均值不等式学案共两课时.docx

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均值不等式学案共两课时

§3.2均值不等式

（1）

学习目标：

1、理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题；

2、认识到数学是从实际中来的，体会思考与发现的过程。

重点难点：

重点：

理解均值不等式;难点：

均值不等式的应用。

一、探求新知

如何用代数法证明均值定理：

。

当且仅当时，等号成立。

二、深度研究：

（1）均值定理内容：

________________________________________________________.

对任意两个正实数，数叫做的__________；数叫做的__________

均值定理的文字表述：

___________________________________________________________.

均值不等式中等号成立条件是：

_______________________.

（2）均值不等式与不等式的关系如何？

（3）均值定理的几何解释：

做线段AD=，延长AD至点B，使DB=（）以AB为直径做半圆O，过D点做CD于D，交半圆于点C，连接AC，BC，OC。

当点D在线段AB（端点除外）上运动时，试探讨OC与CD的大小关系。

三、学以致用：

探究一、均值不等式在不等式证明中的应用：

例1：

已知求证：

并推导出式中等号成立的条件．

跟踪练习1：

（1）求函数（）的值域。

（2）已知求证：

探究二、利用均值不等式求最值：

例2：

（1）一个矩形的面积为100，问这个矩形的长和宽各为多少时，矩形的周长最短？

最短周长是多少？

（2）已知矩形的周长为36，问这个矩形的长和宽各为多少时，它的面积最大？

最大面积是多少？

由例2的求解过程，可以总结出以下规律：

【结论】

跟踪练习2：

（1）把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小？

（2）把36写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大？

跟踪练习3：

一段长为米的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜地，矩形的长、宽各为多少时，菜地的面积最大？

求出这个最大值。

四、总结反思（本节课我们学到了哪些知识？

）

五、讨论研究课题

（1）你还能用什么方法证明均值不等式？

（2）均值不等式还有哪些变形形式？

§3.2均值不等式

（1）当堂检测

班级：

姓名：

限时：

5分钟分数：

___________

必做题（每题5分）

1、（5分）设则函数的最大值是（）

A1BCD

2、（5分）已知均为正数，且则的最小值是（）

ABC2D4

3、（5分）已知点在直线上运动，求它的横、纵坐标之积的最大值，以及此时点P的坐标。

选做题：

4、已知且，则那么下列结论正确的是（）

ABCD

§3.2均值不等式

（2）

学习目标：

1、理解均值不等式，并能运用均值不等式解决一些较为简单的问题；

2、认识到数学是从实际中来的，体会思考与发现的过程。

重点难点：

重点：

理解均值不等式;难点：

均值不等式的应用。

一、复习巩固

（1）均值定理内容：

______________________________.

对任意两个正实数，数叫做的__________；数叫做的__________

均值定理的文字表述：

___________________________________________________________.

均值不等式中等号成立条件是：

_______________________.

二、例题讲解

例1.求函数的值域。

变式训练：

（1）求函数的最小值以及相应的的值。

（2）下列函数中，的最小值为4的是（）

A．B．

C．D．

题型小结：

例2：

求函数的最大值，以及此时的值。

变式练习：

求函数的最小值，以及此时的值。

跟踪练习1：

求函数的最大值以及相应的值。

跟踪练习2：

求函数的最小值及相应的的值。

题型小结：

三、课堂小结：

§3.2均值不等式

（2）当堂检测

班级：

姓名：

限时：

5分钟分数：

___________

必做题（每题5分）

1.某工厂产品第一年产量为A，第二年的增长率为，第三年的增长率为，这两年的平均增长率为，则（）

ABCD

2.求的最值。

选做题：

（10分）

3.若且均为正数，则有（）

A最大值64B最小值C最小值D最小值64