人教版九年级数学上册《第21章 一元二次方程》单元练习.docx

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人教版九年级数学上册《第21章一元二次方程》单元练习

第21章一元二次方程

一．选择题

1．若方程（m﹣1）x

﹣x﹣2＝0是一元二次方程，则m的值为（　　）

A．0B．±1C．1D．﹣1

2．将方程（x﹣1）2＝6化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　）

A．x2﹣2x+5＝0B．x2﹣2x﹣5＝0C．x2+2x﹣5＝0D．x2+2x+5＝0

3．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式﹣2a2﹣2a+2020的值是（　　）

A．2018B．2019C．2020D．2021

4．受非洲猪瘟及其他因素影响，2019年9月份猪肉价格两次大幅度上涨，瘦肉价格由原来23元/千克，连续两次上涨x%后，售价上升到60元/千克，则下列方程中正确的是（　　）

A．23（1﹣x%）2＝60B．23（1+x%）2＝60

C．23（1+x2%）＝60D．23（1+2x%）＝60

5．一元二次方程9x2﹣1＝0的根是（　　）

A．x1＝x2＝3B．x1＝3，x2＝﹣3

C．x1＝

，x2＝﹣

D．x1＝x2＝

6．用配方法解方程2x2﹣4x+1＝0，则方程可变形为（　　）

A．（x﹣2）2＝

B．2（x﹣2）2＝

C．（x﹣1）2＝

D．（2x﹣1）2＝1

7．用公式法解一元二次方程2x2+3x＝1时，化方程为一般式当中的a、b、c依次为（　　）

A．2，﹣3，1B．2，3，﹣1C．﹣2，﹣3，﹣1D．﹣2，3，1

8．方程x（x﹣5）＝x﹣5的根是（　　）

A．x＝5B．x＝0C．x1＝5，x2＝0D．x1＝5，x2＝1

9．已知实数x满足（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，那么x2﹣2x+1的值为（　　）

A．﹣1或3B．﹣3或1C．3D．1

10．如图，把长40cm，宽30cm的长方形纸板剪掉2个小正方形和2个小长方形（阴影部分即剪掉部分），将剩余的部分折成一个有盖的长方体盒子，设剪掉的小正方形边长为xcm（纸板的厚度忽略不计），若折成长方体盒子的表面积是950cm2，则x的值是（　　）

A．3cmB．4cmC．4.8cmD．5cm

二．填空题

11．若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2019﹣m2﹣m的值为　　．

12．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程x2﹣8x+12＝0的解，则这个三角形的周长是　　．

13．方程（x﹣1）2＝20202的根是　　．

14．关于x的方程ax2﹣bx﹣c＝0的系数满足ac＞0，则此方程的根x＝　　．

15．关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣

＝0有实数根，则k的取值范围是　　．

16．设m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，则m2+2m+n的值为　　．

17．设x1，x2是方程2x2+3x﹣4＝0的两个实数根，则

+

的值为　　．

18．元旦到了，九

（2）班每个同学都与全班同学交换一件自制的小礼物，结果全班交换小礼物共1560件，该班有　　个同学．

三．解答题

19．解下列方程．

（1）x2+2x﹣35＝0

（2）4x（2x﹣1）＝1﹣2x

20．解方程：

（1）x2+4x﹣1＝0；

（2）（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0．

21．先仔细阅读材料，再尝试解决问题：

通过上学期对有理数的乘方的学习，我们知道x2≥0，本学期学习了完全平方公式后，我们知道a2±2ab+b2＝（a±b）2，所以（a±b）2≥0，这一性质在数学中有着广泛的应用，比如，探究多项式2x2+4x﹣5的最小值时，我们可以这样处理：

