第4章作业Word文档格式.docx
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32.9
47.6
84.7
利用上述数据，确定停车行驶距离随速度变化的函数关系，并估计使一辆以110km/h速度行驶的汽车停止下来需要行驶的距离。
题目分析：
停车距离=思考距离+刹车距离，根据题目中的数据，可得停车距离与速度的对应关系为：
停车距离m
10.6
20.8
32.1
47.4
64.3
107.1
在MATLAB中作出这6个点的散图
%thescatterplot
X=[3045607590120];
%thespeed
Y=[10.620.832.147.464.3107.1];
%thestoppingdistance
set（0,'
defaultfigurecolor'
'
w'
）;
%setthebackgroundcolortowhite
scatter（x,y,'
*b'
）
xlabel（'
Speed（km/h）'
ylabel（'
Stoppingdistance（m）'
holdon
图形如下：
下面分别使用插值法和拟合法两类方法对一辆以110km/h速度行驶的汽车停止下来需要行驶的距离作出预测。
Lagrange插值法
n次基本插值多项式为：
Lagrange插值多项式取
为基函数，令其权重系数为
，则插值函数如下：
本题中一共有6个点，故采用5次插值。
MATLAB代码如下
%Lagrangepolynomial
formatlong
%speed
%stoppingdistance
symslax;
m=length（X）;
%thenumberofknownpoints
la=sym（0）;
fori=1:
m
temp=sym（Y（i））;
forj=1:
ifj~=i
temp=temp*（x-X（j））/（X（i）-X（j））;
end
la=la+temp;
end
la=expand（la）;
la=vpa（p,5）
计算得到的插值函数为：
将
代入插值函数，得停车距离的估计值为88.7m。
（该插值函数与五次多项式拟合结果相同）
使用MATLAB作该函数的图像
scatter（X,Y,'
ezplot（p,[20130]）
图像如下所示：
分析：
可以看到，该插值函数是在各个节点处是不太光滑的，这不符合实际上的情况，在之后的三次样条插值法会对此作出改善。
Newton插值法
Newton插值法与Lagrange插值法计算结果是相同的，此处不再赘述，下面仅提供计算方法和MATLAB代码
%Newtoninterpolationpolynomial
symsfxx;
f=zeros（m,m）;
f（:
1）=Y'
;
fori=2:
forj=i:
f（j,i）=（f（j,i-1）-f（j-1,i-1））/（X（j）-X（j-i+1））;
p=f（1,1）;
t=1;
i-1
t=t*（x-X（j））;
p=p+f（i,i）*t;
p=expand（p）;
p=vpa（p,5）
三次样条差值
设f（x）是区间[a,b]上的一个二次连续可微函数。
在区间上给定一组节点：
，设函数：
满足条件：
（1）S（x）在区间[a,b]上存在二阶（m-1阶）的连续导数；
（2）每个子区间[xi−1,xi]上Si（x）都是一个不高于3次（m次）的多项式；
（3）满足插值条件S（xi）=f（xi），i=0,…,n。
则称S（x）为函数f（x）关于节点x0、x1、…、xn的三次（m次）样条插值函数，简称三次（m次）样条。
由于三次样条曲线有连续的一阶和二阶导数，比较符合实际情况，因此主要采取三次样条插值。
使用MATLAB内置函数csape，代码如下
x=[3045607590120];
y=[10.620.832.147.464.3107.1];
pp=csape（x,y,'
second'
）%usenaturalboundaryconditions
co=pp.coefs
symst
s1=co（1,1）*（t-30）^3+co（1,2）*（t-30）^2+co（1,3）*（t-30）+co（1,4）
