人教版高中数学必修二第二章 点直线平面之间的位置关系训练 233.docx

人教版高中数学必修二第二章 点直线平面之间的位置关系训练 233.docx

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人教版高中数学必修二第二章点直线平面之间的位置关系训练233

2.3.3　直线与平面垂直的性质

2.3.4　平面与平面垂直的性质

一、基础达标

1．下列命题中错误的是（　　）

A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ

D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β

答案　D

解析　由平面与平面垂直的有关性质可以判断出D项错误．

2．在长方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D1的关系是（　　）

A．平行B．EF⊂平面A1B1C1D1

C．相交但不垂直D．相交且垂直

答案　D

解析　在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF⊂面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正确．

3．（2014·昆明高一检测）如图所示，三棱锥P－ABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，则（　　）

A．PD⊂平面ABC

B．PD⊥平面ABC

C．PD与平面ABC相交但不垂直

D．PD∥平面ABC

答案　B

解析　∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，

∴PD⊥平面ABC.

4．（2014·淄博高一检测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是（　　）

A．平面ABD⊥平面ABC

B．平面ADC⊥平面BDC

C．平面ABC⊥平面BDC

D．平面ADC⊥平面ABC

答案　D

解析　如图，在平面图形中CD⊥BD，折起后仍然满足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，又AB⊂平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.

5．（2013·广东高考）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（　　）

A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n

B．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n

C．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

答案　D

解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1⊂平面BCC1B1，BC⊂平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A错误．

平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1⊂平面A1B1C1D1，

AC⊂平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B错误．

AB⊥A1D1，AB⊂平面ABCD，A1D1⊂平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C错误．故选D.

6．（2014·琼海高一检测）在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，BC＝CD＝，AB⊥AD，沿BD将△ABD折起，使得AC＝1，则二面角A－BD－C的平面角的正弦值为________．

答案　

解析　在平面四边形ABCD中，

取BD的中点E，由条件知A、E、C共线，

且为BD的垂直平分线，

又在△ABD中，AB⊥AD，AB＝AD＝1，

∴BD＝，∴AE＝BD＝；

在△CBD中，BC＝DC＝，

∴CE＝，沿BD折叠后，

∠AEC为二面角A－BD－C的平面角，

又AC＝1，∴在△AEC中，AE2＋AC2＝CE2，

∠EAC＝90°，∴sin∠AEC＝＝＝.

7．（2014·威海高一检测）如图三棱锥P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：

平面PAB⊥平面PBC.

证明　∵平面PAC⊥平面ABC，

平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，

∴PA⊥平面ABC.

又BC⊂平面ABC，

∴PA⊥BC.

又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，

∴BC⊥平面PAB.

又BC⊂平面PBC，

∴平面PAB⊥平面PBC.

二、能力提升

8.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则点C1在底面ABC上的射影H必在（　　）

A．直线AB上

B．直线BC上

C．直线AC上

D．△ABC内部

答案　A

解析　连接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC⊂平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB为交线，因此，点C1在平面ABC上的射影必在直线AB上，故选A.

9.如图，正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2、G2G3的中点，现在沿SE、SF、EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3重合，重合后的点记为G.给出下列关系：

①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有（　　）

A．①与②B．①与③

C．②与③D．③与④

答案　B

解析　由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，则SG∥SE，这与SG∩SE＝S矛盾，排除A，故选B.

10．如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________．

答案　

解析　取CD的中点G，连接MG，NG.

因为ABCD，DCEF为正方形，且边长为2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝.

因为平面ABCD⊥平面DCEF，

所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，

所以MN＝＝.

11．（2013·北京高考）如图，在四棱锥P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：

（1）PA⊥底面ABCD；

（2）BE∥平面PAD；

（3）平面BEF⊥平面PCD.

证明　

（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，

且PA垂直于这两个平面的交线AD，

所以PA⊥底面ABCD.

（2）因为AB∥CD，CD＝2AB，

E为CD的中点，

所以AB∥DE，且AB＝DE.

所以四边形ABED为平行四边形．

所以BE∥AD.

又因为BE⊄平面PAD，

AD⊂平面PAD，

所以BE∥平面PAD.

（3）因为AB⊥AD，而且四边形ABED为平行四边形，

所以BE⊥CD，AD⊥CD.

由

（1）知PA⊥底面ABCD，

所以PA⊥CD.

所以CD⊥平面PAD.

所以CD⊥PD.

因为E和F分别是CD和PC的中点，

所以PD∥EF.

所以CD⊥EF.

又因为CD⊥BE，EF∩BE＝E，

所以CD⊥平面BEF.

所以平面BEF⊥平面PCD.

三、探究与创新

12．如图所示，在平行四边形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，将其沿对角线BD折成直二面角．

求证：

（1）AB⊥平面BCD；

（2）平面ACD⊥平面ABD.

证明　

（1）在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝a，

∴AB2＋BD2＝AD2，

∴∠ABD＝90°，AB⊥BD.

又∵平面ABD⊥平面BCD，

平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，

∴AB⊥平面BCD.

（2）∵折叠前四边形ABCD是平行四边形，

且AB⊥BD，

∴CD⊥BD.

∵AB⊥平面BCD，CD⊂平面BCD.

∴AB⊥CD.

∵AB∩BD＝B，

∴CD⊥平面ABD.

又∵CD⊂平面ACD，

∴平面ACD⊥平面ABD.

13.已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，E，F分别是AC，AD上的动点，且＝＝λ（0<λ<1）．

（1）求证：

不论λ为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；

（2）当λ为何值时，平面BEF⊥平面ACD?

（1）证明　∵AB⊥平面BCD，

∴AB⊥CD.

∵CD⊥BC且AB∩BC＝B，

∴CD⊥平面ABC.

又∵＝＝λ（0<λ<1），

∴不论λ为何值，恒有EF∥CD，

∴EF⊥平面ABC.

又EF⊂平面BEF.

∴不论λ为何值恒有平面BEF⊥平面ABC.

（2）解　由

（1）知，EF⊥BE，

又平面BEF⊥平面ACD，

∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC.

∵BC＝CD＝1，∠BCD＝90°，

∠ADB＝60°，AB⊥平面BCD，

∴BD＝，

AB＝tan60°＝.

AC＝＝，

由AB2＝AE·AC得AE＝，

∴λ＝＝，

故当λ＝时，

平面BEF⊥平面ACD.