解：

原式＝2（x2+2x）﹣5

＝2（x2+2x+12﹣12）﹣5

＝2[（x+1）2﹣12]﹣5

＝2（x+1）2﹣2﹣5

＝2（x+1）2﹣7

因为（x+1）2≥0，所以2（x+1）2﹣7≥0﹣7，即2（x+1）2﹣7≥﹣7

所以2（x+1）2﹣7的最小值是﹣7，即2x2+4x﹣5的最小值是﹣7

请根据上面的探究思路，解答下列问题：

（1）多项式5（x﹣3）2+1的最小值是　　；

（2）求多项式4x2﹣16x+3的最小值；

（3）求多项式x2+6x+y2﹣4y+20的最小值．

22．已知：

关于x的方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0（m≠0）．

（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值；

（2）求此方程的两个根（若所求方程的根不是常数，就用含m的式子表示）；

（3）若m为整数，当m取何值时方程的两个根均为正整数？

23．已知▱ABCD边AB、AD的长是关于x的方程x2﹣mx+12＝0的两个实数根．

（1）当m为何值时，四边形ABCD是菱形？

（2）当AB＝3时，求▱ABCD的周长．

24．为促进新旧功能转换，提高经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为25万元，经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）满足如图所示的一次函数关系．

（1）求月销售量y与销售单价x的函数关系式；

（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于35万元，如果该公司想获得130万元的月利润，那么该设备的销售单价应是多少万元？

25．如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A、B同时出发，并分别以顺时针的方向的沿圆周运动．甲运动的路程s（cm）与时间t（s）满足

，乙以4cm/s的速度匀速运动，半圆的长度为21cm．

（1）甲运动6s后的路程是多少？

（2）甲从运动开始到第一次追上乙时，它们运动了多长时间？

（3）甲从运动开始到第二次追上乙时，它们运动了多长时间？

26．“早黑宝”葡萄品种是我省农科院研制的优质新品种，在我省被广泛种植，邓州市某葡萄种植基地2017年种植“早黑宝”100亩，到2019年“卓黑宝”的种植面积达到196亩．

（1）求该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率；

（2）市场调查发现，当“早黑宝”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出50千克，为了推广宣传，基地决定降价促销，同时减少库存，已知该基地“早黑宝”的平均成本价为12元/千克，若使销售“早黑宝”每天获利1750元，则售价应降低多少元？

27．列方程（组）解应用题

某驻村工作队，为带动群众增收致富，巩固脱贫攻坚成效，决定在该村山脚下，围一块面积为600m2的矩形试验茶园，便于成功后大面积推广．如图所示，茶园一面靠墙，墙长35m，另外三面用69m长的篱笆围成，其中一边开有一扇1m宽的门（不包括篱笆）．求这个茶园的长和宽．

