵CE⊥BE，

∴∠E＝90°，

∵∠ECD＝15°，

∴∠ADB＝∠CDE＝90°﹣15°＝75°

故答案为75°．

（2）证明：

∵BD平分∠ABC，

∠ABC＝60°，

∴∠ABD＝∠DBC＝30°，

∵∠ADB＝75°，

∴∠A＝75°，

∴∠A＝∠ADB，

∴AB＝DB．

（3）过点D作DF⊥BC，交BC于F点．

∵DF⊥BC，

∴∠DFB＝∠DFC＝90°，

∵∠DBF＝30°，

∴DF＝

BD，

∵BD＝AB＝2，

∴DF＝1，

∴FB＝

，

∵CE⊥BE，

∴∠E＝90°，

∵∠DBC＝30°，

∴∠ECB＝60°，

∵∠ECD＝15°，

∴∠DCB＝45°，

∴∠DCF＝∠FDC＝45°，

∴FD＝FC＝1，

∴BC＝

．