s2=co（2,1）*（t-45）^3+co（2,2）*（t-45）^2+co（2,3）*（t-45）+co（2,4）
s3=co（3,1）*（t-60）^3+co（3,2）*（t-60）^2+co（3,3）*（t-60）+co（3,4）
s4=co（4,1）*（t-75）^3+co（4,2）*（t-75）^2+co（4,3）*（t-75）+co（4,4）
s5=co（5,1）*（t-90）^3+co（5,2）*（t-90）^2+co（5,3）*（t-90）+co（5,4）
最终解得样条函数为
代入插值函数
中，得停车距离的估计值为91.9m。
使用MATLAB作该插值函数的图像：
%CubicSplineInterpolation
t=20:
0.01:
130;
plot（x,y,'
*'
t,spline（x,y,t））
线性拟合
线性拟合的函数形式为
，在本题中，自变量为速度，因变量为停车距离。
根据最小二乘法的原理，拟合函数中各项系数的计算方法如下：
此时系数矩阵为
，
%linearfit
A=[msum（X）;
sum（X）sum（X.^2）];
b=[sum（Y）;
sum（X.*Y）];
coe=A\b%thevalueofcoefficient
计算结果为
，则线性拟合函数为
代入该拟合函数中，得停车距离的估计值为89.8m。
使用MATLAB作出该拟合函数的图像：
fplot（'
-27.7900+1.0691*x'
[20130]）
拟合的图形如下
二次多项式拟合
二次多项式拟合的函数形式为为
，同样根据最小二乘原则，函数中各项系数的方程如下所示：
利用MATLAB计算：
%quadraticpolynomialfit
A=[msum（X）sum（X.^2）;
sum（X）sum（X.^2）sum（X.^3）;
sum（X.^2）sum（X.^3）sum（X.^4）];
sum（X.*Y）;
sum（X.^2.*Y）];
可解得
，则函数表达式为
代入该拟合函数中，得停车距离的估计值为91.6m。
-0.3650+0.1985*x+0.0058*x^2'
三次多项式拟合
原理同线性拟合和二次拟合，不再赘述，MATLAB代码如下：
%cubicpolynomial
A=[msum（X）sum（X.^2）sum（X.^3）;
sum（X）sum（X.^2）sum（X.^3）sum（X.^4）;
sum（X.^2）sum（X.^3）sum（X.^4）sum（X.^5）;
sum（X.^3）sum（X.^4）sum（X.^5）sum（X.^6）];
sum（X.^2.*Y）;
sum（X.^3.*Y）];
解得拟合函数为
代入该拟合函数中，得停车距离的估计值为82.8m。
作出三次多项式拟合函数的图像：
-2.3783+0.3011*x+0.0043*x^2+0'
在三次多项式拟合中，求系数的方程组的系数方程组的系数矩阵（即MATLAB代码中的A）的谱条件数为2.005*1014，显然此时已经是病态方程组，当拟合次数更高时，谱条件数更大，方程组也更加地病态。
从拟合的函数
可以看到，最高次项的系数已经为0了；
从图形中也可以看到，当x较大时，拟合曲线已经偏离了样本点，所以此时已经的拟合函数是没有意义的，或者说是不准确的。
小结：
各方法对速度为110km/h时的停车距离的估计值如下表所示：
方法
Lagrange/Newton插值法
三次样条插值法
估值
88.7
91.9
89.8
91.6
82.8
首先，三次多项式拟合及更高次数的多项式拟合是显然不合适的，前文已有说明，所以显然不能采用该方法。
对于本问题，由于对思考距离、停车距离的测量计算在实际操作中显然是有较大的误差的，而插值法将所取的测量值当做精确值来计算，保留了全部误差，所以结果可能有较大误差。
而拟合法的主要思想是逼近测量数据，使各数据点从总体上最贴近，不要求拟合曲线通过数据点，所以能够在一定程度上消除误差，得到更加客观的结果。
线性拟合和二次多项式拟合的图像如下所示，可以看出，二次拟合的函数曲线与数据点更为贴近，所以在本题中认为二次多项式拟合的估计结果91.6m为最佳估计值。
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