参考答案

一．选择题

1．解：

根据题意得：

m2+1＝2，

解得：

m＝1或﹣1，

把m＝1代入m﹣1得：

m﹣1＝0（不合题意，舍去），

把m＝﹣1代入m﹣1得：

m﹣1＝﹣2（符合题意），

故选：

D．

2．解：

（x﹣1）2＝6，

x2﹣2x+1﹣6＝0，

x2﹣2x﹣5＝0，

即将方程（x﹣1）2＝6化成一般形式为x2﹣2x﹣5＝0，

故选：

B．

3．解：

∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，

∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，

∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．

故选：

A．

4．解：

当猪肉第一次提价x%时，其售价为23+23x%＝23（1+x%）；

当猪肉第二次提价x%后，其售价为23（1+x%）+23（1+x%）x%＝23（1+x%）2．

∴23（1+x%）2＝60．

故选：

B．

5．解：

∵9x2﹣1＝0，

∴9x2＝1，

则x2＝

，

解得x1＝

，x2＝﹣

，

故选：

C．

6．解：

∵2x2﹣4x+1＝0，

∴2x2﹣4x＝﹣1，

x2﹣2x＝﹣

，

x2﹣2x+1＝1﹣

，

∴（x﹣1）2＝

．

故选：

C．

7．解：

∵方程2x2+3x＝1化为一般形式为：

2x2+3x﹣1＝0，

∴a＝2，b＝3，c＝﹣1．

故选：

B．

8．解：

∵x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0，

∴（x﹣5）（x﹣1）＝0，

则x﹣5＝0或x﹣1＝0，

解得x＝5或x＝1，

故选：

D．

9．解：

设x2﹣2x+1＝a，

∵（x2﹣2x+1）2+2（x2﹣2x+1）﹣3＝0，

∴a2+2a﹣3＝0，

解得：

a＝﹣3或1，

当a＝﹣3时，x2﹣2x+1＝﹣3，

即（x﹣1）2＝﹣3，此方程无解；

当a＝1时，x2﹣2x+1＝1，

此时方程有解，

故选：

D．

10．解：

依题意，得：

40×30﹣2x2﹣2x•（x+

）＝950，

整理，得：

x2+20x﹣125＝0，

解得：

x1＝5，x2＝﹣25（不合题意，舍去）．

故选：

D．

二．填空题

11．解：

把x＝m代入方程x2+x﹣1＝0得：

m2+m﹣1＝0，

m2+m＝1，

所以2019﹣m2﹣m＝2019﹣1＝2018．

故答案是：

2018．

12．解：

x2﹣8x+12＝0，

（x﹣2）（x﹣6）＝0，

解得：

x1＝2，x2＝6，

若x

＝2，即第三边为2，4+2＝6＜7，不能构成三角形，舍去；

当x＝6时，这个三角形周长为4+7+6＝17，

故答案为：

17．

13．解：

∵（x﹣1）2＝20202，

∴x﹣1＝2020或x﹣1＝﹣2020，

解得x1＝2021，x2＝﹣2019，

故答案为：

x1＝2021，x2＝﹣2019．

14．解：

∵ax2﹣bx﹣c＝0，

∴△＝b2+4ac，

∵对于任意实数b，b2≥0，ac＞0，

∴b2+4ac＞0，

∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．

∴x＝

．

故答案为：

．

15．解：

∵关于x的一元二次方程kx2﹣4x﹣

＝0有实数根，

∴b2﹣4ac＝16﹣4k×（﹣

）＝16+

k≥0，且k≠0，

解得：

k≥﹣6且k≠0，

故答案为：

k≥﹣6且k≠0．

16．解：

∵m、n是方程x2+x﹣1001＝0的两个实数根，

∴m+n＝﹣1，

并且m2+m﹣1001＝0，

∴m2+m＝1001，

∴m2+2m+n＝m2+m+m+n＝1001﹣1＝1000．

故答案为：

1000．

17．解：

根据题意得x1+x2＝﹣

，x1x2＝﹣2，

所以

+

＝

＝

＝

．

故答案为

．

18．解：

设该班有x个同学，则每个同学需交换（x﹣1）件小礼物，

依题意，得：

x（x﹣1）＝1560，

解得：

x1＝40，x2＝﹣39（不合题意，舍去）．

故答案为：

40．

三．解答题

19．解：

（1）x2+2x﹣35＝0，

（x+7）（x﹣5）＝0，

x+7＝0或x﹣5＝0，

∴x1＝﹣7，x2＝5．

（2）4x（2x﹣1）＝1﹣2x，

4x（2x﹣1）+（2x﹣1）＝0，

（2x﹣1）（4x+1）＝0，

（2x﹣1）＝0或（4x+1）＝0，

，

20．解：

（1）x2+4x﹣1＝0，

x2+4x＝1，

x2+4x+4＝1+4，即（x+2）2＝5，

∴x+2＝

，

∴x1＝﹣2+

，x2＝﹣2﹣

；

（2）（x﹣3）2+4（x﹣3）＝0，

（x﹣3）（x﹣3+4）＝0，

∴x﹣3＝0或x+1＝0，

∴x1＝3，x2＝﹣1．

21．解：

（1）∵（x﹣3）2≥0，

∴5（x﹣3）2+1≥1，

∴多项式5（x﹣3）2+1的最小值是1，

故答案为：

1；

（2）4x2﹣16x+3

＝4（x2﹣4x）+3

＝4（x2﹣4x+22﹣22）+3

＝4[（x﹣2）2﹣4]+3

＝4（x﹣2）2﹣16+3

＝4（x﹣2）2﹣13，

∵（x﹣2）2≥0，

∴4（x﹣2）2﹣13≥﹣13，

∴多项式4x2﹣16x+3的最小值为﹣13；

（3）x2+6x+y2﹣4y+20

＝x2+6x+9+y2﹣4y+4+7

＝（x+3）2+（y﹣2）2+7，

∵（x+3）2≥0，（y﹣2）2≥0，

∴（x+3）2+（y﹣2）2+7≥7，

∴多项式x2+6x+y2﹣4y+20的最小值为7．

22．解：

（1）∵方程有两个相等的实数根，

∴△＝[﹣3（m+1）]2﹣4m（2m+3）＝0，

∴（m+3）2＝0，

∴m1＝m2＝﹣3．

（2）∵mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0，即[mx﹣（2m+3）]（x﹣1）＝0，

解得：

x1＝1，x2＝

．

（3）∵x1＝1、x2＝

＝2+

均为正整数，且m为整数，

∴

＝1、﹣1或3．

当

＝1时，m＝3，

当

＝﹣1时，m＝﹣3，

当

＝3时，m＝1．

∴当m取1、3或﹣3时，方程的两个根均为正整数．

23．解：

（1）若四边形ABCD是菱形，则AB＝AD，

所以方程有两个相等的实数根，

则△＝（﹣m）2﹣4×1×12＝0，

解得m＝±4

，

当m＝﹣4

时，方程两个相等的实数根为负数，舍去，

∴m＝4

．

（2）∵AB＝3，

∴9﹣3m+12＝0，

解得m＝7，

∴方程为x2﹣7x+12＝0，

则AB+AD＝7，

∴平行四边形ABCD的周长为2（AB+AD）＝14．

24．解：

（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b，

依题意，得

解得

所以y与x的函数关系式为y＝﹣5x+200．

（2）依题知（x﹣25）（﹣5x+200）＝130．

整理方程，得x2﹣65x+1026＝0．

解得x1＝27，x2＝38．

∵此设备的销售单价不得高于35万元，

∴x2＝38（舍），所以x＝27．

答：

该设备的销售单价应是27万元．

25．解：

（1）当t＝6s时，

S＝

t2+

＝18+9＝27（cm），

答：

甲运动6s后的路程是27cm；

（2）由图可知，甲从运动开始到第一次追上乙时，甲比乙走过的路程多半圆长21cm，

甲走过的路程

t2+

，乙走过的路程为4t，

﹣4t＝21，

解得：

t＝

，负值舍去，

答：

甲从运动开始到第一次追上乙时，它们运动了

s．

（3）由图可知，甲从运动开始到第二次追上乙时，甲比乙走过的路程多21×3＝63cm，

甲走过的路程

t2+

，乙走过的路程为4t，

﹣4t＝21×3，

解得：

t1＝14，t2＝﹣9舍去，

答：

甲从运动开始到第二次追上乙时，它们运动了14s．

26．

（1）设该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为x，根据题意得

100（1+x）2＝196

解得x1＝0.4＝40%，x2＝﹣2.4（不合题意，舍去）

答：

该基地这两年“早黑宝”种植面积的平均增长率为40%．

（2）设售价应降低y元，则每天可售出（200+50y）千克

根据题意，得（20﹣12﹣y）（200+50y）＝1750

整理得，y2﹣4y+3＝0，

解得y1＝1，y2＝3

∵要减少库存

∴y1＝1不合题意，舍去，

∴y＝3

答：

售价应降低3元．

27．解：

设茶园垂直于墙的一边长为xm，则另一边的长度为（69+1﹣2x）m，根据题意，得

x（69+1﹣2x）＝600，

整理，得

x2﹣35x+300＝0，

解得x1＝15，x2＝20，

当x＝15时，70﹣2x＝40＞35，不符合题意舍去；

当x＝20时，70﹣2x＝30，符合题意．

答：

这个茶园的长和宽分别为30m、20m．